Mathématiques TermS
2018-2019
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Soit I=
1
2
; + ∞
.
◦ ln (
6x−
2)
n'existe que si 6x−
2>
0, 'est-à-dire x>
1
3
; don
ln (
6x−
2)
existe si x∈
I.Exerie2
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Soit I=
1
2
; + ∞
.
◦ ln (
6x−
2)
n'existe que si 6x−
2>
0, 'est-à-dire x>
1
3
; don
ln (
6x−
2)
existe si x∈
I.◦ ln (
2x−
1)
n'existe que si 2x−
1>
0, 'est-à-dire x>
1
2
; don
ln (
2x−
1)
existe si x∈
I.Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Soit I=
1
2
; + ∞
.
◦ ln (
6x−
2)
n'existe que si 6x−
2>
0, 'est-à-dire x>
1
3
; don
ln (
6x−
2)
existe si x∈
I.◦ ln (
2x−
1)
n'existe que si 2x−
1>
0, 'est-à-dire x>
1
2
; don
ln (
2x−
1)
existe si x∈
I.◦ ln (
x)
n'existe quesi x>
0; donln (
x)
existe six
∈
I.Exerie2
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x)
Exerie2
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x)
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
xExerie2
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
xArmation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
x⇐⇒
12x2−
11x+
2=
0Exerie2
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
x⇐⇒
12x2−
11x+
2=
0•
Onrésout dans I l'équation 12x2−
11x+
2=
0.Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
x⇐⇒
12x2−
11x+
2=
0•
Onrésout dans I l'équation 12x2−
11x+
2=
0.∆ =
112−
4×
12×
2=
25=
52;Exerie2
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
x⇐⇒
12x2−
11x+
2=
0•
Onrésout dans I l'équation 12x2−
11x+
2=
0.∆ =
112−
4×
12×
2=
25=
52; x′ =
11+
52
×
12=
1624
=
23
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
x⇐⇒
12x2−
11x+
2=
0•
Onrésout dans I l'équation 12x2−
11x+
2=
0.∆ =
112−
4×
12×
2=
25=
52; x′ =
11+
52
×
12=
1624
=
23
et x
′′ =
11−
524
=
624
=
14
Exerie2
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
x⇐⇒
12x2−
11x+
2=
0•
Onrésout dans I l'équation 12x2−
11x+
2=
0.∆ =
112−
4×
12×
2=
25=
52; x′ =
11+
52
×
12=
1624
=
23
et x
′′ =
11−
524
=
624
=
14
x
′ ∈
I et x′′ 6∈
I donl'équation du départ n'admetqu'unesolution dans l'intervalleI.
Armation 1 : l'équation admet deux solutions
dans l'intervalle
1
2
; + ∞
.
•
Surl'intervalle I :ln(
6x−
2) + ln(
2x−
1) = ln(
x) ⇐⇒
ln (
6x−
2)(
2x−
1)
= ln(
x) ⇐⇒ (
6x−
2)(
2x−
1) =
x⇐⇒
12x2−
4x−
6x+
2=
x⇐⇒
12x2−
11x+
2=
0•
Onrésout dans I l'équation 12x2−
11x+
2=
0.∆ =
112−
4×
12×
2=
25=
52; x′ =
11+
52
×
12=
1624
=
23
et x
′′ =
11−
524
=
624
=
14
x
′ ∈
I et x′′ 6∈
I donl'équation du départ n'admetqu'unesolution dans l'intervalleI.
L'armation 1 est fausse.
