Énoné
Reherherlastabilitédel'équationduseondordresuivante,àl'origine:
x+bx_
3
+x=0 (1)
Ontransformeraetteéquationduseondordreenxenunsystèmededeux
équationsdupremierordre.
1. Linéariserauvoisinagedupointd'équilibre. Conlure.
2. Onutiliseraune fontiondeLyapunov(hoisieleplussimplementpossi-
ble). Conluresurlastabilité.
Corretion
L'équation(1)est équivalenteausystème:
_ y=z
_
z= y bz 3
1. Linéarisationauvoisinagedupointd'équilibre(0;0):
J =
0 1
1 0
Lepointd'équilibre(0;0)dusystèmelinéariséest unentre. Dononne
peutpasappliquerlethéorèmedelinéarisation.
2. SoitV(y;z)=y 2
+z 2
. V est déniepositivesurR 2
.
_
V(y;z)= V
y _ y+
V
z _
z=2yz+2z( y bz 3
)= 2bz 4
V est une fontion de Lyapunov pour le système onsidéré. Et on peut
onlurequantàlastabilité dupointd'équilibre:
sib>0, _
V <0,don(0;0)est asymtpotiquementstable.
sib<0, _
V >0,don(0;0)est instable.
sib=0,lesystèmeestlinéaireet (0;0)estunentre.
