et substitutifs
Valerie BERTH
E
Contents
1 Quelques denitions 2
2 Fontion de Complexite 5
3 Substitutions 7
4 Fateurs speiaux et omplexite 8
5 Suites sturmiennes 9
6 Graphe des mots 11
7 Suites automatiques 14
8 Complexite au plus lineaire 15
phabetni, onsisteaompterlenombrep(n)defateursde longueurn. On
denit ainsi une fontion p appelee fontion de omplexite. Cette fontion
permetde arateriseren partiulier lessuitesperiodiques (e sontlessuites
pour lesquelles il existe un entier n tel que p(n) n), ainsi que ertaines
suites de basse omplexite, omme les suites de omplexite n+1. Celles-i
sontappeleessuitessturmiennesetpossedentlapartiulariteremarquablede
pouvoir^etre etudiees tant d'un point de vue ombinatoirequ'arithmetique :
elles sont en eet obtenues omme des odages de rotation irrationnelle sur
le erle unite. Les suites substitutives onstituent une deuxieme famille
lassiquede suitesde basseomplexite. Nousetudionsen partiulierlessub-
stitutions de longueur onstante en relation ave lessuites automatiques au
paragraphe 7. Nous evoquons les proprietes ombinatoires de es suites en
introduisant des outils lassiques en ombinatoire des mots et dans l'etude
des systemes dynamiques symboliques. Notons que es suites interviennent
non seulement dans de nombreux domaines des mathematiques mais aussi
en informatiquetheorique,en biologie,en physique, en ristallographie...
1 Quelques denitions
Le but de e paragraphe est d'introduire brievement quelques notions dy-
namiques et ombinatoires. Pour plus d'informations, on peut par exemple
onsulter l'inontournable [43℄. Voir aussi [33℄.
SoitAunensembleniappelealphabet. Onpeut faireagirsurl'ensemble
dessuitesunidiretionnellesA N
oubidiretionnellesA Z
l'appliationdedea-
lage T qui a la suite (u
n )
n
assoiela suite (u
n+1 )
n
. Travaillons par exemple
ave A N
. Munissons A N
du produit des topologies disretes. Cet ensemble
est alors ompat. Cette topologie est equivalentea la topologie denie par
la metriquesuivante : six;y2A N
etx6=y
d(x;y)=(1+inffk0; x
k 6=y
k g)
1
:
Deuxsuitessontdond'autantplusprohesqueleurspremierstermesonident
longtemps. Leylindre[w℄,ouw=w
1 :::w
n
appartientaA n
, estl'ensemble
des suites de la forme
[w℄=fx2A N
j x
0
=w
1
; x
1
=w
2
;:::;x
n 1
=w
n g:
L'ensemble A N
est alors ompletar ompat etmetrique.
Soit u2A N
. Lasuite u engendre alors lesysteme dynamiquesymbolique
(O(u);T), ou O(u) est l'adherenede l'orbite O(u)=fT n
(u); n 0g, sous
l'ation du dealage T, de la suite u dans A N
. L'ensemble O(u) est a son
tour,ompat, metriqueetomplet;ilest T-invariant: T(O(u))O(u). En
d'autres termes,T agitsur O(u).
Plus generalement,onappellesystemedynamique symbolique l'ation du
dealage sur un ferme invariant de A N
. Le dealage T est une appliation
uniformement ontinue, surjetive, bijetive sur A Z
, mais pas forement in-
jetivesur A N
.
Rappelons que si T est une appliation ontinue agissant sur le ompat
X, alors le systeme (X;T) est appelesysteme dynamique topologique.
De nombreuses proprietes ombinatoires de la suite u se traduisent en
termesdynamiques. Onappellefateur de lasuiteinnieuun bloniw de
lettresapparaissantdemaniereonseutivedanslasuite: w=u
n+1 u
n+d
;
d est appele lalongueur de w etest note jwj.
Unesuiteestditereurrentesihaundesesfateursappara^tuneinnite
de fois.
Exerie 1.1 1. Montrer que
O(u)=fx2A N
; L(x)L(u)g;
o u L(x) est l'ensemble des fateurs de lasuite x.
2. Montrerqueuestreurrentesietseulements'ilexisteunesuitestrite-
ment roissante (n
k
) telle que
u= lim
k!+1 T
n
k
u:
En deduire que u est reurrente si et seulement si T est surjetive sur
O(u).
