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Ce i DS 4 ahéai e Te S 2018 2019

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Texte intégral

(1)

Mathématiques TermS

2018-2019

(2)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

(3)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

(4)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

(5)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

= −

f

(

x

)

(6)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

= −

f

(

x

)

Ainsi f est impaire.

(7)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

= −

f

(

x

)

Ainsi f est impaire.

f

(

x

+

2

π) = sin(

2

(

x

+

2

π))(

1

+ cos(

x

+

2

π))

(8)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

= −

f

(

x

)

Ainsi f est impaire.

f

(

x

+

2

π) = sin(

2

(

x

+

2

π))(

1

+ cos(

x

+

2

π))

= − sin(

2x

+

4

π)(

1

+ cos(

x

))

ar os est 2

π

-périodique

(9)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

= −

f

(

x

)

Ainsi f est impaire.

f

(

x

+

2

π) = sin(

2

(

x

+

2

π))(

1

+ cos(

x

+

2

π))

= − sin(

2x

+

4

π)(

1

+ cos(

x

))

ar os est 2

π

-périodique

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar sin est2

π

-périodique

(10)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

= −

f

(

x

)

Ainsi f est impaire.

f

(

x

+

2

π) = sin(

2

(

x

+

2

π))(

1

+ cos(

x

+

2

π))

= − sin(

2x

+

4

π)(

1

+ cos(

x

))

ar os est 2

π

-périodique

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar sin est2

π

-périodique

=

f

(

x

)

(11)

( ) = sin( )( + cos )

Montrer que f est impaire et périodique

f

( −

x

) = sin( −

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

= − sin(

2x

)(

1

+ cos( −

x

))

ar lafontion sin est impaire

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar lafontion os est impaire

= −

f

(

x

)

Ainsi f est impaire.

f

(

x

+

2

π) = sin(

2

(

x

+

2

π))(

1

+ cos(

x

+

2

π))

= − sin(

2x

+

4

π)(

1

+ cos(

x

))

ar os est 2

π

-périodique

= − sin(

2x

)(

1

+ cos(

x

))

ar sin est2

π

-périodique

=

f

(

x

)

(12)

( ) = sin( )( + cos )

Caluler la dérivée de f sur

[

0

, π ]

f

=

uv

= ⇒

f

′ =

(13)

( ) = sin( )( + cos )

Caluler la dérivée de f sur

[

0

, π ]

f

=

uv

= ⇒

f

′ =

u

′

v

+

uv

′

ave

(

(14)

( ) = sin( )( + cos )

Caluler la dérivée de f sur

[

0

, π ]

f

=

uv

= ⇒

f

′ =

u

′

v

+

uv

′

ave

(

u

(

x

) = sin(

2x

)

v

(

x

) =

1

+ cos

x

= ⇒

(15)

( ) = sin( )( + cos )

Caluler la dérivée de f sur

[

0

, π ]

f

=

uv

= ⇒

f

′ =

u

′

v

+

uv

′

ave

(

u

(

x

) = sin(

2x

)

v

(

x

) =

1

+ cos

x

= ⇒ (

u

′ (

x

) =

2

cos(

2x

)

v

′ (

x

) = − sin

x

f

′ (

x

) =

(16)

( ) = sin( )( + cos )

Caluler la dérivée de f sur

[

0

, π ]

f

=

uv

= ⇒

f

′ =

u

′

v

+

uv

′

ave

(

u

(

x

) = sin(

2x

)

v

(

x

) =

1

+ cos

x

= ⇒ (

u

′ (

x

) =

2

cos(

2x

)

v

′ (

x

) = − sin

x

f

′ (

x

) =

2

cos(

2x

)(

1

+ cos

x

) + sin(

2x

) × ( − sin

x

) =

(17)

( ) = sin( )( + cos )

Caluler la dérivée de f sur

[

0

, π ]

f

=

uv

= ⇒

f

′ =

u

′

v

+

uv

′

ave

(

u

(

x

) = sin(

2x

)

v

(

x

) =

1

+ cos

x

= ⇒ (

u

′ (

x

) =

2

cos(

2x

)

v

′ (

x

) = − sin

x

f

′ (

x

) =

2

cos(

2x

)(

1

+ cos

x

) + sin(

2x

) × ( − sin

x

) =

2

cos(

2x

) +

2

cos(

2x

) cos

x

− sin(

2x

) sin

x

(18)

Soit a un nombre réel tel que

−

1

<

a

<

0.

