Contribution à la modélisation numérique de l'évolution morphologique des cours d'eau aménagés lors de crues

(1)

HAL Id: tel-02579953

https://hal.inrae.fr/tel-02579953

Submitted on 14 May 2020

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Contribution à la modélisation numérique de l’évolution

morphologique des cours d’eau aménagés lors de crues

P. Balayn

To cite this version:

P. Balayn. Contribution à la modélisation numérique de l’évolution morphologique des cours d’eau aménagés lors de crues. Sciences de l’environnement. Doctorat Mécanique, Université Claude Bernard Lyon I Villeurbanne, 2001. Français. �tel-02579953�

(2)

Numéro d’ordre:111-2001 Année 2001

THÈSE

présentée

devant l’UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD - LYON 1

pour l’obtention

du diplôme de Doctorat

(arrêté du 30 mars 1992)

soutenue publiquement le 5 juillet 2001

par Pierre BALAYN

CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE DE L'ÉVOLUTION MORPHOLOGIQUE DES COURS D’EAU AMÉNAGÉS LORS DE CRUES

Spécialité: mécanique

Directeur de thèse: Bernard GAY

Jury: M. Richard PERKINS Président M. Benoît LE GUENNEC Rapporteur

M. Yves ZECH Rapporteur

M. Jean-Pierre BOUCHARD M. Bernard GAY

M. Ahmed KHALADI M. André PAQUIER

(3)

Numéro d’ordre:111-2001 Année 2001

THÈSE

présentée

devant l’UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD - LYON 1

pour l’obtention

du diplôme de Doctorat

(arrêté du 30 mars 1992)

soutenue publiquement le 5 juillet 2001

par Pierre BALAYN

Spécialité: mécanique

Directeur de thèse: Bernard GAY

Jury: M. Richard PERKINS Président M. Benoît LE GUENNEC Rapporteur

M. Yves ZECH Rapporteur

M. Jean-Pierre BOUCHARD M. Bernard GAY

M. Ahmed KHALADI M. André PAQUIER

(4)

Remerciements

La thèse est un exercice relativement solitaire; pourtant ce travail n’a pu être mené à terme que grâce au concours et au soutien de nombreuses personnes. Je tiens à les remercier ici.

En premier lieu, mes remerciements vont au jury pour l’intérêt qu’il a porté à mon travail, et plus particulièrement aux rapporteur, M. Le Guennec pour son enthousiasme et M. Zech pour la précision de ses commentaires.

Je remercie également mon directeur de thèse Bernard Gay pour son regard critique et encourageant sur mon travail. J’adresse ma vive reconnaissance à André Paquier qui a suivi l’ensemble de mon travail au Cemagref et m’a apporté une aide précieuse sur des aspects théoriques et pratiques tout en me laissant une grande autonomie.

Je dois beaucoup à mes professeurs Éric Hérouin et Pierre Pernès; ils m’ont non seulement fait découvrir et apprécier l’hydraulique et le transport solide mais surtout donné envie d’en savoir plus. Je les en remercie très humblement.

Pour les données dont j’a pu disposer, je tiens à remercier la Compagnie Nationale du Rhône et en particulier MM. Ahmed Khaladi et Frédéric Storck.

Gilles Belaud m’a très aimablement fourni ses mesures sur le canal de Jarwari. J’ai également apprécié sa compétence lors des intéressantes discussion scientifiques que nous avons eues. Je remercie également MM. Morel et Champagne du Laboratoire de Mécanique des Fluides de l’Insa de Lyon pour m’avoir permis d’utiliser leurs installations à ma guise.

Par ailleurs, je voudrais saluer et sincèrement remercier mes collègues du Cemagref de Lyon et en particulier les membres de l’Unité de Recherche Hydrologie et Hydraulique. J’ai trouvé là des conseils judicieux dans une ambiance chaleureuse. J’ai une pensée particulière pour les thésards et informaticiens dont j’ai apprécié l’aide généreuse et la bonne humeur.

Je n’oublierai pas le soutien de Céline et de mes camarades de bureau Karim et Sajjad, ni les riches échanges avec Catherine et Bruno. Ma gratitude va à la fidèle équipe des romantiques désespérés José, Robin, Fred, Stéphane et bien sûr le grand Séb pour leur amitié et tant de grandes discussions…

(5)

Notations

A: aire de la section mouillée (m2₎

L: largeur au miroir (m)

P: périmètre mouillé (m)

Z: cote de la surface libre (m)

Zf : cote du point bas de la section (m)

h

R = A P: rayon hydraulique (m)

H: tirant d'eau (m)

B=A L: hauteur moyenne (m)

Q: débit total dans la section (m3_/s)

q=Q L: débit par unité de largeur (m2_/s)

U =Q A: vitesse débitante (m/s)

I : pente du fond du tronçon (m/m) ,

J Js: pente de la ligne d'énergie, i.e. pertes de charge linéiques, singulières (m/m) Λ: longueur du tronçon (m)

C: coefficient de frottement Chézy (m1/2_/s) , r, f

K K K : coefficient de frottement de

Strickler global, de peau, de forme (m1/3_/s)

M : masse totale du compartiment (kg)

50

D=d : diamètre représentatif des particules du compartiment (m)

84 16

S = d d : étendue granulométrique d'un compartiment (m/m)

n

d : majorant des diamètres de n % de la masse des particules (m)

w: vitesse de chute des particules d'un compartiment (m/s)

s

Q : débit solide total dans la section (kg/s)

cap s

Q : capacité solide de la section (kg/s)

s

q : débit solide unitaire (kg/m⋅s)

t: temps (s)

x: abscisse curviligne (m)

ρ: masse volumique de l'eau (1000 kg/m3₎ s

ρ

: masse volumique sédimentaire (kg/m3₎ µ: viscosité dynamique (10-3_kg/m⋅_s)

ν µ ρ

= : viscosité cinématique (10-6_m2_/s)

g: accélération de la pesanteur (9,81 m/s2₎

τ

: contrainte tangentielle au fond (kg/m⋅s2₎ c

τ

: contrainte critique (kg/m⋅s2₎ *

U =

τ

ρ

: vitesse de frottement (m/s) Densité relative des particules:

ρ ρ ρ ∆= s − Contrainte adimensionnelle:

(

s

)

g

ρ

D

τ

° = ⋅ − ⋅

Débit solide unitaire adimensionnel: 3 s s s q q g D

ρ

∆

° = ⋅ ⋅ ⋅ Diamètre sédimentologique:

(

₂

)

1 3 D° = ⋅ ⋅D g

∆ ν

Vitesse de sédimentation adimensionnelle:

w w g

∆

D ° = ⋅ ⋅ z L Rh H B P Z Zf y Plan horizontal de référence

(6)

Définitions - glossaire

ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE : écoulement ayant une surface en contact avec l'atmosphère. La pression des points situés à la surface libre est donc partout égale à la pression atmosphérique. C'est le cas des écoulements dans les rivières, canaux et réseaux d'assainissement.

FLUIDE HYDROSTATIQUE : fluide pour lequel la seule force volumique est son poids. Les surfaces isobares sont donc horizontales. Cette propriété des fluides au repos est une approximation lorsque le fluide est en écoulement. Pour un fluide de masse volumique

ρ

constante, la pression à une cote z est égale à p= pz=0− ⋅ ⋅

ρ

g z (l'axe des z est

orienté vers le haut et gradué en mètres à partir d'un plan horizontal de référence). FLUIDE NEWTONIEN : fluide dont la vitesse de déformation locale est proportionnelle à la

contrainte de cisaillement locale. L'inverse de leur rapport est la "viscosité dynamique". NOMBRE DE FROUDE DE L'ÉCOULEMENT : rapport de la vitesse moyenne du fluide à la

célérité d'une onde mécanique dans le milieu (équivalent du nombre de Mach utilisé pour les écoulements compressibles). Si le nombre de Froude est inférieur à l'unité, le régime d'écoulement est dit "fluvial" ou "subcritique" ; s'il est supérieur, le régime d'écoulement est dit "torrentiel" ou "supercritique". Dans le premier cas les informations peuvent remonter en tout point de l'écoulement et, dans un modèle monodimensionnel, on a besoin d'une condition limite à l'amont et d'une condition limite à l'aval ; dans l'autre cas, deux conditions limites à l'amont sont nécessaires.

