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Ce i DS 6 ahéai e Te S 2018 2019

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(1)

Mathématiques TermS

2018-2019

(2)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Soit I

=

1

2

; + ∞

.

◦ ln (

6x

−

2

)

n'existe que si 6x

−

2

>

0, 'est-à-dire x

>

1

3

; don

ln (

6x

−

2

)

existe si x

∈

I.

(3)

Exerie2

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Soit I

=

1

2

; + ∞

.

◦ ln (

6x

−

2

)

n'existe que si 6x

−

2

>

0, 'est-à-dire x

>

1

3

; don

ln (

6x

−

2

)

existe si x

∈

I.

◦ ln (

2x

−

1

)

n'existe que si 2x

−

1

>

0, 'est-à-dire x

>

1

2

; don

ln (

2x

−

1

)

existe si x

∈

I.

(4)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Soit I

=

1

2

; + ∞

.

◦ ln (

6x

−

2

)

n'existe que si 6x

−

2

>

0, 'est-à-dire x

>

1

3

; don

ln (

6x

−

2

)

existe si x

∈

I.

◦ ln (

2x

−

1

)

n'existe que si 2x

−

1

>

0, 'est-à-dire x

>

1

2

; don

ln (

2x

−

1

)

existe si x

∈

I.

◦ ln (

x

)

n'existe quesi x

>

0; don

ln (

x

)

existe si

x

∈

I.

(5)

Exerie2

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

(6)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

)

(7)

Exerie2

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

)

(8)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

(9)

Exerie2

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

(10)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

⇐⇒

12x2

−

11x

+

2

=

0

(11)

Exerie2

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

⇐⇒

12x2

−

11x

+

2

=

0

•

Onrésout dans I l'équation 12x2

−

11x

+

2

=

0.

(12)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

⇐⇒

12x2

−

11x

+

2

=

0

•

Onrésout dans I l'équation 12x2

−

11x

+

2

=

0.

∆ =

112

−

4

×

12

×

2

=

25

=

52;

(13)

Exerie2

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

⇐⇒

12x2

−

11x

+

2

=

0

•

Onrésout dans I l'équation 12x2

−

11x

+

2

=

0.

∆ =

112

−

4

×

12

×

2

=

25

=

52; x

′ =

11

+

5

2

×

12

=

16

24

=

2

3

(14)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

⇐⇒

12x2

−

11x

+

2

=

0

•

Onrésout dans I l'équation 12x2

−

11x

+

2

=

0.

∆ =

112

−

4

×

12

×

2

=

25

=

52; x

′ =

11

+

5

2

×

12

=

16

24

=

2

3

et x

′′ =

11

−

5

24

=

6

24

=

1

4

(15)

Exerie2

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

⇐⇒

12x2

−

11x

+

2

=

0

•

Onrésout dans I l'équation 12x2

−

11x

+

2

=

0.

∆ =

112

−

4

×

12

×

2

=

25

=

52; x

′ =

11

+

5

2

×

12

=

16

24

=

2

3

et x

′′ =

11

−

5

24

=

6

24

=

1

4

x

′ ∈

I et x

′′ 6∈

I donl'équation du départ n'admet

qu'unesolution dans l'intervalleI.

(16)

Armation 1 : l'équation admet deux solutions

dans l'intervalle

1

2

; + ∞

.

•

Surl'intervalle I :

ln(

6x

−

2

) + ln(

2x

−

1

) = ln(

x

) ⇐⇒

ln (

6x

−

2

)(

2x

−

1

)

= ln(

x

) ⇐⇒ (

6x

−

2

)(

2x

−

1

) =

x

⇐⇒

12x2

−

4x

−

6x

+

2

=

x

⇐⇒

12x2

−

11x

+

2

=

0

•

Onrésout dans I l'équation 12x2

−

11x

+

2

=

0.

∆ =

112

−

4

×

12

×

2

=

25

=

52; x

′ =

11

+

5

2

×

12

=

16

24

=

2

3

et x

′′ =

11

−

5

24

=

6

24

=

1

4

x

′ ∈

I et x

′′ 6∈

I donl'équation du départ n'admet

qu'unesolution dans l'intervalleI.

L'armation 1 est fausse.

(17)

Exerie2

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

(18)

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

•

Lessolutions de l'équation

4z

2

−

20z

+

37

(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sontlessolutionsdes

deuxéquations 4z

2

−

20z

+

37

=

0 et 2z

−

7

+

2i

=

0.

(19)

Exerie2

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

•

Lessolutions de l'équation

4z

2

−

20z

+

37

(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sontlessolutionsdes

deuxéquations 4z

2

−

20z

+

37

=

0 et 2z

−

7

+

2i

=

0.

•

Onrésout dans

C

l'équation 4z

2

−

20z

+

37

=

0.

(20)

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

•

Lessolutions de l'équation

4z

2

−

20z

+

37

(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sontlessolutionsdes

deuxéquations 4z

2

−

20z

+

37

=

0 et 2z

−

7

+

2i

=

0.

•

Onrésout dans

C

l'équation 4z

2

−

20z

+

37

=

0.