On onsidère la suite u dénie par u

0

=

a , et pour tout

entier naturel n,

u

n

+

1

=

un2

+

un

.

1) Étudier la monotonie de la suite u.

(19)

Soit a un nombre réel tel que

−

1

<

a

<

0.

On onsidère la suite u dénie par u

0

=

a , et pour tout

entier naturel n,

u

n

+

1

=

un2

+

un

.

1) Étudier la monotonie de la suite u.

u

n

+

1

−

un

=

(20)

Soit a un nombre réel tel que

−

1

<

a

<

0.

On onsidère la suite u dénie par u

0

=

a , et pour tout

entier naturel n,

u

n

+

1

=

un2

+

un

.

1) Étudier la monotonie de la suite u.

u

n

+

1

−

un

=

un2

(21)

Soit a un nombre réel tel que

−

1

<

a

<

0.

On onsidère la suite u dénie par u

0

=

a , et pour tout

entier naturel n,

u

n

+

1

=

un2

+

un

.

1) Étudier la monotonie de la suite u.

u

n

+

1

−

un

=

un2

>

0 :la suite estdon

(22)

Soit a un nombre réel tel que

−

1

<

a

<

0.

On onsidère la suite u dénie par u

0

=

a , et pour tout

entier naturel n,

u

n

+

1

=

un2

+

un

.

1) Étudier la monotonie de la suite u.

u

n

+

1

−

un

=

un2

>

0 :la suite estdon roissante.

(23)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

(24)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

(25)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

2x

+

1.

Sur

−∞ ; −

1

2

,

h

′ (

x

)

(26)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

2x

+

1.

Sur

−∞ ; −

1

2

,

h

′ (

x

) <

0

⇒

h

(27)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

2x

+

1.

Sur

−∞ ; −

1

2

,

h

′ (

x

) <

0

⇒

h est déroissante;

Sur

−

1

2

; + ∞

,

h

′ (

x

) >

0

⇒

(28)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

2x

+

1.

Sur

−∞ ; −

1

2

,

h

′ (

x

) <

0

⇒

h est déroissante;

Sur

−

1

2

; + ∞

,

h

′ (

x

) >

0

⇒

h estroissante.

h

′

−

1

2

=

0. La fontion admet en e point un extremum

qui estun

(29)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

2x

+

1.

Sur

−∞ ; −

1

2

,

h

′ (

x

) <

0

⇒

h est déroissante;

Sur

−

1

2

; + ∞

,

h

′ (

x

) >

0

⇒

h estroissante.

h

′

−

1

2

=

0. La fontion admet en e point un extremum

qui estun minimum h

−

1

2

=

(30)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

2x

+

1.

Sur

−∞ ; −

1

2

,

h

′ (

x

) <

0

⇒

h est déroissante;

Sur

−

1

2

; + ∞

,

h

′ (

x

) >

0

⇒

h estroissante.

h

′

−

1

2

=

0. La fontion admet en e point un extremum

qui estun minimum h

−

1

2

=

1

4

−

1

2

=

(31)

2) a)Soit h la fontion dénie sur

R

par h

(

x

) =

x

+

x.

Étudier le sens de variations de la fontion h.

En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle

] −

1

;

0

[

, le nombre h

(

x

)

appartient aussi à l'intervalle

] −

1

;

0

[

.

h

(

x

) =

x2

+

x; h est dérivable et h

′ (

x

) =

2x

+

1.

Sur

−∞ ; −

1

2

,

h

′ (

x

) <

0

⇒

h est déroissante;

Sur

−

1

2

; + ∞

,

h

′ (

x

) >

0

⇒

h estroissante.

h

′

−

1

2

=

0. La fontion admet en e point un extremum

qui estun minimum h

−

1

2

=

1

4

−

1

2

= −

1

4 .

(32)

Sur

−

1

; −

1

2

lafontion déroit de0 à

−

1

4

(33)

Sur

−

1

; −

1

2

lafontion déroit de0 à

−

1

4 et sur

−

1

2

;

0

, lafontion roit de

−

1

4 à 0.

(34)

Sur

−

1

; −

1

2

lafontion déroit de0 à

−

1

4 et sur

−

1

2

;

0

, lafontion roit de

−

1

4 à 0.

Conlusion : six

∈ ] −

1

;

0

[

, alors

(35)

Sur

−

1

; −

1

2

lafontion déroit de0 à

−

1

4 et sur

−

1

2

;

0

, lafontion roit de

−

1

4 à 0.