U g B

= ⋅

Fr

NOMBRE DE REYNOLDS DE L'ÉCOULEMENT: rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité. Si le nombre de Reynolds est inférieur à environ 2000, l'écoulement est laminaire; la zone de transition s'étend jusqu'à environ 4000; l'écoulement est turbulent au delà. U B ν ⋅ =

Re

NOMBRE DE REYNOLDS PARTICULAIRE : rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité au voisinage d'un grain. Si le nombre de Reynolds particulaire est supérieur à environ 500, l'écoulement est turbulent autour du grain ; en deçà, il devient laminaire après une phase de transition.

* p U D ν ⋅ =

Re

NOMBRE DE REYNOLDS DE SÉDIMENTATION: rapport des forces d'inertie liées à la vitesse de sédimentation aux forces de viscosité au voisinage d'un grain en chute.

w w D

ν ⋅ =

Re

PARTICULES MONODISPERSES : collection de particules ayant toutes la même masse volumique et le même diamètre représentatif. Du point de vue sédimentaire, ces particules ont donc un comportement homogène.

(7)

Résumé

La modification du lit des cours d’eau lors des crues perturbe les activités humaines. Elle peut favoriser les inondations, menacer la ressource en eau (drainage de la nappe phréatique, comblement des retenues), déstabiliser les ouvrages (ponts, digues, seuils) et de manière plus large perturber leur exploitation (sédimentation dans les canaux d’irrigation ou les collecteurs d’assainissement).

Pour mieux comprendre les mécanismes et prévoir leurs effets, un modèle conceptuel d’évolution de la forme et de la composition du lit est proposé. Son originalité réside dans la représentation synthétique des caractéristiques sédimentaires par deux descripteurs: un diamètre et un paramètre d’étendue granulométrique.

Sur ce principe, la notion de compartiment sédimentaire est définie et utilisée dans le modèle de bilan solide. Cette modélisation a l’avantage d’éviter un découpage arbitraire de l’étendue granulométrique en fractions et permet en outre un calcul intrinsèque de l’épaisseur de la couche de mélange.

Le modèle est mis en œuvre dans un code numérique monodimensionnel. Il est testé à la fois sur des cas théoriques et sur des mesures de laboratoire. Dans l’ensemble des situations modélisées, son comportement géomorphologique est satisfaisant.

Trois applications à des cas réels sont considérés. Elles illustrent des situations extrêmement variées: chasses hydrauliques en collecteur d’assainissement, sédimentation de particules fines en canal d’irrigation et passage de crues dans un bief de rivière.

Les résultats du calcul montrent la pertinence du modèle d’évolution de la forme du lit et de sa composition. Les prédictions qualitatives sont conformes aux attentes et les prévisions quantitatives largement acceptables. Le recours à une méthode de lissage des paramètres géométriques pourrait encore améliorer les résultats.

(8)

Abstract

A CONTRIBUTION TO NUMERICAL MODELING OF BED EVOLUTION OF CHANNELIZED STREAM DURING FLOODS

Modification of the river bed during floods disturbs the human activities. It can increase the damages caused by floods, threaten water resource (aquifer draining, reservoir capacity losses), destabilize structures (bridges, dikes, weirs) and, in a broader way, lead to service inefficiency (sedimentation in irrigation canals or sewer trunks).

To better understand the mechanism of evolution of the shape and composition of the bed and envisage its effects, a conceptual model is proposed. Its originality lies in the synthetic representation of the sediment characteristics by two descriptors: a diameter and a granulometric range parameter.

Based on these descriptors, the concept of a sediment compartment is defined and used in the mass budgeting of sediments. This modeling has the advantage of avoiding an arbitrary choice of the limits of the granulometrical fractions and allows an intrinsic computation of the mixing layer thickness.

The model is implemented in a unidimensional numerical code. It is tested both on theoretical cases and on laboratory measurements. On the whole, its geomorphological behavior is satisfactory.

Three applications to real cases are considered. They represent extremely varied situations: hydraulic flushing of a sewer trunk, sedimentation of fine particles in an irrigation canal and flood routing in a river reach.

The computation results are relevant to the shape and composition evolution of the bed. The qualitative predictions are in conformity with expectations and the quantitative forecasts largely acceptable. The results could still be improved by having recourse to a method of smoothing of the geometrical parameters.

(9)

Sommaire

Notations...3 Définitions – glossaire ...4 Résumé ...5 Abstract...6 Sommaire...7 Introduction ...10

Partie I: analyse bibliographique...12

1. Diverses approches de la dynamique du lit...12

2. Divers types de cours d'eau...13

2.1. Ondulations de forme ...13

2.2. Armurage et pavage ...14

3. Modélisation de l'écoulement liquide ...16

3.1. Équations de Saint-Venant ...16

3.2. Profil des vitesses ...17

3.3. Pertes de charge...18

4. Seuils de mise en mouvement, de dépôt, de suspension...22

4.1. Notion de seuil de mouvement...22

4.2. Contrainte critique...22

4.3. Influence de la cohésion...24

4.4. Seuils de mise en mouvement en granulométrie étendue ...24

5. Lois de capacité solide ...26

5.1. Formule de charriage de Meyer-Peter et Müller ...26

5.2. Formule de charriage de Nielsen...27

5.3. Formule de transport total de Bagnold...27

5.4. Formule de transport total de Engelund et Hansen ...27

6. Lois de chargement ...28

6.1. Formule spatiale de Daubert et Lebreton pour le charriage ...28

6.2. Formule spatiale de Bell et Sutherland pour le charriage ...29

6.3. Formule spatiale de Han pour le transport global ...29

6.4. Formule spatio-temporelle pour le charriage ...30

6.5. Interprétation de la distance de chargement...30

7. Codes numériques existants...31

7.1. Modèles simples...31

7.2. Modèles à plusieurs classes granulométriques...32

(10)

Partie II: description du code de calcul ...34

1. Données et organigramme général...34

1.1. Description de la géométrie ...34

1.2. Organigramme de RubarBE ...35

2. Calcul de la contrainte de cisaillement ...38

2.1. Choix d'une expression de la contrainte...38

2.2. Lieu du calcul de la contrainte ...39

3. Modélisation des sédiments ...40

3.1. Notion de compartiment sédimentaire ...40

3.2. Opérations sur les compartiments ...41

4. Formation des débits solides ...45

4.1. Seuils de mouvement et capacité solide...45

4.2. Loi de chargement et débits solides ...46

5. Bilan solide sur une maille sédimentaire ...48

5.1. Flux entre les compartiments ...48

5.2. Échange de sédiments avec le fond...50

6. Évolution de la section en travers ...51

6.1. Lieu du report du bilan solide ...51

6.2. Déformation de la section ...53

7. Extension du modèle d'évolution sédimentaire...54

7.1. Bilan solide sur une maille sédimentaire ...54

7.2. Évolution de la section en travers ...56

8. Conclusion sur la description du code ...57

Partie III: test du code de calcul ...58

1. Présentation des cas type théoriques...58

1.1. Cas TM1 : creux et bosses ...58

1.2. Cas TM2 et TE2 : variation des apports solides amont ...58

1.3. Cas TM3 : cassures de pente ...59

1.4. Cas TM4 : rétrécissement et élargissement ...59

1.5. Cas TM5 : prélèvements liquides ...59

1.6. Cas du canal de Miribel : capture de gravière...60

2. Présentation des expériences en canal de laboratoire à l’Insa ...61

2.1. Intérêt des expériences ...61

2.2. Description du canal...61

2.3. Protocole de mesures...62

2.4. Observations et mesures...63

3. Tests de la vraisemblance géomorphologique ...65

3.1. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport nul ...65

3.2. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport moitié de la capacité initiale ...66

3.3. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport double de la capacité initiale ...67

3.4. Cas TM3 : cassure de pente ...68

3.5. Cas TM4 : rétrécissement et élargissement ...69

3.6. Cas TE2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport moitié de la capacité initiale avec doublement du diamètre initial ...70

(11)