Unesuite est dite uniformement reurrente si les launes entre deux o-
urrenes d'un m^eme fateur sont bornees.
Iln'estalorspasdiÆilede montrerquelesysteme(O(u);T)estminimal
('est-a-dire qu'il ne ontient pas de ferme invariant sous l'ation de T non
w est un fateur de u, alors
O(u)= [
n2N T
n
[w℄;
etononlutparunargumentdeompaite;pourplusdedetails,voirparex-
emple[43℄. C'estpouretteraisonquelessuites\uniformementreurrentes"
sontegalementappelees \suites minimales".
Exerie 1.2 Montrer que(X;T)est minimalsietseulement siX =O(x) ,
pour tout element x de X.
Il est interessant de munir d'une mesure T-invariante le systeme dy-
namique topologique (O(u);T). (Une mesure de probabilite borelienne
est dite T-invariante si (T 1
(B)) = (B), pour tout borelien B.) La on-
naissane des frequenes de blos de la suite u permet ainsi de denir une
telle mesure.
Lafrequenef(w)du fateurwest denieommelalimite(sielleexiste)
duquotientdunombred'ourrenesdeefateurdanslesnpremierstermes
delasuite,parn. Onsupposequelesfrequenes detouslesfateursexistent.
On denit alorsunemesurede probabilitesurlafamilleB desboreliens de
O(u),delamanieresuivante: lamesureestl'uniquemesuredeprobabilite
invarianteparT,telleque([w℄)=f(w); ou [w℄est leylindredessuitesde
O(u)de prexe wetouf(w)est lafrequened'apparitiondu blowdansla
suiteu. Eneet,lesylindressontalafoisouvertsetfermesetengendrentla
topologie; ilsuÆt alors d'appliquer letheoreme de ompatibilitede Daniell-
Kolmogorov (voir par exemple [47℄).
La plupart des systemes que nous onsidererons sont uniquement er-
godiques : un systeme dynamique est uniquement ergodique s'il existe une
unique mesure de probabilite T-invariante. D'ou l'inter^et de l'etude des
frequenes des fateurs qui permet de denir expliitement ette unique
mesure T-invariante.
Notonsqu'ilexiste dessuites minimalesquiengendrent des systemes non
uniquement ergodiques; dans un tel as, les frequenes des fateurs peuvent
ne pas exister.
La fontion de omplexite est un outil tres utile a l'etude des suites et des
systemes dynamiques symboliques. Soit u= (u
n )
n
une suite a valeurs dans
l'alphabetni A. On appelle fontion de omplexite de u, et l'on note p, la
fontion (denie sur les entiers) qui ompte le nombre de fateurs de u de
longueur donnee :
p(n)=Card fw; w est fateur de uet jwj=ng:
Pour plus d'informations sur lafontion de omplexite, voir par exemple les
survols [3,34℄ etle ours [45℄.
Il est faile de voir que la fontion de omplexite est roissante et que
pour tout entier n, on a1p(n)d n
; ou dest leardinal de l'alphabet.
Cettefontionpeut^etreonsideree ommeune mesure delapreditibilite
delasuite. Ladierenepremieredelafontiondeomplexitep(n+1) p(n)
omptelenombred'extensionspossiblesdanslasuitedesfateursdelongueur
n. Onappelleprolongementadroite(respetivementprolongementagauhe)
d'unfateurwunelettrextellequewx(respetivementxw)estunfateurde
la suite. Soit w +
(respetivement w ) le nombre de prolongements a droite
(respetivement a gauhe) de w. (On peut avoir eventuellement w = 0 si
la suite est unidiretionnelle mais l'on a toujours w +
1; si la suite est
bidiretionnelle, alors w 1.) On a alors
p(n+1)= X
jwj=n w
+
= X
jwj=n w ;
et
p(n+1) p(n)= X
jwj=n (w
+
1)= X
jwj=n
(w 1):
La fontion de omplexite permet de arateriser les suites periodiques.