Conlusion : six

∈ ] −

1

;

0

[

, alors

−

1

< −

1

4

<

h

(

x

) <

0.

(36)

2. b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a :

−

1

<

un

<

0.

(37)

2. b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a :

−

1

<

un

<

0.

Par réurrene :

Initialisation: ona

−

1

<

a

=

u0

<

0.L'enadrement est vraiau rang 0.

(38)

2. b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a :

−

1

<

un

<

0.

Par réurrene :

Initialisation: ona

−

1

<

a

=

u0

<

0.L'enadrement est vraiau rang 0.

Hérédité :soit un natureln et supposons que

−

1

<

un

<

0.

(39)

2. b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a :

−

1

<

un

<

0.

Par réurrene :

Initialisation: ona

−

1

<

a

=

u0

<

0.L'enadrement est vraiau rang 0.

Hérédité :soit un natureln et supposons que

−

1

<

un

<

0.

D'après la questionpréédente si u

n

∈ [ −

1

;

0

[

,alors

u

n

+

1

=

h

(

un

)

appartient elle aussi à et intervalle.

(40)

2. b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a :

−

1

<

un

<

0.

Par réurrene :

Initialisation: ona

−

1

<

a

=

u0

<

0.L'enadrement est vraiau rang 0.

Hérédité :soit un natureln et supposons que

−

1

<

un

<

0.

D'après la questionpréédente si u

n

∈ [ −

1

;

0

[

,alors

u

n

+

1

=

h

(

un

)

appartient elle aussi à et intervalle.

L'enadrement estvrai au rang n

+

1.

(41)

2. b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a :

−

1

<

un

<

0.

Par réurrene :

Initialisation: ona

−

1

<

a

=

u0

<

0.L'enadrement est vraiau rang 0.

Hérédité :soit un natureln et supposons que

−

1

<

un

<

0.

D'après la questionpréédente si u

n

∈ [ −

1

;

0

[

,alors

u

n

+

1

=

h

(

un

)

appartient elle aussi à et intervalle.

L'enadrement estvrai au rang n

+

1.

Conlusion : l'enadrementest vraiau rang 0 et s'ilest vraiau

rang n, il estvrai au rang n

+

1 :on a montré par leprinipe

de la réurreneque pourtout naturel n

, −

1

<

un

<

0.

(42)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

(43)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 :

(44)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 : elleest don

onvergente

(45)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 : elleest don

onvergente et salimite

ℓ

est telle que

ℓ 6

0.

(46)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 : elleest don

onvergente et salimite

ℓ

est telle que

ℓ 6

0.

La relation u

n

+

1

=

un2

+

un donneà lalimite

(47)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 : elleest don

onvergente et salimite

ℓ

est telle que

ℓ 6

0.

La relation u

n

+

1

=

un2

+

un donneà lalimite

ℓ = ℓ

2

+ ℓ ⇐⇒

(48)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 : elleest don

onvergente et salimite

ℓ

est telle que

ℓ 6

0.

La relation u

n

+

1

=

un2

+

un donneà lalimite

ℓ = ℓ

2

+ ℓ ⇐⇒ ℓ

2

=

0

⇐⇒

(49)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 : elleest don

onvergente et salimite

ℓ

est telle que

ℓ 6

0.

La relation u

n

+

1

=

un2

+

un donneà lalimite

ℓ = ℓ

2

+ ℓ ⇐⇒ ℓ

2

=

0

⇐⇒ ℓ =

0

.

(50)

Étudier la onvergene de la suite u. Déterminer, si

elle existe, sa limite.

La suite u estroissante et majorée par0 : elleest don

onvergente et salimite

ℓ

est telle que

ℓ 6

0.

La relation u

n

+

1

=

un2

+

un donneà lalimite

ℓ = ℓ

2

+ ℓ ⇐⇒ ℓ

2

=

0

⇐⇒ ℓ =

0

.

Conlusion :

lim

n

→+∞

u

n

=

0

.

(51)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels.