4. Sensibilité aux paramètres du modèle...71

4.1. Stabilité au pas de discrétisation ...71

4.2. Influence du coefficient de frottement ...73

4.3. Interdépendance des résolutions liquide et solide...75

4.4. Influence de la porosité ...76

4.5. Influence de la largeur active ...77

4.6. Stabilité des paramètres au changement de loi de capacité...79

4.7. Influence de la distance de chargement ...80

4.8. Influence du coefficient multiplicateur de la capacité solide...82

4.9. Influence des paramètres du modèle d’évolution sédimentaire ...83

5. Conclusion sur les tests effectués ...85

Partie IV: application du code de calcul à des cas réels...86

1. Collecteur d’assainissement Tobélem...86

1.1. Présentation ...86

1.2. Construction du modèle numérique ...88

1.3. Résultats ...90

2. Canal d’irrigation de Jarwari ...92

3. Partie aval de l’Isère...103

4. Conclusion sur les cas d’application...114

Conclusion générale et perspectives...115

Bibliographie ...118

Annexes ...123

Annexe 1: choix d'une formulation de la loi de chargement ...124

Annexe 2: principe du calcul de l'équilibre géomorphologique...127

Annexe 3: liens entre les quantiles et les paramètres d'une distribution Normale ou log-Normale ...129

Annexe 4: sensibilité de Qs à J et Q pour les expériences dans le canal de l’Insa...132

Annexe 5 : mesures dans le canal de l’Insa ...133

(12)

Introduction

La concentration des activités humaines à proximité des fleuves et rivières nécessite de se pencher sur les problèmes posés par les crues. Les inondations en sont l’expression la plus marquante; elles sont pourtant indissociables des modifications de la forme du lit qui entraînent, en outre, d’autre désagréments. En effet, la déformation de la géométrie lors des crues influe sur les lignes d’eau mais conditionne aussi la stabilité des ouvrages tels que ponts, digues, seuils, vieux moulins, etc. et peut mettre en péril les ressources en eau en drainant la nappe phréatique ou en réduisant la capacité des retenues.

Par ailleurs, les problèmes liés à la dynamique du lit se retrouvent également dans d’autres types de cours d’eau. À titre d’exemple, dans les canaux d’irrigation, la décantation de fines en suspension modifie les conditions d’exploitation et nécessite un entretien coûteux; dans les collecteurs d’assainissement, la formation de dépôts oblige à des curages pénibles et dispendieux.

Le traitement de l’ensemble de ces problèmes passe par une meilleure connaissance des mécanismes impliqués et exige le recours à des méthodes de prévision de l’évolution morphologique du lit des cours d’eau. La mise au point de modèles numériques peut répondre à ces deux exigences.

D’un point de vue heuristique, de tels modèles permettent de tester diverses hypothèses de dynamique géomorphologique. Les descripteurs géométriques, hydrauliques et sédimentaires les plus pertinents émergent ainsi. L’identification des facteurs prépondérants permet alors d’affiner la connaissance des mécanismes d’évolution du lit.

D’un point de vue pratique, les outils numériques sont des aides précieuses pour les problématiques d’ingénierie. Ils sont à la fois utiles pour corriger des situations existantes et pour guider les choix au stade des études préalables. Ils permettent en effet de tester les différentes options d’un projet mais aussi dans une certaine mesure d’aider au dimensionnement des aménagements hydrauliques.

Nous nous sommes donc intéressés à la modélisation numérique de l’évolution du lit des cours d’eau. Cependant, il convient dès maintenant de restreindre le champ de notre étude aux cours d’eau aménagés perçus à des échelles intermédiaires.

Les durées et les distances doivent être suffisantes pour que les solides en mouvement puissent être considérés comme une masse continue. Typiquement, les périodes simulées sont de l’ordre d’une à quelques crues morphogènes et les échelles spatiales sont compatibles avec l’évolution des limites du modèle pendant cette durée.

Les rivières aménagées ont un profil en plan figé, souvent au moyen de digues qui bloquent toute évolution latérale. Dans les cas courants, elles ne débordent pas sur leur plaine d’inondation occupée par des activités humaines. Les problèmes de migration de méandre, de chenaux à lits multiples et d’écoulements en lits composés sont donc exclus.

Ces limitations permettent de se ramener à des cas d’écoulements monodimensionnels pour lesquels la résolution hydrodynamique est bien connue. Elles n’excluent en revanche ni les écoulements non uniformes ni les écoulements non permanents. En effet, les géométries rencontrées, en particulier lorsque les modifications sont rapides ou importantes, peuvent être assez chaotiques; d’autre part, les hydrogrammes de crue peuvent conduire à des écoulements très transitoires, en particulier dans les cas extrêmes de vidange rapide de barrage ou de chasse hydraulique.

(13)

La bibliographie indique que les méthodes couramment envisagées peuvent globalement être classées en deux catégories. La première relève d’une vision géomorphologique et propose des modèles simples de calcul d’équilibre. Ils sont cependant souvent inadaptés au suivi de la dynamique du lit, et en tout cas incapables de simuler l’évolution des caractéristiques sédimentaires. Les méthodes de la seconde catégorie sont mécanistes. Elles s’appuient sur une description sédimentaire complexe considérant plusieurs fractions granulométriques. Les modèles proposés sont plus proches du détail des phénomènes mais se révèlent délicats à mettre en œuvre car souvent mal adaptés au peu de données granulométriques disponibles. De plus, ils peuvent être difficiles à caler pour certains paramètres.

Dans ces conditions, il apparaît intéressant de rechercher une voie intermédiaire conciliant la simplicité de la description sédimentaire des premiers modèles avec la finesse des méthodes des seconds. Ce travail a donc pour objectif la mise au point d’un modèle d’évolution de la forme du lit et de sa composition fondé sur une représentation synthétique des sédiments. Ceci doit permettre de limiter au maximum le recours à des paramètres délicats à caler compte tenu des données généralement disponibles en aménagement de cours d’eau.

Ce mémoire comporte quatre parties. Dans la première, une analyse bibliographique cadre le sujet et rassemble les éléments utilisés par la suite. La deuxième partie expose les étapes de l’élaboration du modèle en insistant sur la prise en compte de la description sédimentaire. Dans la troisième partie, le comportement géomorphologique du modèle est testé à la fois sur des cas théoriques et sur des expériences de laboratoire menées pour l’occasion. Une analyse de la sensibilité des différents paramètres complète les tests. Enfin, la dernière partie rassemble trois applications à des cas réels. Les situations sont extrêmement variées puisqu’il s’agit de chasses hydrauliques en collecteur d’assainissement, de sédimentation de particules fines en canal d’irrigation et de passages de crues dans un bief de rivière.

(14)

Analyse bibliographique

L’enjeu de toute démarche de modélisation est de lire la réalité du phénomène étudié à travers une grille simplificatrice adaptée. Il s'agit de trouver, en fonction d'un objectif choisi, un compromis acceptable entre précision de la description des phénomènes et lourdeur de mise en œuvre du modèle. Dans la suite, les éléments utiles à la description –dans le cadre et à l'échelle qui nous intéressent– des écoulements de sédiments dans les cours d’eau ont été rassemblés et discutés. Cette analyse bibliographique n’est pas exhaustive mais n’est pas non plus strictement limitée aux éléments utilisés dans la suite.

Après une présentation succincte des démarches d’étude de la dynamique du lit et un exposé des phénomènes sédimentaires affectant les formes de surface du lit des cours d’eau, nous nous intéressons successivement aux différents éléments nécessaires à l’élaboration d’un modèle de transport de sédiments.

1. Diverses approches de la dynamique du lit

Lorsqu'on s'intéresse à la dynamique du lit, deux visions sont complémentaires; il convient de bien les différencier car elles ne concernent pas les mêmes échelles.

Si l'on considère les phénomènes de manière globale, on est dans le cadre d'une vision géomorphologique. L'entité physique de base est alors le tronçon de rivière, délimité par deux discontinuités hydrauliques ou sédimentaires. Ses caractéristiques (section, forme, pente, granulométrie) sont comparables en tout point et son comportement est homogène (stabilité ou tendance à l'exhaussement, à l'enfoncement, au basculement de pente, au changement de section, etc.). On envisage l'évolution sur des périodes compatibles avec cette vision globale,

i.e. comprenant plusieurs crues morphogènes.

