A358. Les bicolores
Par convention un entier naturel est appelé "bicolore" s’il est écrit exclusivement avec deux chiffres a et b distincts, a pair > 0 et b impair.
Q1 Donner une suite strictement décroissante de dix entiers bicolores inférieurs à 106 et divisibles respectivement par les puissances successives de 2: 2 à 210.
Q2 Montrer que pour tout entier n positif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2n .
Question 1 :
Trouvée avec un tableur, c'est plus rapide, même s'il n'y a que 36 cas à tester.
La séquence :
111616, 223232, 444544, 447744, 494944, 525552, 544544, 545444, 545454
contient les multiples de 2 à 2^10 par 109, 436, 1431, 3473 ….
Question 2 :
Si un nombre Nn...N3 N2 N1 est multiple de 2^n, ce nombre est multiple de 2^(n+1) ou bien il l'est modulo 2^n.
Par exemple 48 et 44 sont multiples de 4.
48 = 0 mod 8
→ 44 = 4 mod 8
→
En partant uniquement avec des 1 et des 2 : (a=2 ; b=1)
Mais il est possible de choisir a et b quelconques tant que l'un est pair et l'autre impair...
2 est multiple de 2
En lui rajoutant une dizaine soit paire , soit impaire, on aura donc un multiple de 4.
12 ou 22 ? 12 est multiple de 4. Puis on continue avec les centaines ...
112 ou 212 ? 112 est multiple de 8
De fil en aiguille, il suffit de prendre les n derniers chiffres du nombre :
[ ...12...1211111212122112 ]
On peut, bien sûr, obtenir un nombre plus court avec un choix judicieux de a et b.
