Partie II : description du code de calcul
1. Données et organigramme général
Nous souhaitons disposer d'un outil adapté au suivi de l'évolution des fonds de rivières alluviales aménagées mais également des canaux d'irrigations et des réseaux d'assainissement. À l'échelle spatiale qui nous intéresse (plusieurs centaines de mètres à quelques kilomètres), les écoulements dans la zone géomorphologiquement active peuvent être décrits par des variables monodimensionnelles.
D'autre part, la modification de la topographie du lit du cours d'eau perturbe le calcul purement hydrodynamique. Si l'on souhaite modéliser des évolutions morphologiques rapides (ruptures de barrage, chasse hydraulique en collecteur, etc.) il est essentiel de disposer d'un outil de calcul hydraulique particulièrement stable.
Pour ces raisons, le logiciel monodimensionnel Rubar3 (Paquier [1998]), conçu pour l'étude de la propagation des ondes de rupture de barrage, a été choisi comme base de calcul hydrodynamique. De plus, ce code exploite un schéma numérique explicite –plus ouvert qu'un schéma implicite– et donc moins délicat à modifier. Des travaux antérieurs (Paquier [1995], Balayn [1996], Khodashenas [1998]) ont par ailleurs déjà mis au point des versions du code avec déformation géométrique.
1.1. Description de la géométrie
Parmi les adaptations à nos besoins spécifiques, la description du profil en travers a dû être modifiée afin de pouvoir déformer correctement la topographie réelle du lit. D'autre part, pour pouvoir exploiter les données de terrain, une représentation sédimentaire du lit adéquate est nécessaire.
Utilisation de la topographie
Dans un modèle monodimensionnel, les différentes sections sont repérées par leur abscisse curviligne x le long de l'axe d'écoulement. Dans chacune d'elle, la topographie est décrite par le profil en travers du lit. On a ainsi une représentation de la section en abscisse-cote.
Or, pendant le calcul, les sections bordant chaque maille doivent être interpolées au centre de maille (ce point est développé plus loin au § II.1.2). Cette opération est effectuée moyennant la traduction préalable des sections en largeur-cote. Ceci permet une interpolation correcte mais gomme l'asymétrie des profils en travers.
Dans le cas du calcul de l’évolution du fond, bien que le calcul hydrodynamique soit mené dans une géométrie en largeur-cote, la déformation de la section doit, elle, être effectuée dans une géométrie réelle. Il faut donc, à chaque pas de temps, transformer la topographie en sections interpolables; ensuite mener le calcul des variables hydrauliques dans cette géométrie adaptée; puis effectuer le bilan sédimentaire; enfin le traduire en déformation de la géométrie abscisse-cote.
Figure II.1.i : passage d'une description de section abscisse-cote à largeur-cote.
Modélisation du lit sédimentaire
Il est difficile d'obtenir des données sédimentaires sur le lit des cours d'eau. En effet, si l'on s'intéresse à l'évolution de la topographie, l'observation des sédiments de surface est souvent insuffisante. Les carottages permettent de ponctuellement observer la structure profonde du lit et sont pour cela essentiels.
L'observation de données de terrain montre, en général, un empilement de strates de compositions sédimentaires différentes. En un point donné du profil en travers, nous pouvons donc décrire le lit par différentes couches, chacune définie par la cote de son toit et par ses caractéristiques sédimentaires.
Figure II.1.ii : description des différentes strates du lit en un point.
1.2. Organigramme de RubarBE
Historique et objectif du code de calcul hydrodynamique monodimensionnel Rubar3
La première version du logiciel a été développée par le Cemagref à partir des travaux de Vila [1984; 1986] sur la modélisation monodimensionnelle des problèmes de choc (avalanches, ondes de rupture de barrage, glissements de terrain dans une retenue, etc.). À partir de 1990, Paquier a modifié cette version afin de spécifiquement l'adapter à la modélisation de la propagation des ondes de rupture de barrage (Paquier [1995]). Les modifications les plus profondes ont porté sur le traitement du second membre de l’équation hydrodynamique mise sous la forme II.1.i, afin d'affiner son calcul dans les cas où il devient important.
Le code Rubar3 permet de simuler la propagation d'une onde issue soit d'une rupture instantanée (on part alors d'un mur d'eau), soit d'une rupture progressive (l'hydrogramme au droit du barrage étant fourni ou calculé). Il est également possible de calculer des écoulements avec passage en régime torrentiel ou variation brutale des conditions hydrauliques.
Section abscisse-cote MmG MmD L point J Zf abscisse latérale y Section largeur-cote largeur L point J' correspondant cote Zf point J
cote du lit Zf Z1(J) cote du toit de la première strate Strate 1 C1(J) composition sédimentaire
Z2(J)
Strate 2 C2(J)
Zn(J)
L'utilisateur choisi la grille de discrétisation spatiale. Un pas trop faible conduit à une mauvaise représentation du phénomène de ressaut; à l'opposé, un pas trop grand limite la précision des résultats. Le code peut déterminer automatiquement le pas de temps en fixant le nombre de Courant maximal.