On a en eetle resultatlassique suivant (voir[40, 24℄) :
9n; p(n)n ()9C; 8n p(n)C ()u est periodique:
Plus preisement, si la suite u est unidiretionnelle, 'est-a-dire indexee par
N, la suite est alors ultimement periodique (9n
0
; 9T >0; 8n n
0
; u
n+T
=
u
n
) et si la suite u est bidiretionnelle, 'est-a-dire indexee par Z, la suite
est stritement periodique (9T > 0; 8n; u
n+T
= u
n
). La preuve de e
existe n
0
telquep(n
0
+1)=p(n
0
),et tout fateur de longueur n
0
admet un
unique prolongementa droite. Pour tout entier k 1,le\futur" de lasuite,
'est-a-dire (u
m )
mk
, est don determine par la donnee de u
k n
0 :::u
k 1 . Il
suÆt de onsiderer un fateur de longueur n
0
qui appara^tdeux foisdans la
suitepourendeduirelaperiodiite. Notonsquelaperiodeestalorsinferieure
ouegale an
0 .
Lafontiondeomplexitepermetd'exprimersimplementl'entropietopo-
logiquedusysteme(O(u);T). Rappelonsladenitiondel'entropietopologique
h(u) d'une suite u, ou plus generalement du systeme dynamique symbolique
assoie(O(u);T):
h(u)= lim
n!+1 log
d (p(n))
n
;
ou d est le ardinal de l'alphabet sur lequel la suite est denie. Cette limite
existe du fait de la sous-additivite de la fontion n 7! log(p(n)): Les suites
d'entropie topologique nulle sont dites suites deterministes. Les suites que
nous etudierons dans e texte sont deterministes. Nous onsiderons prin-
ipalement deux familles de suites : les suites engendrees par substitution
(paragraphe 3)et lessuites de omplexitesturmienne (paragraphe5).
L'etude de la omplexite onduit en partiulier aux trois questions sui-
vantes :
Comment alulerla omplexite d'une suite ?
Quelles fontions peuvent ^etre realisees omme des fontions de om-
plexitepour une suite ?
Peut-onarateriser desfamillesdesuitespar leuromplexite;peut-on
deduire de la omplexite une representation geometrique de ertaines
suites ?
Nous allons voir omment resoudre la premiere question en onsiderant les
fateurs speiaux d'une suite,au paragraphe4. Enpartiulier, une question
naturelle est de savoir si toutes les fontions aÆnes peuvent ^etre realisees
(eventuellement ultimement) omme fontions de omplexite. La reponse
est aÆrmative (voir par exemple [1, 19℄). Neanmoins, la seonde question
est loin d'^etre resolue, surout dans le as de l'entropie positive (voir par
exemple [19, 34℄). Bien que la fontion de omplexite soit en general in-
suÆsante pour derire des suites, nous allons voirque dans le as des suites
laonnaissane de lafontionde omplexite: lessuites sturmiennessont les
suites de omplexiten+1 indexees par N.
Notons que l'ordre de roissane de la fontion de omplexite est une
arateristique fondamentale de la suite. C'est en partiulier un invariant
topologique(voirpar exemple[34℄) : une onjugaison topologique entre deux
systemes dynamiques topologiques (X;T) et (Y;S) est une bijetion bion-
tinue telle que T = S; or on voit sans trop de diÆultes qu'une on-
jugaison topologique entre deux systemes dynamiques symboliques est un
ode ni : il existe un entier r telque ((x))
i
ne depend que de (x
i :::x
i+r ).
Pour plus de details, voir le ours [33℄. Neanmoins la omplexite n'est pas
invariante par isomorphisme mesure. Pour une notion de omplexite dont
l'ordre de roissane est invariant par isomorphisme mesure, voir [32℄. Voir
egalement [35, 37℄ pour dierentes notions de omplexite pour des mots -
nis, quipermettent par exemple d'obtenirde l'informationsur lelangage de
suites innies atravers l'etude de laomplexitede leurs prexes.
3 Substitutions
On appellesubstitution ou morphismeun endomorphisme non eaant pour
laonatenationdumonodelibreA
,formedesmotsnissurA. Unexemple
lassique est donne par la substitution de Fibonai : (a) = ab, (b) =
a. On peut alors etendre naturellement la denition d'une substitution a
l'ensemble des suites A N
.
Soit unesubstitution. Supposonsqu'ilexiste unelettreatelle que(a)
ommeneparaetj(a)j2;onnotealasuitede termeonstanta;alorsla
suite ( n
(a))
n2N
onverge dans A N
vers un point xede . On appellesuite
substitutive l'image par une projetion litterale ('est-a-dire un morphisme
de monodelibre dont lesimages des lettres sontdes lettres)d'un pointxe
de substitution.