Exerie2
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
•
Lessolutions de l'équation4z
2
−
20z+
37(
2z−
7+
2i) =
0 sontlessolutionsdesdeuxéquations 4z
2
−
20z+
37=
0 et 2z−
7+
2i=
0.Exerie2
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
•
Lessolutions de l'équation4z
2
−
20z+
37(
2z−
7+
2i) =
0 sontlessolutionsdesdeuxéquations 4z
2
−
20z+
37=
0 et 2z−
7+
2i=
0.•
Onrésout dansC
l'équation 4z2
−
20z+
37=
0.Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
•
Lessolutions de l'équation4z
2
−
20z+
37(
2z−
7+
2i) =
0 sontlessolutionsdesdeuxéquations 4z
2
−
20z+
37=
0 et 2z−
7+
2i=
0.•
Onrésout dansC
l'équation 4z2
−
20z+
37=
0.∆ =
202−
4×
4×
37= −
192<
0;l'équation admetdondeux solutionsomplexes onjuguées :
Exerie2
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
•
Lessolutions de l'équation4z
2
−
20z+
37(
2z−
7+
2i) =
0 sontlessolutionsdesdeuxéquations 4z
2
−
20z+
37=
0 et 2z−
7+
2i=
0.•
Onrésout dansC
l'équation 4z2
−
20z+
37=
0.∆ =
202−
4×
4×
37= −
192<
0;l'équation admetdondeux solutionsomplexes onjuguées :
z
1
=
20+
i√
192
2
×
4=
20+
8i√
3
8
=
52
+
i√
3 et
z
2
=
52
−
i√
3
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
•
Onrésout dansC
l'équation 2z−
7+
2i=
0:2z
−
7+
2i=
0⇐⇒
2z=
7−
2i⇐⇒
z=
72
−
iExerie2
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
•
Onrésout dansC
l'équation 2z−
7+
2i=
0:2z
−
7+
2i=
0⇐⇒
2z=
7−
2i⇐⇒
z=
72
−
iCette équation a pour solutionle nombre omplexe
z
3
=
72
−
i.Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
On appelle A, B et C lespoints d'axes respetives z
1 , z
2 et
z
3 .
◦
PA=
z1−
zP=
5
2
+
i√
3
−
2=
1
2
+
i√
3
= r
13
4
Exerie2
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
On appelle A, B et C lespoints d'axes respetives z
1 , z
2 et
z
3 .
◦
PA=
z1−
zP=
5
2
+
i√
3
−
2=
1
2
+
i√
3
= r
13
4
◦
PB=
z2−
zP=
5
2
−
i√
3
−
2=
1
2
−
i√
3
= r
13
4
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
On appelle A, B et C lespoints d'axes respetives z
1 , z
2 et
z
3 .
◦
PA=
z1−
zP=
5
2
+
i√
3
−
2=
1
2
+
i√
3
= r
13
4
◦
PB=
z2−
zP=
5
2
−
i√
3
−
2=
1
2
−
i√
3
= r
13
4
◦
PC=
z3−
zP=
7
2
−
i−
2=
3
2
−
i= r
13
4
Exerie2
Armation 2 : les solutions de l'équation
(
4z2−
20z+
37)(
2z−
7+
2i) =
0 sont les axesde points appartenant à un même erle de entre
le point P d'axe 2.
•
PA=
PB=
PC don lessolutions de l'équation sontlesaxes detrois pointssitués sur leerle deentre P
d'axe 2et de rayon 13
4 .
L'armation 2 est vraie.
On onsidère, pourtout entiern
>
0, lesfontions fndénies
sur l'intervalle [1; 5℄ par :
f
n
(
x) = ln
xx n
.
. Pour tout entier n
>
0,on noteC
n la ourbereprésentative de la fontion fn
dans un repère orthogonal.
Sur le graphique i-dessous sont représentées les ourbes
C
npour n appartenant à
{
1;
2;
3;
4}
.0 1 2 3 4
0 0
,
5Exerie2
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
11. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
Exerie2
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
uv
= ⇒
fn′ =
Exerie2
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
uv
= ⇒
fn′ =
u′
v
−
uv′
v 2
ave
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
uv
= ⇒
fn′ =
u′
v
−
uv′
v 2
ave
(
u
(
x) = ln(
x)
v
(
x) =
xn= ⇒
u
′ (
x) =
1x
v
′ (
x) =
nxn−
1Exerie2
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
uv
= ⇒
fn′ =
u′
v
−
uv′
v 2
ave
(
u
(
x) = ln(
x)
v
(
x) =
xn= ⇒
u
′ (
x) =
1x
v
′ (
x) =
nxn−
1don
∀
x∈ [
1;
5] ,
f′
n
(
x) =
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
uv
= ⇒
fn′ =
u′
v
−
uv′
v 2
ave
(
u
(
x) = ln(
x)
v
(
x) =
xn= ⇒
u
′ (
x) =
1x
v
′ (
x) =
nxn−
1don
∀
x∈ [
1;
5] ,
f′
n
(
x) =
xn
−
1−
nxn−
1ln(
x)
x 2n
=
Exerie2
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
uv
= ⇒
fn′ =
u′
v
−
uv′
v 2
ave
(
u
(
x) = ln(
x)
v
(
x) =
xn= ⇒
u
′ (
x) =
1x
v
′ (
x) =
nxn−
1don
∀
x∈ [
1;
5] ,
f′
n
(
x) =
xn
−
1−
nxn−
1ln(
x)
x 2n
=
x n
−
1(
1−
nln(
x))
x 2n
=
1. Montrer que, pour tout entier n
>
0 et tout réelx de l'intervalle [1; 5℄ : f
′
n
(
x) =
1−
nln(
x)
x n
+
1f
n
est un quotient dedeux fontions dérivablessur
[
1;
5]
dontle dénominateur ne s'annule pas donf
n
estdérivable sur
[
1;
5]
f
n
=
uv
= ⇒
fn′ =
u′
v
−
uv′
v 2
ave
(
u
(
x) = ln(
x)
v
(
x) =
xn= ⇒
u
′ (
x) =
1x
v
′ (
x) =
nxn−
1don
∀
x∈ [
1;
5] ,
f′
n
(
x) =
xn
−
1−
nxn−
1ln(
x)
x 2n
=
x n
−
1(
1−
nln(
x))
x 2n
=
1−
nln(
x)
x n
+
1Exerie2
2. Pourtout entier n
>
0,on admet que lafontion fnadmet
un maximum sur l'intervalle [1; 5℄.