Cette approche permet de déterminer la situation d'équilibre vers laquelle tend globalement le tronçon. Pour ce faire, on exprime l'équilibre comme l'égalité des flux sédimentaires entrant et sortant, mais sans qu'il soit forcément nécessaire d'en connaître la valeur. En comparant la situation présente avec l'équilibre théorique ainsi déterminé, on estime ensuite un sens d'évolution probable (Bravard et Klingeman [1993], Malavoi [2000]).

Dans ce cadre, il n'est pas possible de décrire ce qui se passe localement (près d'un obstacle, d'une singularité, ou au raccordement entre deux tronçons), ni de prévoir les fluctuations du lit à l'échelle d'une crue –utile pour la stabilité des ouvrages et la prévision d'inondation–, ni de calculer le détail de l'évolution jusqu'à l'ajustement. Cependant, cette approche a l'immense avantage d'être capable de prévoir les conditions d'équilibre à long terme sans nécessiter de conditions aux limites sédimentaires précises. De plus, elle est très robuste, même si les données sont limitées.

A l'opposé, l'approche locale-événementielle s'intéresse aux variations morphologiques à une échelle plus fine: le tronçon est découpé en mailles du même ordre de grandeur que la largeur. La cohérence impose alors des pas de temps réduits.

La variation morphologique est calculée par un bilan sédimentaire sur chaque maille afin de suivre l'évolution fine des structures du lit (Holly et Rahuel [1991]). Ceci permet donc d'obtenir la cote du fond et le flux solide en tout point du maillage mais nécessite une connaissance précise des conditions aux limites, en particulier sédimentaires. De plus, la géométrie et l'hydrologie doivent être décrites de façon détaillée (Ramez [1995]).

(15)

Par ailleurs, à chaque pas de temps, l'écoulement liquide et la déformation solide interagissent; on a donc un problème couplé qui cumule –voire amplifie– les erreurs. Cette méthode est par conséquent assez sensible aux perturbations ainsi qu'à la finesse des conditions initiales. Ceci explique son manque de fiabilité pour les prévisions à long terme. Ainsi, cette approche, qui exige des données relativement précises, est plutôt adaptée à l'étude des évolutions locales dans des zones limitées et durant un événement donné.

2. Divers types de cours d'eau

Il est courant de distinguer les rivières à sable des rivières à gravier. Il s'agit en fait plus d'une classification du comportement de la rivière que d'une stricte caractérisation de son substrat. Dans le cas des rivières à sable, le transport des sédiments s'effectue de manière continue au cours d'une crue. Dans certaines conditions, des structures régulières peuvent apparaître et se déplacer sur le lit, entraînant une augmentation des pertes de charges de l'écoulement et une diminution de l'énergie disponible pour le transport solide.

Dans le cas des rivières à gravier, on peut rencontrer des phénomènes de tri granulométriques qui affectent les échanges de particules entre le lit et l'écoulement. On a alors armurage ou pavage du lit.

Les rivières à sable sont en général constituées de grains dont le diamètre est relativement faible et l'étendue granulométrique restreinte; les rivières à gravier ont des substrats plus grossiers et une étendue granulométrique assez large (Ramez [1995]). Certains auteurs distinguent ces deux types selon un critère absolu –d50 inférieur à 2 mm pour les rivières à

dunes souvent assimilées aux rivières à sable– tandis que d'autres lui préfèrent un critère de submersion relative H /D (où H est le tirant d’eau et D est le diamètre représentatif des

particules du lit, correspondant en général soit au diamètre médian d50, soit au diamètre

moyen dm). Quoi qu'il en soit, cette typologie des rivières, relativement aisée d'un point de

vue théorique doit être utilisée avec prudence sur le terrain car la frontière n'est pas nette et il existe des rivières mixtes.

2.1. Ondulations de forme

Dans le cas d'une rivière à sable, le transport solide est accompagné d'une déformation régulière du profil en long (ondulations avec apparition de rides et dunes) et du tracé en plan (bancs alternés conduisant crue après crue à des méandres). Ces phénomènes sont faibles voire inexistants en début de transport (

τ

°<0,062), puis augmentent jusqu'à un maximum dans la zone du débit de plein bord; ils diminuent et disparaissent lorsque les conditions hydrauliques s'intensifient encore (

τ

°>2,5).

Les rides et dunes à la surface du lit affectent directement les conditions hydrauliques. En effet, le sillage de ces structures engendre une perte de charge supplémentaire que l'on associe à un terme de rugosité de forme (le coefficient de frottement de Strickler associé est noté Kf

ou K"). Il s'ajoute aux frottements de peau liés à la rugosité des grains. C'est donc le Strickler global qui doit être pris en compte dans le calcul hydraulique.

D'autre part, du fait des rugosités de forme, le liquide frotte moins efficacement sur le périmètre mouillé: une part plus importante de l'énergie en provenance du champ moyen des vitesses est dissipée par l'écoulement sous forme de turbulence, ce qui diminue la part d’énergie disponible pour le transport de sédiments. On modélise ce phénomène par une diminution de la contrainte de cisaillement au fond disponible au niveau de l'interface liquide-solide. Dans les formules de transport, on introduit le terme de contrainte efficace qui corrige la contrainte en la multipliant par un terme inférieur à l'unité:

(16)

3 2 ' eff K K

τ

=_ _ ⋅

τ

  (I.2.i)

K : coefficient de Strickler total (m1/3_{/s) ;}_K'_{: coefficient de frottement de Strickler pour les}

frottements de peau seuls (m1/3_/s).

Par ailleurs, divers auteurs dont Ramette [1981] et Yalin [1992] proposent des abaques de calcul du coefficient multiplicatif de correction.

2.2. Armurage et pavage

En granulométrie étendue, des phénomènes de ségrégation des grosses particules à la surface du lit peuvent se produire. Ils affectent la contrainte seuil de mise en mouvement des matériaux du lit (Lefort [1995]).

On distingue plusieurs types de couches superficielles. Bien que les auteurs ne soient pas tous d'accord sur la terminologie (Malavoi [1986]), ils s'accordent à reconnaître deux mécanismes principaux, l'armurage et le pavage. Nous les décrirons brièvement en nous appuyant sur la nomenclature de Bray et Church [1980]. Le masquage et le carapaçage, qui sont des cas limites de ces phénomènes sont ensuite rapidement évoqués.

Armurage

Dans le cas de l'armurage, les particules grossières que l'on retrouve à la surface du lit sont également présentes dans les couches sous-jacentes. En fait, la couche superficielle correspond à la fraction grossière de l'ensemble du substrat; son diamètre caractéristique est de l'ordre du D90 de l'ensemble du lit (Milhous [1973] cité par Ramez [1995]). On retrouve

cette structure dans des rivières à substrat graveleux mais quelquefois également dans celles à substrat sableux.

Le mécanisme de mise en place est le suivant: à l'issue d'une crue ayant remanié l'ensemble du substrat, on retrouve une granulométrie hétérogène mais identique sur une certaine profondeur. Lorsque le débit diminue, la contrainte passe par une plage comprise entre le seuil d'arrêt des particules grossières et celui des particules fines. Dans la couche superficielle, on a alors une exportation des fines vers l'aval, tandis que les grosses particules s'arrêtent. Une couche protectrice, l'armure, se met alors en place et bloque l'érosion des matériaux sous-jacents. Finalement, un lit stable est formé (Little et Mayer [1976]) et il persiste jusqu'à ce qu'une crue suffisamment intense dépasse la contrainte critique de mise en mouvement de l'armure superficielle et déstabilise à nouveau l'ensemble du lit.

Dans le cas de l'armurage, ce seuil est dépassé assez souvent (crue annuale) et l’ensemble du lit est alors mobilisé avec éventuellement des épisodes de transport importants; les petites crues plus fréquentes s’écoulement quant à elles dans un lit indéformable. Au total, on a un lit en équilibre dynamique stable (pas de tendance à l'incision), dont les caractéristiques sont en accord avec l'apport solide amont lors des crues.