Denombreuses proprietestopologiquesetergodiques des suites substitu-
tivessont derites par leur matrie d'inidene : on assoie alasubstitution
unematrieM =[m
i;j
℄
(i;j)2A 2
dontletermegeneralm
i;j
omptelenombre
d'ourrenes de la lettre j dans (i). Une substitution est dite primitive
si la matrieassoiee l'est (ilexiste une puissane de la matriedont toutes
les entrees sont stritement positives, en d'autres termes, il existe un itere
de la substitution tel que l'image de toute lettre ontient toutes les lettres
d'une substitution primitive ('est-a-direque (u)=u) est alors minimal
et uniquement ergodique. Pour une approhe dynamique et spetrale des
substitutions, voir egalement[43℄.
Exerie 3.1 Montrer que si est une susbtitution primitive alors il existe
une suite u et un entier k tel que k
(u)=u.
4 Fateurs speiaux et omplexite
Nous allons voir que la notion de fateur speial est un outil eÆae pour
determinerladierenepremieredelafontiondeomplexite. Eneet, dans
le as d'une omplexitebasse, lenombre de fateurs speiaux est en general
relativementaise adeterminer. Pour plus de details,voir [19℄.
Soituunesuiteavaleursdansl'alphabetA. Soitw +
(respetivementw )
le nombre d'extensions a droite (respetivement a gauhe) de w. Rappelons
que
p(n+1) p(n)= X
jwj=n (w
+
1)= X
jwj=n
(w 1):
Unfateurest ditfateur speial a droite (respetivementfateur speial
a gauhe)s'iladmetplusd'uneextensionadroite(respetivementagauhe).
Exerie 4.1 Soit u la suite de Thue-Morse denie omme le point xe
ommenant par 0 de la substitution suivante : (0)=01 and (1)=10.
1. Montrerquehaquefateurwpeut^etredeomposeommew=r
1 (x)r
2 ,
o uxestunfateuretr
i
2f";a;bg. Sijwj5,alorsettedeomposition
est unique.
2. Montrer quep(2n)=p(n)+p(n+1) etque p(2n+1)=2p(n+1), pour
n 1. En deduire une expression de la fontion de omplexite (voir
par exemple [15℄).
Exerie 4.2 La suite de Fibonai est denie omme le point xe om-
menant par a de la substitution suivante : (a)=ab and (b)=a.
uniquement de la maniere suivante :
w=r
1 (v)r
2
;
o u v est un fateur de la suite de Fibonai, r
1
2 f";bg, et r
2
= a, si
la derniere lettre de w est a, et r
2
=", sinon.
2. Montrer que siw un fateur speial gauhenon vide, alorsil existe un
unique fateurspeialgauhenonvidev telquew=(v)r
2 , o u r
2
=a,
si la derniere lettre de W est a, et s =", sinon. En deduire la forme
generaledes fateurs speiaux gauhe.
3. Montrer que lasuite de Fibonai n'est pas ultimement periodique.
4. En deduire que la fontion de omplexite de la suite de Fibonai sat-
isfait p(n)=n+1 pour tout n.
5 Suites sturmiennes
L'etude des suites sturmiennes illustre de maniere frappante les relations
qui existent entre ombinatoire des mots et theorie ergodique, e qui est
naturel puisque l'on travaille sur des suites, mais aussi ave l'arithmetique,
l'approximationdiophantienne et la geometrie. En partiulier le developpe-
ment en fration ontinue permet de derire ave preision de nombreuses
proprietes des suites sturmiennes. Pour une approhe plus geometrique des
suites sturmiennes, voirpar exemple [6,7, 8℄. Pour des survols reents, voir
[10,16, 38℄.
On a vu que si la omplexite d'une suite est telle qu'il existe un entier
n pour lequel p(n) n, alors ette suite u est periodique. Il appara^t alors
naturel de s'interesser aux suites de omplexiten+1,'est-a-dire telles que
p(n) = n+1, pour tout n. De telles suites existent sur N (par exemple, la
suite de Fibonai) etsur Z;la suite suivantea pour omplexite n+1
:::000010000:::
Rappelons,quelessuitesdeomplexiten+1indexeesparN sontappelees
suites sturmiennes. Lessuitessturmiennessontdonlessuitesde omplexite
minimaleparmi les suites sur N non ultimementperiodiques.
para^tau moinsdeuxfoisdans lasuite. Endeduirequetout suitesturmienne
est reurrente.