On note A
n
le point de laourbe
C
n ayant pourordonnée emaximum.
Montrer que tous lespoints A
n
appartiennent à une même
ourbe
Γ
d'équationy
=
1e
ln(
x).
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒
Exerie2
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒ ln(
x) =
1n
⇐⇒
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒ ln(
x) =
1n
⇐⇒
x= exp
1n et
Exerie2
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒ ln(
x) =
1n
⇐⇒
x= exp
1n et
f
n
exp
1n
=
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒ ln(
x) =
1n
⇐⇒
x= exp
1n et
f
n
exp
1n
= ln exp
1n
exp
1=
Exerie2
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒ ln(
x) =
1n
⇐⇒
x= exp
1n et
f
n
exp
1n
= ln exp
1n
exp
1=
1e
ln
exp
1n
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒ ln(
x) =
1n
⇐⇒
x= exp
1n et
f
n
exp
1n
= ln exp
1n
exp
1=
1e
ln
exp
1n
A
n
est donde
oordonnées
exp
1n
;
1e
ln
exp
1n
.
Don tousles points A
n
appartiennent à une même ourbe
Γ
d'équation
Exerie2
2. Montrer que tous les points A
n
appartiennent à
une même ourbe
Γ
d'équation y=
1e
ln(
x)
f
′
n
(
x) =
0⇐⇒ ln(
x) =
1n
⇐⇒
x= exp
1n et
f
n
exp
1n
= ln exp
1n
exp
1=
1e
ln
exp
1n
A
n
est donde
oordonnées
exp
1n
;
1e
ln
exp
1n
.
Don tousles points A
n
appartiennent à une même ourbe
Γ
d'équation
y
=
1e
ln(
x).
3. a) Montrer que, pour tout entier n
>
1 et toutréel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0
6 ln(
x)
x n
6 ln(
5)
x n
.
Exerie2
3. a) Montrer que, pour tout entier n
>
1 et toutréel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0
6 ln(
x)
x n
6 ln(
5)
x n
.
1
6
x6
5= ⇒
06 ln(
x) 6 ln(
5)
ar x7−→ ln(
x)
estroissante sur
[
1;
5]
3. a) Montrer que, pour tout entier n
>
1 et toutréel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0
6 ln(
x)
x n
6 ln(
5)
x n
.
1
6
x6
5= ⇒
06 ln(
x) 6 ln(
5)
ar x7−→ ln(
x)
estroissante sur
[
1;
5]
en divisant membreà membrepar x
n
>
0,on obtient bienpour tout entier n
>
1et tout réelx de l'intervalle[1; 5℄:Exerie2
3. a) Montrer que, pour tout entier n
>
1 et toutréel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0
6 ln(
x)
x n
6 ln(
5)
x n
.
1
6
x6
5= ⇒
06 ln(
x) 6 ln(
5)
ar x7−→ ln(
x)
estroissante sur
[
1;
5]
en divisant membreà membrepar x
n
>
0,on obtient bienpour tout entier n
>
1et tout réelx de l'intervalle[1; 5℄:0
6 ln(
x)
x n
6 ln(
5)
x n
.
3. b)
∀
n>
1 :1 1
x n
d x
=
1n
−
1 1−
15
n
−
1.