Au cours d'une crue, si la contrainte reste inférieure à la contrainte critique de l'armure, le débit solide transitant est faible –voire nul– et principalement constitué de particules provenant de l'amont et courant sur l'armure. Ce débit est commandé par la disponibilité des sédiments sous-jacents protégés de l'action de l'écoulement. Si la contrainte atteint la contrainte critique, l'armure saute, exposant ainsi l'ensemble du lit. Dans ce cas, le débit solide est gouverné par les conditions hydrauliques.

(17)

Pavage

Dans le cas du pavage, on observe des grains de surface plus gros que la fraction grossière des sédiments sous-jacents. Parker et Klingeman [1982] citent des valeurs de diamètres médians de la couche pavée 1,5 à 3 fois supérieures à celles des couches recouvertes.

Comme dans le cas de l'armurage, la mise en place du pavage est liée à un entraînement préférentiel des fines. Cependant, la réunion de certaines conditions conduit à une déstructuration de la couche supérieure bien moins fréquente. Cette couche protectrice n'est alors plus "rajeunie" régulièrement et la ségrégation s'accentue jusqu'à former une couche superficielle pavée bloquant toute dynamique du lit. On peut également arriver à un pavage si une rivière en érosion atteint une couche profonde (paléo-surface) composée d'éléments trop gros pour être transportés.

Le phénomène de pavage se rencontre uniquement dans les rivières à substrat graveleux. Il est lié à une modification de l'équilibre de la rivière avec tendance à l'érosion, souvent consécutive à:

– une diminution des apports solides amont à l'aval d'un lac, d'un barrage ou d'une capture de gravière;

– un écrêtement des grosses crues capables de mobiliser la couche superficielle déjà en place (dans ce cas, sur la couche pavée, il y a un risque de colmatage du lit);

Le lit de la rivière est alors en équilibre statique et sa composition n’évolue plus. On peut cependant éventuellement observer une dynamique de bancs de sable ou de graviers se déplaçant au dessus du pavage, sans réellement interférer avec lui.

Le seuil de mise en mouvement du pavage n'est quasiment jamais dépassé, ce qui bloque toute dynamique du lit. Cependant, si lors d'un événement exceptionnel cette couche saute, l'érosion de la rivière reprend jusqu'à la remise en place d'un nouveau pavage (Parzonka [2000]).

Autres phénomènes

Avant que le processus de ségrégation granulométrique ne rende quasiment impossible l'érosion des fines, on passe par un état intermédiaire où le seuil de mise en mouvement des petites particules est accru, tandis que celui des plus gros grains est légèrement abaissé. Ce phénomène est appelé masquage. Il est dû au fait que la présence des grosses particules perturbe le champ turbulent des vitesses près du fond (épaississement de la couche limite laminaire), ce qui diminue la probabilité d'arrachement d'une fine. Cependant, les fines présentes dans les interstices écartent les grosses particules qui sont donc surexposées. En quelque sorte, les particules les plus grosses protègent les plus petites, mais sont de ce fait déstabilisées.

D'autre part, dans les rivières de haut de bassin versant, on peut avoir d'importants apports solides latéraux liés aux torrents. Des sédiments souvent très grossiers (blocs, etc.) sont ainsi déposés sur le lit existant. Les crues successives de la rivière étalent cette masse, sans réellement la transporter vers l'aval. On a alors un phénomène de carapaçage qui bloque toute dynamique du lit.

(18)

Voies de modélisation

Little et Mayer [1976] ont montré que les phénomènes d'armurage et de pavage ne pouvaient exister que sous certaines conditions granulométriques. Leurs expériences en laboratoire prouvent que ces processus ne peuvent se produire que si la composition granulométrique des solides a un écart-type supérieur à 1,3. Lin [1993] adapte cette condition à la théorie probabiliste de Gessler [1970] pour son code de calcul Medca. Il teste, selon ce critère, s'il peut y avoir armurage, auquel cas la composition de la couche mélangée (couche superficielle participant aux échanges de solides avec le liquide) devient égale à la composition limite. Cette approche est relativement simple mais présente l'inconvénient d'être très caricaturale. Rahuel [1988] simule l'armurage différemment dans le code Carichar. Il considère qu'au fur et à mesure de l'érosion des strates sédimentaires, les gros grains ne pouvant être transportés se retrouvent dans la couche superficielle (couche mélangée). Le lit s'armure alors progressivement jusqu'à ce que les blocs recouvrent toute la surface et bloquent l'érosion. Cette approche, lourde au niveau numérique, semble plus proche d'un processus physique et est sans doute mieux adaptée à une vision dynamique du phénomène. Elle présente cependant le lourd inconvénient de nécessiter de très nombreuses données granulométriques et impose le délicat choix de l'épaisseur de la couche mélangée.

On rencontre d'autres modélisations des phénomènes de masquage et d'armurage. Par exemple, dans les formules de capacité solide à seuil, il est classique d'augmenter la valeur de la contrainte critique de Shields de la valeur courante de 0,047 à 0,138 (Ramez [1995]). Une variante consiste à considérer comme diamètre représentatif le d90 plutôt que le d50 de la

distribution (Milhous [1973], Parker, Klingeman et MacLean [1982]). Ces modélisations rendent effectivement compte d'un masquage mais créent une symétrie illusoire entre les phénomènes d'arrachement et de dépôt des particules; ainsi, lorsque le substrat est déstructuré, la contrainte critique est surestimée. De ce fait, elles ne sont pas envisageables dans le cas où un débit solide arrivant de l'amont court sur la couche armée.

3. Modélisation de l'écoulement liquide

3.1. Équations de Saint-Venant

La description purement hydraulique de l'écoulement implique le choix d'équations dynamiques traduisant les grands principes mécaniques de conservation, complétées par une représentation adéquate des frottements (Pochat [1979], Pernès [1989]).

Nous faisons l'hypothèse que l'eau est un fluide incompressible et que, malgré l'éventuelle présence de particules solides transportés, elle a un comportement newtonien. Graf et Altinakar [1996] indiquent que cette hypothèse reste valide jusqu’à des concentrations extrêmes de l’ordre de 8% en masse. La dynamique de l'écoulement obéit alors aux équations locales tridimensionnelles de Navier-Stokes (1824). Pour un écoulement à surface libre et moyennant certaines hypothèses supplémentaires, ces équations générales sont intégrées sur une verticale et deviennent les équations de Saint-Venant sous une forme bidimensionnelle (Paquier [1995]); on peut poursuivre l’intégration sur la largeur afin d’arriver à l’expression monodimensionnelle (Saint-Venant [1871]) présentée plus bas. Les hypothèses sont les suivantes:

– répartition des pressions hydrostatique dans une section. Hérouin [1991] a montré que cela impose notamment que le rayon de courbure des lignes de courant soit important

i.e. que les méandres soient larges et que le tirant d'eau soit grand devant les aspérités

du fond.

– la pente de la ligne d'énergie reste faible. Basco [1989] a montré que même dans le cas extrême des ruptures de barrage, cette hypothèse était peu contraignante.

(19)

– la représentation de l'écoulement par des grandeurs moyennes (vitesse, hauteur, débit, section mouillée, etc.) sur une maille ou une section a un sens.

Dans le domaine de l'hydraulique à surface libre, les équations de Saint-Venant sont unanimement acceptées. Leur expression monodimensionnelle est la suivante:

l A Q q t x ∂ ₊∂ ₌ ∂ ∂ (I.3.i) 2 l l Q Q Z Q g A g A J k q t x

β

A x A   ∂ ₊ ∂ _⋅ _{+ ⋅ ⋅}∂ _{= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅}   ∂ ∂ _ _ ∂ (I.3.ii)

ql: débit latéral linéique >0 si apport et <0 si fuite (m2/s) ; β: coefficient de Boussinesq, lié au

profil des vitesses; J: pente de la ligne d’énergie, comptée positivement dans le sens de l'écoulement; kl: coefficient de quantité de mouvement de débit latéral.