L'exempleleplus lassique de suitesturmienne est lasuite de Fibonai,
point xe de la substitution denie par (a)=ab et (b) =a. Les suites
sturmiennes sont don denies de maniere purement ombinatoire, mais e
qui est remarquable, 'est qu'elles peuvent ^etre egalement representees de
maniere geometrique (voir [41℄) : lessuites sturmiennes sont exatement les
suitesobtenuesenodantl'orbited'unpointduerleunitesouslarotation
d'angleirrationnel , parrapportades intervallesomplementairesduerle
unitede longueurs et1 .
Dans tout e qui suitR
designela rotation denie sur letore T 1
=R=Z
de dimension 1, par R
x=x+ modulo 1: S'il n'y a pas d'ambigute, nous
omettrons de preiser que nous travaillons modulo 1.
Theoreme 5.2 (Morse-Hedlund) Soit u une suite sturmienne a valeurs
dans f0;1g. Il existealors irrationnel dans ℄0;1[et 2R telsque l'on ait
soit
8n; (u
n
=0()R n
()=+n2[0;1 [);
soit
8n; (u
n
=0()R n
()=+n2 ℄0;1 ℄):
Onappelleangle d'unesuitesturmiennelereel quiluiest ainsiassoie.
Un des inter^ets de la representation geometrique des suites sturmiennes in-
diquee dans le theoreme 5.2, est qu'elle fournit une desription simple, en
termes d'intervalles du erle unite, des fateurs de longueur donnee. Rap-
pelonsla proprietelassique suivante(voirpar exemple[39℄).
Lemme 5.3 Soit u une suite sturmienne d'angle . Il existe une bijetion
entreles fateurs de longueurn de lasuite u et lesintervallesde lapartition
du erle unite par les points k , 0k n.
Eneet, supposonsqueuodel'orbitedupointparrapportaI
0
=[0;1 [
et I
1
= [1 ;1[: Un mot ni w
1 w
n
deni sur l'alphabet f0;1g est un
fateur de lasuite u si etseulement s'ilexiste un entier k telque
+k2I(w
1
;:::;w
n )=
n 1
\
j=0 R
j
(I
w
j+1 ):
n2N
que w
1 w
2 :::w
n
est un fateur de u si et seulement si I(w
1
;:::;w
n
) 6= ;.
En partiulier, l'ensembledes fateurs ne depend pas du point initial. On
verie de plus que les ensembles I(w
1
;:::;w
n
) sont onnexes et bornes par
les points k(1 ), pour 0 k n 1: Il y a n +1 tels intervalles (
est irrationnel) et alors n +1 fateurs de longueur n : la suite u est bien
sturmienne.
Exerie 5.4 Soit uune suitesturmienne d'angle . Montrer que O(u) est
l'ensemble desuites sturmiennesdem^emeangle . En deduirelaminimalite
du systemedynamique (O(u);T).
Notons que les suites sturmiennes ont de nombreuses autres arateri-
sations, tant geometriques que ombinatoires (voir, par exemple, [38℄). En
partiulier, les suites sturmiennes sont les suitesequilibrees sur un alphabet
a deux lettres qui sont non ultimementperiodiques. Unesuite equilibree est
telle que la dierene entre le nombre d'ourrenes d'une lettre dans deux
de ses fateurs de m^eme longueur, est bornee par 1 en valeur absolue.
6 Graphe des mots
Un outil tres utile pour l'etude des suite sturmiennes(et en partiulier pour
l'etude des frequenes des fateurs) est le graphe des mots de Rauzy. Soit u
une suite denie sur l'alphabet ni A (de ardinal d). Le graphe des mots
n
des fateurs de longueur n de la suite u est un graphe oriente (voir, par
exemple,[44℄),quiestunsous-graphedugraphedesmotsdedeBruijn 1
(voir
[17℄).
Legraphe
n
apour sommetslesfateurs de longueur n de lasuite,ave
une ar^ete de U vers V,s'il existe un mot W de longueur n 1tel que:
U =xW et V =Wy; ave x;y2A;
ettelquexWysoitunfateurde lasuite. Consideronsunesuitesturmienne.