(52)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

(53)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

z

= −

z

⇐⇒

(54)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

z

= −

z

⇐⇒

x

−

iy

= − (

x

+

iy

) ⇐⇒

(55)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

z

= −

z

⇐⇒

x

−

iy

= − (

x

+

iy

) ⇐⇒

x

−

iy

=

−

x

−

iy

⇐⇒

(56)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

z

= −

z

⇐⇒

x

−

iy

= − (

x

+

iy

) ⇐⇒

x

−

iy

=

−

x

−

iy

⇐⇒

2x

=

0

⇐⇒

(57)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

z

= −

z

⇐⇒

x

−

iy

= − (

x

+

iy

) ⇐⇒

x

−

iy

=

−

x

−

iy

⇐⇒

2x

=

0

⇐⇒

x

=

0

⇐⇒

(58)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

z

= −

z

⇐⇒

x

−

iy

= − (

x

+

iy

) ⇐⇒

x

−

iy

=

−

x

−

iy

⇐⇒

2x

=

0

⇐⇒

x

=

0

⇐⇒

Re

(

z

) =

0

⇐⇒

(59)

imaginaire pur si et seulement si z

= −

z.

On pose z

=

x

+

iy ave x et y réels. Alors Re

(

z

) =

x et

Im

(

z

) =

y.

z

= −

z

⇐⇒

x

−

iy

= − (

x

+

iy

) ⇐⇒

x

−

iy

=

−

x

−

iy

⇐⇒

2x

=

0

⇐⇒

x

=

0

⇐⇒

Re

(

z

) =

0

⇐⇒

z

∈

i

R

où i

R

désigne l'ensemble des

imaginaires purs.

(60)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x 2

+

y2

(61)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x

2

+

y2 d'où

|

z

|

2

=

x2

+

y2.

(62)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x

2

+

y2 d'où

|

z

|

2

=

x2

+

y2.

De plus,

zz

=

(63)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x

2

+

y2 d'où

|

z

|

2

=

x2

+

y2.

De plus,

zz

= (

x

+

iy

)(

x

−

iy

) =

(64)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x

2

+

y2 d'où

|

z

|

2

=

x2

+

y2.

De plus,

zz

= (

x

+

iy

)(

x

−

iy

) =

x2

− (

iy

)

2

=

(65)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x

2

+

y2 d'où

|

z

|

2

=

x2

+

y2.

De plus,

zz

= (

x

+

iy

)(

x

−

iy

) =

x2

− (

iy

)

2

=

x2

−

i2y2

=

(66)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x

2

+

y2 d'où

|

z

|

2

=

x2

+

y2.

De plus,

zz

= (

x

+

iy

)(

x

−

iy

) =

x2

− (

iy

)

2

=

x2

−

i2y2

=

x2

+

y2.

(67)

on a l'égalité : zz

= |

z

|

2.

Par dénition,

|

z

| = p

x

2

+

y2 d'où

|

z

|

2

=

x2

+

y2.

De plus,

zz

= (

x

+

iy

)(

x

−

iy

) =

x2

− (

iy

)

2

=

x2

−

i2y2

=

x2

+

y2.

Par onséquent zz

= |

z

|

2.

(68)

= + = − +

= − √

5

−

i

√

5 .

1. Vérier que O est le entre du erle ironsrit

au triangle ABC.

OA

= |

a

| = √

3

2

+

12

= √

10

(69)

= + = − +

= − √

5

−

i

√

5 .

1. Vérier que O est le entre du erle ironsrit

au triangle ABC.

OA

= |

a

| = √

3

2

+

12

= √

10

OB

= |

b

| = p

( −

1

)

2

+

32

= √

10

(70)

= + = − +

= − √

5

−

i

√

5 .

1. Vérier que O est le entre du erle ironsrit

au triangle ABC.

OA

= |

a

| = √

3

2

+

12

= √

10

OB

= |

b

| = p

( −

1

)

2

+

32

= √

10

OC

= |

| = √

5

+

5

= √

10.

(71)

= + = − +

= − √

5

−

i

√

5 .

1. Vérier que O est le entre du erle ironsrit

au triangle ABC.

OA

= |

a

| = √

3

2

+

12

= √

10

OB

= |

b

| = p

( −

1

)

2

+

32

= √

10

OC

= |

| = √

5

+

5

= √

10.

Don OA

=

OB

=

OC

(72)

= + = − +

= − √

5

−

i

√

5 .

1. Vérier que O est le entre du erle ironsrit

au triangle ABC.

OA

= |

a

| = √

3

2

+

12

= √

10

OB

= |

b

| = p

( −

1

)

2

+

32

= √

10

OC

= |

| = √

5

+

5

= √

10.

Don OA

=

OB

=

OC e qui signieque O est le entre du

erle ironsrit au triangle ABC.

(73)

a

+

b

+

, puis vérier graphiquement que le point H est l'orthoentre du triangle ABC.