Le débit latéral (infiltration ou prises diffuses) est généralement faible devant le débit principal; il n’a d’influence notable sur la conservation de la quantité de mouvement que dans le cas d’une fuite (ql< 0). On peut donc considérer:

1 0 0 0 l l l si q k si q <  = _≥  (I.3.iii)

La pente de la ligne d’énergie est le moteur de l’écoulement. Elle correspond au gradient de la charge hydraulique notée H. Dans son expression, on introduit le coefficient de Coriolis

α

traduisant la forme du profil des vitesses.

x H J ∂ ∂ − = avec g 2 V Z H 2 ⋅ + =

α

(I.3.iv)

3.2. Profil des vitesses

Très souvent, la modélisation unidimensionnelle conduit à considérer que la vitesse est constante sur toute la section. Cette hypothèse est évidemment fausse car du fait de la viscosité, la vitesse est moins importante près des limites solides de l'écoulement. Le terme cinétique de la charge sur une section, (v2_/2g₎_m_{, n'est donc pas rigoureusement égal à}_v_m2_/2g

(l'indice m désigne la moyenne spatiale sur la section).

Il faut ainsi prendre en compte un coefficient de correction dont le calcul est détaillé ci-après: le débit massique de fluide en écoulement à travers un élément de surface dA est

ρ

v

⋅

dA; son énergie cinétique par unité de poids est v2_/2g_{. Ainsi le flux d'énergie cinétique à travers cet}

élément s'écrit (

ρ⋅

v3_/_2g₎

⋅

_dA_{. En intégrant cette expression, on arrive au flux d'énergie}

cinétique de l'écoulement à travers la section. Si on rapporte ce dernier au débit massique de fluide à travers la section, égal à

ρ⋅

Q =

ρ⋅

vm

⋅

A, on obtient le terme cinétique de la charge:

3 2 2 2 2 2 m A m m v dA g v v g v A g

ρ

α

ρ

⋅ ⋅     = = ⋅    _⋅ _⋅ _ _   _ _

∫

d'où 3 1 m A v dA A v

α

= ⋅ _ _ ⋅  

∫

(I.3.v)

α

est le coefficient de Coriolis intervenant dans l'expression de la charge d'un écoulement sur une section (formule I.3.iv).

      

(20)

Des considérations identiques s'appliquent au calcul du flux de quantité de mouvement (Q

⋅ρ

v)m. Le flux de quantité de mouvement à travers un élément de surface dA est

ρ

v2

⋅

dA. On en déduit le terme de correction:

(

)

2 1 m m m A Q v _v dA Q v A v

ρ

β

ρ

⋅ _ _ = = ⋅ _ _ ⋅ ⋅

∫

  (I.3.vi)

β

est nommé coefficient de Boussinesq. Il intervient dans le terme de quantité de mouvement de l'équation de conservation de Saint-Venant (formule I.3.ii).

Les coefficients

α

et

β

ne peuvent pas être inférieurs à 1. Ils sont tous deux égaux à l'unité si les vitesses sont en tous points identiques sur la section. Les valeurs de ces coefficients sont en général peu supérieures à 1. Henderson [1966] indique que

α

dépasse rarement la valeur de 1,15 en chenal régulier, mais peut atteindre 2 et plus dans les chenaux à lits composés (pour lesquels il propose une formule de composition). Lencastre [1976] indique que pour une rivière plate après une courbe, on a

α

=1,35. De plus, il cite Bazin qui relie

α

au coefficient de frottement de Chézy (formule I.3.x) pour un écoulement à l'équilibre dans des sections rectangulaires très larges: 2 C 210 1+ =

α

(I.3.vii)

Les valeurs des coefficients sont liées car elles dépendent toutes deux de la forme du profil des vitesses. Lencastre [1976] propose une relation approchée simple (mais sans indiquer son domaine de validité):

(

)

-1 3 -1

α

= ⋅

β

(I.3.viii)

En pratique, la valeur de ces coefficient est calculée d'après mesures. Cependant, cela nécessite de disposer de mesures fines du profil des vitesses. Aussi, très souvent, ces coefficients sont négligés en pratique, bien qu'intervenant au premier ordre dans les équations dynamiques. Dans un écoulement uniforme, cette approximation est sans conséquence (tout au plus, cela déplace la ligne de charge parallèlement à elle-même), alors qu’elle paraît douteuse dans le cas d'un écoulement fortement non-uniforme où le profil des vitesses n'est pas homothétique.

3.3. Pertes de charge

Frottements sur les parois

Les frottements de l'écoulement sur les parois –principalement le fond et les berges, que l'on assemble dans le "périmètre mouillé" d'une section– agissent par le biais de la contrainte tangentielle au fond, notée

τ

. Cette grandeur peut être reliée aux caractéristiques moyennes de l'écoulement. Pour cela, on écrit le bilan des forces s'appliquant sur une tranche de rivière en régime permanent et on obtient (Henderson [1966]):

g J Rh

ρ

τ

= ⋅ ⋅ ⋅ (I.3.ix)

En général, si la rugosité est petite devant le tirant d'eau, on considère que la contrainte est proportionnelle au carré de la vitesse moyenne. De plus, ceci est cohérent avec les formulations de Darcy pour les canalisations. En 1768, Chézy a donc proposé la formule suivante (Yen [1991]):

U = ⋅C J Rh⋅ (I.3.x)

(21)

Pour un écoulement turbulent rugueux –cas courant en rivière, en particulier pendant une crue–, le facteur de frottement ne dépend plus du nombre de Reynolds mais de la géométrie globale de l’écoulement (Chow [1985]); de nombreux auteurs ont donc tenté de relier le coefficient de Chézy aux caractéristiques de l'écoulement. L'enjeu était de trouver une formule de perte d'énergie ("power formula") ne faisant intervenir, en régime uniforme, que des grandeurs moyennes sur une section.

On attribue à Manning (mais Henderson [1966] pense qu'il s'agit d'une erreur) une expression liant C au rayon hydraulique. Strickler confirme ce résultat. Ainsi, la très célèbre formule de perte d'énergie en découlant est connue sous le nom de relation de Manning-Strickler:

2 1

3 2

U = ⋅K J ⋅Rh (I.3.xi)

K : coefficient de frottement global de Strickler (m1/3_/s).

En 1923, Strickler propose une formule reliant K à la rugosité du substrat, évaluée par le diamètre médian des particules constituant le lit. Ici K ne prend en compte que les frottements de peau ("grain shear stress") et est donc noté K':

1 6 50 21 ' K d = (I.3.xii)

K': coefficient de frottement de Strickler pour les frottements de peau (m1/3_/s).

En toute rigueur, la formule de Manning-Strickler n'est utilisable que dans les chenaux à lit plat. Dans ces conditions, K est égal à K'. Cependant, comme cette relation est souvent utilisée hors de son strict domaine de validité, il convient de ne pas amalgamer ces deux coefficients de Strickler.

Si le lit n'est pas plat, d'autres formules de perte d'énergie ("power formulas") existent. Ainsi, pour un régime de dunes (régime le plus courant dans la zone du plein bord), Engelund et Hansen [1967] utilisent la relation suivante:

9 5 8 4 U = ⋅

κ

J ⋅Rh avec ₃ 4 50 10,9 d

κ

= (I.3.xiii)

Pertes de charge singulières

Dans certaines zones, les pertes de charge sont mal représentées par les formules présentées ci-dessus. Par exemple, dans les secteurs où la turbulence est intense ou ceux où le profil des vitesses est perturbé, il faut corriger la perte de charge liée aux frottements sur les parois par une perte de charge additionnelle. Diverses formules de pertes de charge singulières ont été proposées, chacune correspondant à un cas spécifique.

Dans le cas d'un méandre, l'écoulement est dissymétrique ce qui induit un écoulement hélicoïdal. Ceci affecte la dissipation énergétique et la distribution transversale des contraintes de cisaillement. Rozovskii [1957] (cité par Yalin [1992]) propose la formule expérimentale suivante pour rendre compte des pertes de charge singulières uniquement dues à un virage :

2 2 2 12 30 s c g g H J C C r  _{  } =_ ⋅ + ⋅ _{  }_{  }⋅ ⋅  

Fr

(I.3.xiv)

(22)

Dans le cas d'une contraction de la section, on ne considère en général pas de perte de charge singulière. En revanche, dans celui d'un élargissement brusque, on considère souvent une perte de charge singulière égale à (Lencastre [1976]):

(

)

_{( )}

( )

(

)

2 0 tan 0,15 1 tan 1 2 1 0, 525 ln tan 1 2 s si U U J avec si g x sinon

α

ξ

α

∆

α

 _<  −  = ⋅ _{⋅ ⋅} = >  + ⋅  (I.3.xv)

ξ: coefficient d'élargissement; α: angle d'ouverture de l'élargissement; U1,U2: vitesses moyennes

à l'amont et à l'aval (m/s); ∆x: distance de l'élargissement (m).