De la omplexite (8n; p(n) = n +1), on deduit l'existene d'un unique
1
LegraphedesmotsdedeBruijnorrespondaugraphe desmotsd'unesuitedeom-
plexitemaximale(8n; p(n)=d n
;)etaeteintroduitpardeBruijndanslebutdeonstruire
dessuitesniesirulairesdelongueurd n
avaleursdansf0;1;:::;d 1g, tellesquetout
fateur de longueur n appara^t une fois et une seule : une telle suite orrespond a un
heminHamiltonienfermedanslegraphededeBruijn.
n
prolongements a droite dans la suite. Soit, de m^eme, G
n
l'unique fateur
de longueur n biprolongeablea gauhe. Une suite sturmienne presentedeux
types de graphes selon queG
n
=D
n
ouque G
n 6=D
n .
Cette forme simple du graphe des mots permet de deduire des informa-
tions sur lesfrequenes des fateurs des suites sturmiennes. Cette idee aete
introduitepar Dekking dans leas de lasuite de Fibonai(voir[25℄). Rap-
pelonsque laonnaissane des frequenes de blos d'unesuite sturmienne u
permetune desription preise de lamesure assoiee ausysteme dynamique
(O(u);T). En eetlesysteme dynamiqueassoieaune suite sturmienne est
uniquement ergodique (ei est une onsequene de la desription des suites
sturmiennesdonneeparletheoreme5.2,larotationsous-jaenteetantd'angle
irrationnel).
SoitU un sommetde
n
. On note U +
le nombre d'ar^etes de
n
d'origine
U etU lenombre d'ar^etes d'extremite U. On a le lemmesuivant.
Lemme 6.1 Supposons que U ! V et que U +
= 1 = V = 1, alors les
fateurs U et V ont m^emefrequene
' $
& %
- 1
2
3
G
n
D
n
G
n
=D
n
1
3
On deduit alors de e lemme que tous les mots du hemin (1) (voir la
gure i-dessous), prive de D
n et G
n
ont m^eme frequene, que, de m^eme,
tous lesmotsdu hemin(3), privede D
n etG
n
ontm^emefrequeneetenn,
n n
en deduitdon quelesfrequenes des fateursde m^emelongueur d'unesuite
sturmienne prennent au plus 3 valeurs. De plus, si G
n 1
=D
n 1
alors l'un
des deux hemins(1) ou(3) est vide,'est-a-dire que l'on aune ar^ete de D
n
vers G
n
. On en deduit don lapropositionsuivante.
Proposition 6.2 Les frequenesdes fateurs de m^emelongueurd'unesuite
sturmienne prennent au plus 3 valeurs. Si G
n 1
=D
n 1
, les frequenes des
fateurs de longueur n prennent au plus 2 valeurs.
Plus generalement, supposons que toutes les frequenes des fateurs d'une
suiteuexistent. Notons quelafontionquiassoieaune ehe etiquetee par
xWylafrequenedufateurxWyestunotsatisfaisantalaloideKirhho.
Une branhe du graphe
n
est une suite de longueur maximale(U
1
;:::;U
m )
de ehes onnetees de
n
,eventuellement vide, satisfaisant
U +
i
=1; pour i<m; U
i
=1; pour i>1:
Par onsequent, les ehes d'une m^eme branhe ont la m^eme frequene et
le nombre de frequenes des fateurs de longueur donnee est majore par le
nombre de branhes. On montre failementle resultatsuivant [13℄.
Theoreme 6.3 On onsidere une suite reurrente de omplexite p(n), les
frequenes des fateurs de longueur n prennent au plus 3(p(n+1) p(n))
valeurs.
On en deduit que si p(n +1) p(n) est uniformement majore en n, les
frequenes des fateurs de longueur donnee prennent un nombre ni de
valeurs. Enfait, en utilisant leresultat suivantde Cassaigne dont lapreuve
repose aussi sur une utilisationdu graphedes mots (voir[19℄), onobtientle
resultat suivant.
Theoreme 6.4 (Cassaigne) Si la omplexite p(n) d'une suite est au plus
lineaire, alors p(n+1) p(n) est borne.
Corollaire 6.5 Si la omplexite p(n) d'une suite est au plus lineaire, alors
les frequenes des fateurs de longueur donnee ne prennent qu'un nombre
ni de valeurs.