Exerie2
3. b)
∀
n>
1 :Z
51 1
x n
d x
=
1n
−
11
−
15 n
−
1.
Pour tout entier n
>
1, Z
51 1
x n
dx
= Z
51 x
−
n dx3. b)
∀
n>
1 :1 1
x n
d x
=
1n
−
1 1−
15
n
−
1.
Pour tout entier n
>
1, Z
51 1
x n
dx
= Z
51 x
−
n dx=
1−
n+
1x
−
n+
151
Exerie2
3. b)
∀
n>
1 :Z
51 1
x n
d x
=
1n
−
11
−
15 n
−
1.
Pour tout entier n
>
1, Z
51 1
x n
dx
= Z
51 x
−
n dx=
1−
n+
1x
−
n+
151
=
1−
n+
1 5−
n+
1−
13. b)
∀
n>
1 :1 1
x n
d x
=
1n
−
1 1−
15
n
−
1.
Pour tout entier n
>
1, Z
51 1
x n
dx
= Z
51 x
−
n dx=
1−
n+
1x
−
n+
151
=
1−
n+
1 5−
n+
1−
1=
1n
−
11
−
15 n
−
1Exerie2
3. ) Pour tout entier n
>
0, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surfae sous laourbe f
n
, 'est-à-dire l'aire du domaine du plan
délimité par les droites d'équations x
=
1, x=
5,y
=
0 et la ourbeC
n.Déterminer la valeur limite de ette aire quand n
tend vers
+ ∞
.3. )
f
n
(
x) >
0sur[
1;
5]
donl'aire herhéeest donnée parZ
51 f
n
(
x)
dxExerie2
3. )
f
n
(
x) >
0sur[
1;
5]
donl'aire herhéeest donnée parZ
51 f
n
(
x)
dxon sait quepourtout entier n
>
1et tout réel x del'intervalle [1;5℄ :3. )
f
n
(
x) >
0sur[
1;
5]
donl'aire herhéeest donnée parZ
51 f
n
(
x)
dxon sait quepourtout entier n
>
1et tout réel x del'intervalle [1;5℄ :0
6 ln(
x)
x n
6 ln(
5)
x n
.
Exerie2
3. )
f
n
(
x) >
0sur[
1;
5]
donl'aire herhéeest donnée parZ
51 f
n
(
x)
dxon sait quepourtout entier n
>
1et tout réel x del'intervalle [1;5℄ :0
6 ln(
x)
x n
6 ln(
5)
x n
.
or l'intégrale onserve l'ordre don
0
6 Z
51 f
n
(
x)
dx6 Z
51
ln(
5)
x n
dx
3. )
Z
51
ln(
5)
x n
dx
= ln(
5) Z
51 1
x n
dx
= ln(
5)
n
−
11
−
15 n
−
1Exerie2
3. )
Z
51
ln(
5)
x n
dx
= ln(
5) Z
51 1
x n
dx
= ln(
5)
n
−
11
−
15 n
−
1lim
n
→+∞
5 n
−
1=
+ ∞
ar5>1 etlim
n
→+∞
ln(
5)
n
−
1 =0don paropération sur leslimites on a
lim
n
→+∞
Z
51
ln(
5)
x n
dx =0
3. )
Z
51
ln(
5)
x n
dx
= ln(
5) Z
51 1
x n
dx
= ln(
5)
n
−
11
−
15 n
−
1lim
n
→+∞
5 n
−
1=
+ ∞
ar5>1 etlim
n
→+∞
ln(
5)
n
−
1 =0don paropération sur leslimites on a
lim
n
→+∞
Z
51
ln(
5)
x n
dx =0
D'après le théorème des gendarmes on endéduit que
lim
n
→+∞
Z
51 f
n
(
x)
dx =0Exerie2
3. )
Z
51
ln(
5)
x n
dx
= ln(
5) Z
51 1
x n
dx
= ln(
5)
n
−
11
−
15 n
−
1lim
n
→+∞
5 n
−
1=
+ ∞
ar5>1 etlim
n
→+∞
ln(
5)
n
−
1 =0don paropération sur leslimites on a
lim
n
→+∞
Z
51
ln(
5)
x n
dx =0
D'après le théorème des gendarmes on endéduit que
lim
n
→+∞
Z
51 f
n
(
x)
dx =0la limite de l'aire est donde 0quand n tend vers