Ouvrages

Il est parfois impossible de calculer les paramètres hydrauliques par les équations de Saint-Venant sur la totalité du linéaire d'une rivière. En particulier, les conditions d'écoulement dans les ouvrages peuvent être très éloignées des hypothèses de Saint-Venant du fait de fortes pentes locales, de resserrements prononcés impliquant des vitesses verticales ou transversales non négligeables, etc. Dans ce cas, on abandonne localement le calcul classique pour relier directement le débit aux autres variables hydrauliques par le biais d'une loi d'ouvrage.

Ces lois sont des formules essentiellement empiriques établies en régime permanent et extrapolées en régime transitoire. Ci-dessous, une loi classique de déversoir-orifice rectangulaire est exposée, présentée telle qu'elle est utilisée dans le logiciel de calcul hydraulique Rubar3 (Paquier [1995]). On distingue plusieurs cas de fonctionnement, selon que l'ouvrage est noyé (les conditions aval influencent l'amont) ou dénoyé (amont indépendant de l'aval) et s'il fonctionne en charge ou à surface libre.

Régime dénoyé à surface libre

Si z₁≤z_d +3₂k₁w et 1₃ _d 1 3 2 2 z z z < + alors:

(

)

32 d 1 z z g 2 l µ Q= ⋅ ⋅ ⋅ −

Régime noyé à surface libre

Si z₂ ≤z_d +k₂w et z₂ ≥2₃z₁+ 1₃z_d alors:

(

) (

)

12 2 1 d 2 z z z z g 2 l ' µ Q= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −

Régime dénoyé en charge

Si z₁> z_d +3₂k₁w et 1₃ _d 1 3 2 2 z z z < + et z z 1₂w d 2 ≤ + alors: 2 1 2 w z z w g 2 l c Q= _d ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ₁− _d − )

Régime noyé en charge

Si z₁> z_d +3₂k₁w et z₂ <2₃z₁+ 1₃z_d et z₂ > z_d +1₂w ou si z₂ ≥2₃z₁+ 1₃z_d et z₂ > z_d +k₂w alors:

(

)

12 2 1 n l w 2g z z c Q= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

Q: débit à travers l'ouvrage (m3_/s)_;_z₁_{: cote amont (m)}_;_z₂_{: cote aval (m)}_;_z_d_{: cote de la crête du}

seuil (m); l: largeur du seuil (m); w: ouverture de l'orifice (m); µ, µ', cn, cd: coefficients de débit

adimensionnels; k1, k2: constantes adimensionnelles.

Q w

(23)

La cohérence de l'ensemble impose des relations entre les coefficients. Dans Rubar3, on a k1=0,75 et k2=0,58 et cn = cd =1,51⋅µ =k2⋅µ'. Seul reste alors à caler le coefficient de débit

µ, en pratique souvent égal à 0,4.

Influence du transport solide sur les frottements

Si l'on mène le calcul liquide indépendamment du calcul solide, tout se passe comme si la déformation du fond n'influait sur le calcul de la ligne d'eau que par la déformation de la topographie du lit, indépendamment du mouvement des sédiments. Or dans la réalité, ce mouvement interagit sur l'écoulement, ce qui doit se traduire par une modification du coefficient –voire de la formule– de perte de charge de l'écoulement.

Le fait que le fond se déforme (lié au transport de sédiments), joue sur l'écoulement liquide à plusieurs niveaux en interaction:

– la déstructuration du substrat et les rides (jouant au niveau des couches limites de l'écoulement) augmentent la rugosité donc les pertes d'énergie de l'écoulement;

– les dunes, en interaction avec les grosses structures turbulentes, augmentent la dissipation énergétique de l'écoulement;

– le maintien du mouvement des particules consomme de l'énergie. Cela va diminuer la vitesse moyenne de l'écoulement;

– le transport, et en particulier le mouvement d'une couche au contact du fond, déforme le profil des vitesses et modifie la condition d'adhérence.

Ces divers effets peuvent se compenser et, au total, il apparaît que le transport de sédiments n’influe sur le calcul de la ligne d’eau que pour des débits modelant significativement la géométrie, i.e. proches du débit de plein bord. Là, une augmentation des frottements se fait

sentir. Pour la transcrire, il faut prendre une valeur du coefficient K inférieure à celle d’une

situation sans transport solide (Ramez, Paquier et Bonnet [1999]). Les abaques de modulation du coefficient de frottement du fait des ondulations de forme (évoqués au § I.2.1) indiquent

également un maximum des frottements dans la zone du plein bord.

Il est cependant délicat de savoir quelle part de cet effet attribuer au transport solide. En effet, juste après le débordement, des pertes d’énergie additionnelles dues au cisaillement entre l’écoulement lent du lit majeur et le flot rapide du lit mineur apparaissent (Bousmar et Zech [1999]). Ce phénomène purement hydraulique modifie les frottements au fond et diminue l’énergie disponible pour le transport solide et la déformation du lit. Il semble d’autant moins aisé de distinguer les effets liés aux solides de ceux liés au débordement que ces phénomènes interagissent nécessairement.

(24)

4. Seuils de mise en mouvement, de dépôt, de suspension

4.1. Notion de seuil de mouvement

Le concept de seuil –en général, il s'agit d'un seuil de contrainte– de mise en mouvement peut conduire à des confusions. Il convient de bien distinguer deux définitions:

– une définition intuitive telle que celle proposée par Gruat (1968): "le début d'entraînement est l'instant où l'on constate les premiers déplacements de grains qui ne sont pas dus au hasard". Il est alors impossible de déterminer un seuil précis et les

observations varient beaucoup d'un auteur à l'autre. Ce critère est adapté à une étude statistique: il correspond à la contrainte moyenne au dessus de laquelle une particule isolée peut bouger. Cependant, le débit solide généré est éventuellement faible et ne participe pas forcément à la morphologie du lit. Dans la suite, ce seuil est appelé "seuil d'entraînement des particules";

– une définition a priori plus robuste du seuil en tant que variable de calage des formules

de transport solide. Le seuil de mise en mouvement n'est alors correctement défini que si la formule de transport choisie décrit bien la réalité. Comme la mise au point de ces formules s'appuie sur la stabilité morphologique d'un bief soumis à une recirculation, le seuil est nécessairement lié à la stabilité du lit. Ce seuil est dans la suite nommé "seuil d'arrachement des particules".

D'autre part, dans certaines conditions, plusieurs auteurs observent que "les seuils d'érosion

des solides semblent situés à un niveau énergétique supérieur à ceux conduisant au dépôt"

(Laplace [1991]). Il faut donc éventuellement distinguer un seuil de mise en mouvement différent du seuil de fin de transport. Cette différence s'explique par les phénomènes d’armurage ou de pavage (§ I.2.2) et de cohésion (§ I.4.3).

4.2. Contrainte critique

Diagramme de Shields

La démarche de Shields reste, depuis 1936, une référence dans le domaine du transport de sédiments. À partir de mesures en canaux, l'auteur propose un diagramme reliant deux grandeurs adimensionnelles: le nombre de Reynolds particulaire

Re

p et la contrainte de cisaillement au fond ou paramètre de Shields

τ

°. En dessous de la courbe critique, les

particules sont au repos, tandis que dans l'autre domaine elles sont en mouvement.

Cette courbe expérimentale de mise en mouvement a été calée dans un canal rectangulaire à fond plat avec des particules pseudo-sphériques monodisperses. Elle ne doit pas être considérée comme un critère absolu; cependant, elle correspond à un déplacement significatif de particules. C’est donc une courbe de seuil d’arrachement.