Les suites automatiques ('est-a-dire les suites engendrees par automates -
nis) forment une lasse de suites largement etudiees, notamment puisque
munies d'une forte struture algorithmique. En eet, e sont des proje-
tions litterales de points xes de substitutions de longueur onstante. Les
suites point xe de substitutions de longueur onstante ont de nombreuses
proprietes. En partiulier, elles peuvent ^etre engendrees par un proessus
algorithmique simple : un automate ni [23℄. Rappelons les denitions
d'automate et de suite automatique. Pour plus d'informations sur le sujet,
voirles survols [2, 5,26℄. Unq-automateest deni par ladonnee :
d'un ensemble ni d'etats S =fi =a
1
;a
2
;:::;a
d
g, dont ona privilegie
un elementi, appeleetat initial,
de qappliationsou\ehes" del'ensembledesetatsS danslui-m^eme,
notees 0;1;:::;q 1,
d'une appliation 'de S dans un ensembleY, dite fontion de sortie.
Une suite (u(n))
n2N
a valeurs dans Y est dite q-automatique si elle est en-
gendree par un q-automate de la faon suivante : onsiderons un entier n,
erivons-le en base q et identions les hires de son developpement aux
appliations 0;1;:::;q 1; en lisant les hires de n de droite a gauhe, on
obtient une appliation omposee de S dans lui-m^eme. Soit a
f
l'image de
l'etat initiali par ette appliation,on pose alors : u(n)='(a
f ):
La notion de q-automatiite que nous onsiderons ii est basee sur la
numerationen baseq. Notonsquel'onpeutetendre lanotiond'automatiite
a des systemes de numeration plus generaux, omme la numeration de Fi-
bonai. Dans tout e qui suit, nous entendrons par automatiitela notion
de q-automatiite.
Letheoremesuivant d^uaChristol,Kamae,MendesFrane etRauzy [20,
21℄reliel'automatiiteauxproprietessuivantesombinatoiresetalgebriques.
Theoreme 7.1 (Christol, Kamae, Mendes Frane et Rauzy)
Soit u =(u(n))
n2N
une suite a valeurs dans le orps F
q
. Les onditions
suivantes sont equivalentes:
1. la serie formelle X
n0
u(n)X n
est algebrique sur le orps F
q (X),
q q
l'ensemble des sous-suites de laforme
N
q
(u)=f(u(q k
n+r))
n2N
; k 0; 0r q k
1g;
3. la suite u est q-automatique,
4. la suite u est l'image par une projetion lettre a lettre d'un point xe
d'une substitution de longueur q.
La derniere equivalene est due a Cobham [23℄ et l'equivalene entre les
onditions 2 et3 est due aEilenberg [28℄.
Durandgeneralisedans[27℄l'equivaleneentrelaondition3etl'automa-
tiite,aux suites substitutives uniformement reurrentes. Cette araterisa-
tion est basee sur lanotionde motsde retouretde suitederivee. Unmot de
retour sur lefateur w est un mot separant deux ourrenes suessives de
w; on appelle suite derivee d'une suite minimale u xee, une suite obtenue
en odantu par les mots de retoursur un prexe non vide de la suite u. La
araterisationest alors lasuivante.
Theoreme 7.2 (Durand) Unesuiteuniformementreurrenteest substitu-
tive si et seulement sil'ensemble de ses suites derivees est ni.
Ce resultat aete prouve independamment par Holton etZamboni[36℄.
L'equivalene entre lesonditions 1et2 ade nombreuses appliations en
transendane (pour des series formelles a oeÆients dans un orps ni),
voirpar exempleles survols [4,46℄.
8 Complexite au plus lineaire
Enonlusion,nsousallonsd'abordrappelerquelquesproprietesgeneralesde
lafontionde omplexiteetdesfrequenesdefateursdessuitessturmiennes
et substitutives. Puis nous nous interesserons aux suites de omplexite au
plus lineaire.
Theoreme 8.1 1. Laomplexite d'unpoint xe d'une substitution prim-
itive (voir par exemple [43℄) ou d'une suite automatique [23℄ satisfait
8n; p(n)Cn:
[29, 42℄
8n; p(n)Cn 2
:
Cette propriete permet de montrer qu'une suite de \haute omplexite"
n'estpasautomatique. Notonsquedessuitesautomatiquesontdesfontions
de omplexite similaires mais des proprietes tres dissemblables pour e qui
onerne leurs proprietes spetrales(voirpar exemple [43℄).
Considerons quelques resultats sur lesfrequenes des fateurs d'un point
xe d'une substitution de longueur onstante. Pour des resultats generaux
sur lessuites substitutivesprimitives, voir[43℄. Rappelonsquepourde telles
suiteslesfrequenesexistentetsontstritementpositives,d'apresletheoreme
de Perron-Frobenius. Le resultat suivant d'equirepartition s'applique pour
les frequenes de fateurs de substitutions primitivesde longueur onstante.