(74)

a

+

b

+

, puis vérier graphiquement que le point H est l'orthoentre du triangle ABC.

Le pointH apouraxeh

= (

2

− √

5

) + (

4

− √

5

)

i.

(75)

a

+

b

+

, puis vérier graphiquement que le point H est l'orthoentre du triangle ABC.

Le pointH apouraxeh

= (

2

− √

5

) + (

4

− √

5

)

i.

Les points AetB se plaent

aisément. Le point C appar-

tient au erle de entre O,

de rayon OA et à la droite

d'équation réduite y

=

x.

(76)

a

+

b

+

, puis vérier graphiquement que le point H est l'orthoentre du triangle ABC.

Le pointH apouraxeh

= (

2

− √

5

) + (

4

− √

5

)

i.

Les points AetB se plaent

aisément. Le point C appar-

tient au erle de entre O,

de rayon OA et à la droite

d'équation réduite y

=

x.

Pour plaer le point H, on

utilise la alulatrie et on

obtient

h

≈ −

0

,

24

+

i

×

1

,

76.

(77)

a

+

b

+

, puis vérier graphiquement que le point H est l'orthoentre du triangle ABC.

Le pointH apouraxeh

= (

2

− √

5

) + (

4

− √

5

)

i.

Les points AetB se plaent

aisément. Le point C appar-

tient au erle de entre O,

de rayon OA et à la droite

d'équation réduite y

=

x.

Pour plaer le point H, on

utilise la alulatrie et on

obtient

h

≈ −

0

,

24

+

i

×

1

,

76.

1 2 3

−

1

−

2

−

3

−

1

−

2

−

3

1 2 3

A B

C

O H

b

(78)

a

+

b

+

, puis vérier graphiquement que le point H est l'orthoentre du triangle ABC.

Le pointH apouraxeh

= (

2

− √

5

) + (

4

− √

5

)

i.

Les points AetB se plaent

aisément. Le point C appar-

tient au erle de entre O,

de rayon OA et à la droite

d'équation réduite y

=

x.

Pour plaer le point H, on

utilise la alulatrie et on

obtient

h

≈ −

0

,

24

+

i

×

1

,

76.

1 2 3

−

1

−

2

−

3

−

1

−

2

−

3

1 2 3

A B

C

O H

b

(79)

a

+

b

+

, puis vérier graphiquement que le point H est l'orthoentre du triangle ABC.

Le pointH apouraxeh

= (

2

− √

5

) + (

4

− √

5

)

i.

Les points AetB se plaent

aisément. Le point C appar-

tient au erle de entre O,

de rayon OA et à la droite

d'équation réduite y

=

x.

Pour plaer le point H, on

utilise la alulatrie et on

obtient

h

≈ −

0

,

24

+

i

×

1

,

76.

1 2 3

−

1

−

2

−

3

−

1

−

2

−

3

1 2 3

A B

C

O H

b

(80)

ironsrit au triangle ABC si et seulement si :

a

¯

a

=

b

¯

b

=

¯

O estle entre du erle ironsrit au triangle ABC

(81)

ironsrit au triangle ABC si et seulement si :

a

¯

a

=

b

¯

b

=

¯

O estle entre du erle ironsrit au triangle ABC

ssi OA

=

OB

=

OC

(82)

ironsrit au triangle ABC si et seulement si :

a

¯

a

=

b

¯

b

=

¯

O estle entre du erle ironsrit au triangle ABC

ssi OA

=

OB

=

OC ssi OA2

=

OB2

=

OC2

(83)

ironsrit au triangle ABC si et seulement si :

a

¯

a

=

b

¯

b

=

¯

O estle entre du erle ironsrit au triangle ABC

ssi OA

=

OB

=

OC ssi OA2

=

OB2

=

OC2

ssi

|

a

|

2

= |

b

|

2

= |

|

2

(84)

ironsrit au triangle ABC si et seulement si :

a

¯

a

=

b

¯

b

=

¯

O estle entre du erle ironsrit au triangle ABC

ssi OA

=

OB

=

OC ssi OA2

=

OB2

=

OC2

ssi

|

a

|

2

= |

b

|

2

= |

|

2

ssi aa

=

bb

=

(d'après le résultatétabli en I-3.)

(85)

= ¯ − ¯

a. En utilisant la aratérisation d'un nombre

imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w

est imaginaire pur.