L'emploi de ce diagramme est malaisé car la vitesse de frottement U* apparaît à la fois en

abscisse et en ordonnée. Il est alors plus pratique d'en tirer une expression du diamètre critique en fonction de la contrainte ou du produit J

⋅

Rh. Ainsi, pour des diamètres de

particules compris entre 1 et 10 mm, Laplace [1991], Bachoc [1992] et Lin [1993] prennent :

4 3 4 3 10, 9 4 10 2, 5 / 9, 9 5,1 10 2, 7 / c s c s d J Rh pour kg m d J Rh pour kg m

ρ

− −  = ⋅ ⋅ + ⋅ =   = ⋅ ⋅ + ⋅ =  (I.4.i)

(25)

Figure I.4.i : courbe de Shields d'après Lebreton [1974].

En granulométrie étendue, on peut être tenté d'appliquer un seuil de mise en mouvement de ce type pour chaque classe de grains prise séparément. Ce faisant, on néglige le phénomène de masquage (§ I.2.2). Il est alors préférable d'employer l'une des méthodes spécifiques à la

granulométrie étendue exposées plus bas. En revanche, l'abaque de Shields convient parfaitement pour déterminer le seuil d'arrêt des particules en mouvement.

Approche d'Einstein

L'approche de Shields néglige les fluctuations dues à la turbulence. Afin de corriger cette imprécision, Einstein ([1949] et [1950]) adopte une approche probabiliste et propose un seuil de mise en mouvement moins net. Il obtient une courbe semblable à celle de Shields mais en introduisant une dispersion autour du seuil critique moyen.

Dans son raisonnement, il considère que la fluctuation des paramètres suit une loi Normale. Or des recherches récentes à l'aide d'instruments d'observation fins ont conduit à d'importantes avancées sur la théorie de la turbulence. En particulier, la découverte de bouffées turbulentes ("bursts") à proximité des parois lance un regard nouveau sur les approches probabilistes du transport solide. Il est désormais acquis que l'hypothèse de loi Normale d'Einstein est erronée (Séchet et Le Guennec [1999]). Cependant, la correction modifie peu les résultats.

La méthode d'Einstein constitue une approche très complète mais son usage est assez laborieux. Elle n'est en général utilisée que dans le cadre de sa formule de transport solide.

Re

p

(26)

4.3. Influence de la cohésion

La prise en compte du caractère cohésif des dépôts passe a priori par l'augmentation de la

contrainte critique de mise en mouvement du substrat ou de certaines de ses classes granulométriques (Nalluri et Alvarez [1992]).

Il semble que cet effet soit d'autant plus important que la granulométrie est fine et peu étendue. Par exemple, pour une cohésion de fines (argiles, silts et limons de moins de 80µm), cette augmentation peut atteindre un facteur 10 selon Migniot [1989] et même jusqu'à 70 dans certains cas de marais sableux stabilisés par des colonies biologiques (Führböter [1983]). En fait, il semble que dans la plupart des cas, l'effet cohésif n'existe que pour les fines et que si elles résistent mieux aux faibles débits, en rivière elles sont de toute manière érodées dès que la contrainte augmente. En effet, Kamphuis (cité par Bachoc [1992]) a montré par une modélisation physique que le facteur majeur pour la mise en mouvement de dépôt cohésif est la présence ou non d'un transport de fond significatif de particules millimétriques. A titre d'exemple, dans un écoulement avec charriage, la contrainte critique de mise en mouvement des fines peut-être jusqu'à 15 fois inférieure à celle d'un écoulement comparable sans transport. Il apparaît donc que les multiples impacts des particules charriées déstabilisent l'agglomérat des grains fins et cohésifs beaucoup plus efficacement que le seul cisaillement exercé par l'écoulement. Nous pouvons alors comme Bachoc [1992] considérer que le seuil de mise en mouvement des fines cohésives est identique à celui des particules millimétriques.

4.4. Seuils de mise en mouvement en granulométrie étendue

Dans un contexte d'érosion en granulométrie étendue, le masquage implique que les grains de diamètre supérieur au diamètre représentatif sont légèrement plus mobiles qu'en granulométrie uniforme, tandis que les fractions plus fines sont stabilisées. Cependant, l'érosion des particules fines reste toujours possible, quoi que de plus en plus difficile.

De nombreux auteurs ont étudié la mobilité de chacune des classes et proposé des formulations du facteur de masquage-surexposition modulant la contrainte effective ou la contrainte critique dans les formules de transport. Quelques formules de correction de la contrainte critique sont présentées ci-dessous.

Formule d'Egiazaroff

Egiazaroff [1965] (entre autres cité par Parker [1991]) a élaboré une théorie simplifiée dans le cas des lits plats. Il propose une formule de correction de la contrainte critique de chaque classe granulométrique k :

( )

(

)

2 log 19 log 19 k m c c k m d d

τ

° =

τ

°⋅_ _⋅ _   (I.4.ii)

τ

ck°: contrainte critique adimensionnelle de la classe k;

τ

cm°: contrainte critique adimensionnelle

moyenne, souvent prise égale à 0,047; dk: diamètre représentatif de la classe k (m); dm: diamètre moyen de l'ensemble des grains i.e. barycentre des diamètres représentatifs des différentes classes, pondéré par leur contribution en masse (m).

Les diamètres dk et dm sont en principe évalués à partir de la courbe granulométrique globale (solides mobiles et couche superficielle du dépôt). Comme ceci est assez compliqué, en pratique on utilise la granulométrie du dépôt (Lin [1993]). De plus, pour étudier la stabilité générale du lit, Egiazaroff indique que le diamètre dk doit être remplacé par le diamètre médian d50.

(27)

Formule de Wang

Dans la même logique, Wang [1977] a proposé une formule un peu plus récente. Elle a servi de base à Gladki, Michalik et Bartnik [1981] pour proposer une loi de transport et est recommandée par Lin [1993]. Cette formule illustre une correction de la relation d’Egiazaroff, courante pour les classes plus fines que le diamètre moyen.

(

)

(

)

(

)

(

)

0,947 0,314 pour 0, 4 1, 786 pour 0, 4 m k m c k m k m c c k m k m d d d d d d d d

τ

_τ

°  _<  ⋅  ° = _°  _≥   (I.4.iii) Formule de Gessler

À partir d'expériences en laboratoire, Gessler ([1971]) constate qu'en un point au cours du temps la contrainte de cisaillement au fond est distribuée selon une loi Normale; de plus l'écart-type de la distribution est quasiment constant. Il en déduit un coefficient de stabilité qui exprime la probabilité pour une particule solide de rester immobile à la surface du lit:

1 ₂ 2 1 exp 2 2 c u g du

τ τ

σ

π

− −∞  −  = ⋅ _ _⋅ ⋅

∫

  ! (I.4.iv)

g: coefficient de stabilité de Gessler;

σ

: écart-type de la distribution de contrainte adimensionnalisé par τ~, égal à 0,57; τ~: moyenne temporelle de la contrainte (N/m2₎_;

τ

_c_:

contrainte critique de Shields (N/m2₎_{; u}_{: variable d’intégration adimensionnelle.}

Pour une population de particules, on peut calculer une probabilité moyenne de stabilité. Elle fait intervenir la densité de la distribution des tailles i.e. la courbe granulométrique de surface:

( )

max min max min 2 d d d d g p d dd g g p d dd ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫

(I.4.v)

g: coefficient de stabilité de Gessler pour une population de particules; p(d): densité de la distribution des diamètres.

Compte tenu d'un coefficient de sécurité de 15 %, le lit est stable si g est supérieur à la valeur

critique 0,65; il est instable sinon.

À partir de cette théorie, il est possible de remonter à la contrainte critique de la population de particules. En effet la classe dont le coefficient de stabilité g est égal au coefficient de stabilité

critique de la population, 'résume' l'ensemble de la population.

Formule de Patel et Ranga Raju

Patel et Ranga Raju [1999] proposent une relation empirique simple, calée pour un diamètre synthétique faisant intervenir l’étendue de la distribution granulométrique. Ce diamètre, noté

d_σ, est le produit du diamètre moyen géométrique dg de la distribution par l’écart-type géométrique S (§ II.3.1). Il est intéressant de noter que pour une distribution granulométrique

log-Normale, dg correspond à d50 et dσ à d84.

Leur formule, établie d’après un grand nombre d’observations, est valable pour des distributions sédimentaires unimodales et faiblement bimodales.