Theoreme 8.2 (Dekking) Soit une substitution primitive de longueur
onstante. On note f(w) la frequene du fateur w. Il existe C
2
> C
1
> 0
tels que
C
1
nf(w)C
2
;
pour tout n1 et pour tous les fateurs w de longueur n.
Leresultatsuivantseprouveenappliquantlesproprietesdesmatriesstohas-
tiques a lapuissane n-iemed'une matriede substitution divisee par l n
, ou
l est la longueur de la substitution (voir [23℄).
Theoreme 8.3 (Cobham) Si les frequenes des fateurs d'une suite au-
tomatique existent, elles sont rationnelles. De plus, si la substitution orre-
spondanteest primitive, alors les frequenes existent.
En partiulier, une suite sturmienne ne peut ^etre automatique, puisque les
frequenes des lettres sont irrationnelles. Pour des resultats plus preis sur
les suites automatiques dont une lettre a une frequene nulle, voir[23℄.
Considerons plus generalement le as des suites de omplexite au plus
lineaire : 9C >0; 8n2N; p(n)Cn. De nombreuses proprietes tantom-
binatoires, ergodiques, qu'arithmetiques peuvent se deduire de ette simple
indiationsur l'ordrede roissane de la fontion de omplexite.
Rappelons le theoreme suivant:
lineaire, alors p(n+1) p(n) est borne.
Notons que e resultat est faux pour la omplexite sous-quadratique : Fer-
enzidonnedans[31℄ unexemplede suitedeomplexiteauplusquadratique
dontlesdierenesseondesp(n+2)+p(n) 2p(n+1)nesontpasbornees. De
plus, Ferenzi deduit du theoreme 6.4 le resultat suivant [31℄ : les systemes
minimaux de omplexiteau plus lineaire sont engendres par un nombre ni
de substitutions (un tel systeme est appele S-adique selon la terminologie
due a Vershik). De m^eme, une suite engendree par l'iteration d'un nombre
ni de substitutions est appelee suite S-adique.
Theoreme 8.5 (Ferenzi) Soit u une suite uniformement reurrente de
omplexiteau plus lineairedeniesur l'alphabetA; ilexiste alorsun nombre
ni de substitutions
i
, 1i, denies sur un alphabet B, une applia-
tion 'de B dans A et une suite innie(i
n )
n2N
a valeursdans f1;:::;g tels
que d'une part
lim
n!+1 inf
b2B j
i1
i2 :::
in
(b)j=+1
et d'autre partil existeune lettreb deB pour laquelletout fateur delasuite
u est fateur de
i1
i2 :::
in
(b), pour un ertain entier n.
Lenombre dees substitutionspeut^etrede plusmajoreexpliitementdans
le as ou8n; p(n+1) p(n)2.
Ononna^tainsiexpliitementundeveloppementS-adiquepourlessystemes
dynamiques engendres par les suites sturmiennes[9℄.
La reiproque du theoreme 8.5 est fausse. Il suÆt en eet de onsiderer
unesubstitutiondeomplexitequadratiquepourproduireunontre-exemple,
omme le point xe ommenant par a de la substitution a 7! ab, b 7! b,
7! [42℄. Il reste a denir une notion plus forte de S-adiite qui permet-
trait de arateriser les suites de omplexite au plus lineaire : onsiderons
don unesuite u engendree par l'iterationd'unnombre nide substitutions;
quelles restritions faut-ilimposer aux substitutionspour quela suite u soit
de omplexiteauplus lineaire ?
Laomplexiteauplus lineaire impliquede plus lesproprietesergodiques
suivantes dansleasdes suitesminimales. Rappelonsqueetteproprieteest
invariantepar isomorphismetopologique.
Soit u une suite primitivede omplexite auplus lineaire.
^
etre rendu bijetif saufsur un nombre ni d'orbites (voir par exemple
le ours [33℄).
Boshernitzan a montre que l'on obtient une majoration expliite (en
fontionde l'ordrede roissanede lafontionde omplexite)du nom-
bre n de mesures ergodiques [12, 14℄.
En partiulier les onditions suivantes impliquent l'unique ergodiite
[12,14℄ :
liminf
n!+1 p(n)
n
<2;
ou
limsup
n!+1 p(n)
n
<3:
Enn Ferenzi amontredans [31℄ l'absene de melange fort.
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