Mise en forme des équations hydrodynamiques et schéma numérique
Les équations de Saint-Venant sont mises sous forme conservative (on néglige les débits latéraux dans l’équation de quantité de mouvement I.3.ii):
( )
(
F x;)
G x( )
; t x ϕ ϕ ϕ ∂ + ∂ = ∂ ∂ (II.1.i)( ) ( )
4 3 2 2 avec : ; ; l p p h A F x Q G x q Q Q Q Zf Q P g A g B A x K A Rϕ ϕ ϕ
⋅ ∂ + − ⋅ ⋅ − ⋅ + ∂ ⋅ ⋅( ) ( )
: terme de pression verticale (m /s )4 20
; h
p
P =
∫
g⋅ − ⋅h z L x z ⋅dz( )
: terme de pression latérale (m /s )3 20 h p L B g h z dz x ∂ = ⋅ − ⋅ ⋅ ∂
∫
Le plan (x;t) est discrétisé en un maillage de pas d'espace
∆
x et de pas de temps∆
t. Lasolution des équations est recherchée aux points (xj;tn). La résolution s'appuie sur un schéma explicite aux volumes finis à 5 points (bien qu’interprétable comme un schéma aux différences finies). Pour le problème homogène (i.e. sans le second membre G), un tel schéma s'écrit: +1 1 1 + 2 2 n n n n j j j j t f f x ∆ ϕ ϕ ∆ − = − ⋅ − où 1
(
; ; ;)
2 n n n n n j j 2 j 1 j 1 j f − = f ϕ − ϕ − ϕ ϕ + (II.1.ii) n j f : évaluation de F en xj à tn.La fonction f, dénommée "flux numérique", est localement lipschitzienne par rapport à ses 4 arguments. Ce schéma est proche du schéma de "Godunov d'ordre 2" ; pour l'équation homogène, il n'en diffère que par le calcul approché du flux à xj–1/2 et, éventuellement, dans le calcul des pentes.
Pour la résolution, on utilise une méthode de pas fractionnés centrés. Dans la suite, nous appelons "centremailles" les points spatiaux correspondant aux abscisses xj des centres des mailles de calcul. Les "intermailles" sont les points spatiaux intermédiaires correspondant aux interfaces des mailles, aux abscisses xj–1/2 et xj+1/2. Dans Rubar3, la géométrie est définie aux intermailles et la solution des équations est donnée aux centremailles.
Figure II.1.iii : position relative des centremailles (CM) et des intermailles (IM)
CMxj–1 CMxj CMxj+1
↓ ↓ ↓
|[ o ] |[ o ] |[ o ]|
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
Algorithme de résolution
L'algorithme de résolution de la partie hydrodynamique comporte quatre étapes (H1, H2, H3, H4). Nous avons inséré deux étapes intermédiaires qui concernent le bilan sédimentaire (S1) et la modification de la géométrie (S2).
Étape H1: calcul des pentes sur le domaine (discontinu aux intermailles) à tn
Au début du pas de temps, pour chaque variable scalaire Q et Z, la pente au centremaille est estimée à partir des valeurs aux centremailles de la maille considérée et des deux mailles adjacentes. La pente est limitée pour obtenir un schéma à variation totale décroissante (TVD).
Maille hydrodynamique
Étape H2: premier calcul des variables sur le domaine (discontinu aux intermailles) à tn+1/2 Au pas de temps intermédiaire, les variables sont calculées aux centremailles et aux intermailles (valeur à droite et à gauche) en fonction des valeurs et des pentes aux centremailles du début de pas de temps.
Étape H3: calcul du flux numérique et des valeurs continues aux intermailles à tn+1/2
Toujours au pas de temps intermédiaire, le problème de Riemann constitué du système homogène est posé en chaque intermaille. Il est linéarisé et résolu par le solveur de Roe.
Étape S1: calcul du bilan solide dans les mailles sédimentaires à tn+1/2
Dans chaque maille sédimentaire, les débits solides sont calculés à partir des variables hydrauliques au pas de temps intermédiaire. Le bilan sédimentaire est actualisé et la variation de masse du lit en est déduite.
Maille sédimentaire
Étape S2: modification de la géométrie du lit à tn+1/2
Le bilan sédimentaire est reporté dans la section abscisse-cote aux intermailles. La topographie du lit évolue et la composition sédimentaires est actualisée.
Étape H4: calcul des variables aux centremailles à tn+1
En fin de pas de temps, les variables aux centremailles sont calculées dans la nouvelle géométrie à partir de leur valeur du début de pas de temps et de la valeur du flux numérique.