En utilisant lespropriétés dela onjugaison (pour tous

omplexes z et z

′

, z

−

z

′ =

z

−

z

′ ;

zz

′ =

zz

′

et

z

=

z),on obtient :

(86)

= ¯ − ¯

a. En utilisant la aratérisation d'un nombre

imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w

est imaginaire pur.

En utilisant lespropriétés dela onjugaison (pour tous

omplexes z et z

′

, z

−

z

′ =

z

−

z

′ ;

zz

′ =

zz

′

et

z

=

z),on obtient :

w

=

b

−

b

=

(87)

= ¯ − ¯

a. En utilisant la aratérisation d'un nombre

imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w

est imaginaire pur.

En utilisant lespropriétés dela onjugaison (pour tous

omplexes z et z

′

, z

−

z

′ =

z

−

z

′ ;

zz

′ =

zz

′

et

z

=

z),on obtient :

w

=

b

−

b

=

b

−

b

=

(88)

= ¯ − ¯

a. En utilisant la aratérisation d'un nombre

imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w

est imaginaire pur.

En utilisant lespropriétés dela onjugaison (pour tous

omplexes z et z

′

, z

−

z

′ =

z

−

z

′ ;

zz

′ =

zz

′

et

z

=

z),on obtient :

w

=

b

−

b

=

b

−

b

=

b

−

b

=

(89)

= ¯ − ¯

a. En utilisant la aratérisation d'un nombre

imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w

est imaginaire pur.

En utilisant lespropriétés dela onjugaison (pour tous

omplexes z et z

′

, z

−

z

′ =

z

−

z

′ ;

zz

′ =

zz

′

et

z

=

z),on obtient :

w

=

b

−

b

=

b

−

b

=

b

−

b

= − (

b

−

b

) =

(90)

= ¯ − ¯

a. En utilisant la aratérisation d'un nombre

imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w

est imaginaire pur.

En utilisant lespropriétés dela onjugaison (pour tous

omplexes z et z

′

, z

−

z

′ =

z

−

z

′ ;

zz

′ =

zz

′

et

z

=

z),on obtient :

w

=

b

−

b

=

b

−

b

=

b

−

b

= − (

b

−

b

) = −

w

On en déduit que w est imaginaire pur.

(91)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

(92)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

(93)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

bb

−

+

b

−

b

.

(94)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

bb

−

+

b

−

b

.

Or bb

=

d'après III-1.

(95)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

bb

−

+

b

−

b

.

Or bb

=

d'après III-1. Don

(

b

+

)

b

−

=

b

−

b

=

(96)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

bb

−

+

b

−

b

.

Or bb

=

d'après III-1. Don

(

b

+

)

b

−

=

b

−

b

=

w.

•

w

|

b

−

|

2

=

(97)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

bb

−

+

b

−

b

.

Or bb

=

d'après III-1. Don

(

b

+

)

b

−

=

b

−

b

=

w.

•

w

|

b

−

|

2

= (

b

+

)

b

−

(

b

−

)

b

−

=

(98)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

bb

−

+

b

−

b

.

Or bb

=

d'après III-1. Don

(

b

+

)

b

−

=

b

−

b

=

w.

•

w

|

b

−

|

2

= (

b

+

)

b

−

(

b

−

)

b

−

= (

b

+

)

b

−

(

b

−

)

b

−

=

(99)

( + ) ¯ − ¯ =

justier que :

b

+

b

−

=

w

|

b

−

|

2

.

• (

b

+

)

b

−

=

bb

−

b

+

b

−

=

bb

−

+

b

−

b

.

Or bb

=

d'après III-1. Don

(

b

+

)

b

−

=

b

−

b

=

w.

•

w

|

b

−

|

2

= (

b

+

)

b

−

(

b

−

)

b

−

= (

b

+

)

b

−

(

b

−

)

b

−

=

b

+

b

−

.

(100)

b

−

imaginaire pur.

(101)

b

−

imaginaire pur.

On sait quew est imaginairepur et que 1

|

b

−

|

2 est un

nombreréel (stritement positif).

(102)

b

−

imaginaire pur.

On sait quew est imaginairepur et que 1

|

b

−

|

2 est un

nombreréel (stritement positif).

Il s'ensuit que 1

|

b

−

|

2

×

w est un imaginairepur

(103)

b

−

imaginaire pur.

On sait quew est imaginairepur et que 1

|

b

−

|

2 est un

nombreréel (stritement positif).

Il s'ensuit que 1

|

b

−

|

2

×

w est un imaginairepur .à.d. que

b

+

b

−

estun imaginaire pur.

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