∆ =

202

−

4

×

4

×

37

= −

192

<

0;l'équation admet

dondeux solutionsomplexes onjuguées :

(21)

Exerie2

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

•

Lessolutions de l'équation

4z

2

−

20z

+

37

(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sontlessolutionsdes

deuxéquations 4z

2

−

20z

+

37

=

0 et 2z

−

7

+

2i

=

0.

•

Onrésout dans

C

l'équation 4z

2

−

20z

+

37

=

0.

∆ =

202

−

4

×

4

×

37

= −

192

<

0;l'équation admet

dondeux solutionsomplexes onjuguées :

z

1

=

20

+

i

√

192

2

×

4

=

20

+

8i

√

3

8

=

5

2

+

i

√

3 et

z

2

=

5

2

−

i

√

3

(22)

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

•

Onrésout dans

C

l'équation 2z

−

7

+

2i

=

0:

2z

−

7

+

2i

=

0

⇐⇒

2z

=

7

−

2i

⇐⇒

z

=

7

2

−

i

(23)

Exerie2

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

•

Onrésout dans

C

l'équation 2z

−

7

+

2i

=

0:

2z

−

7

+

2i

=

0

⇐⇒

2z

=

7

−

2i

⇐⇒

z

=

7

2

−

i

Cette équation a pour solutionle nombre omplexe

z

3

=

7

2

−

i.

(24)

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

On appelle A, B et C lespoints d'axes respetives z

1 , z

2 et

z

3 .

◦

PA

=

z1

−

zP

=

5

2

+

i

√

3

−

2

=

1

2

+

i

√

3

= r

13

4

(25)

Exerie2

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

On appelle A, B et C lespoints d'axes respetives z

1 , z

2 et

z

3 .

◦

PA

=

z1

−

zP

=

5

2

+

i

√

3

−

2

=

1

2

+

i

√

3

= r

13

4

◦

PB

=

z2

−

zP

=

5

2

−

i

√

3

−

2

=

1

2

−

i

√

3

= r

13

4

(26)

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

On appelle A, B et C lespoints d'axes respetives z

1 , z

2 et

z

3 .

◦

PA

=

z1

−

zP

=

5

2

+

i

√

3

−

2

=

1

2

+

i

√

3

= r

13

4

◦

PB

=

z2

−

zP

=

5

2

−

i

√

3

−

2

=

1

2

−

i

√

3

= r

13

4

◦

PC

=

z3

−

zP

=

7

2

−

i

−

2

=

3

2

−

i

= r

13

4

(27)

Exerie2

Armation 2 : les solutions de l'équation

(

4z2

−

20z

+

37

)(

2z

−

7

+

2i

) =

0 sont les axes

de points appartenant à un même erle de entre

le point P d'axe 2.

•

PA

=

PB

=

PC don lessolutions de l'équation sontles

axes detrois pointssitués sur leerle deentre P

d'axe 2et de rayon 13

4 .

L'armation 2 est vraie.

(28)

On onsidère, pourtout entiern

>

0, lesfontions fn

dénies

sur l'intervalle [1; 5℄ par :

f

n

(

x

) = ln

x

x n

.

. Pour tout entier n

>

0,on note

C

n la ourbereprésentative de la fontion f

n

dans un repère orthogonal.

Sur le graphique i-dessous sont représentées les ourbes

C

n

pour n appartenant à

{

1

;

2

;

3

;

4

}

.

0 1 2 3 4

0 0

,

5

(29)

Exerie2

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

(30)

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

(31)

Exerie2

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

(32)

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

u

v

= ⇒

fn

′ =

(33)

Exerie2

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

u

v

= ⇒

fn

′ =

u

′

v

−

uv

′

v 2

ave

(34)

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

u

v

= ⇒

fn

′ =

u

′

v

−

uv

′

v 2

ave

(

u

(

x

) = ln(

x

)

v

(

x

) =

xn

= ⇒

u

′ (

x

) =

1

x

v

′ (

x

) =

nxn

−

1

(35)

Exerie2

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

u

v

= ⇒

fn

′ =

u

′

v

−

uv

′

v 2

ave

(

u

(

x

) = ln(

x

)

v

(

x

) =

xn

= ⇒

u

′ (

x

) =

1

x

v

′ (

x

) =

nxn

−

1

don

∀

x

∈ [

1

;

5

] ,

f

′

n

(

x

) =

(36)

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

u

v

= ⇒

fn

′ =

u

′

v

−

uv

′

v 2

ave

(

u

(

x

) = ln(

x

)

v

(

x

) =

xn

= ⇒

u

′ (

x

) =

1

x

v

′ (

x

) =

nxn

−

1

don

∀

x

∈ [

1

;

5

] ,

f

′

n

(

x

) =

x

n

−

1

−

nxn

−

1

ln(

x

)

x 2n

=

(37)

Exerie2

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

u

v

= ⇒

fn

′ =

u

′

v

−

uv

′

v 2

ave

(

u

(

x

) = ln(

x

)

v

(

x

) =

xn

= ⇒

u

′ (

x

) =

1

x

v

′ (

x

) =

nxn

−

1

don

∀

x

∈ [

1

;

5

] ,

f

′

n

(

x

) =

x

n

−

1

−

nxn

−

1

ln(

x

)

x 2n

=

x n

−

1

(

1

−

n

ln(

x

))

x 2n

=

(38)

1. Montrer que, pour tout entier n

>

0 et tout réel

x de l'intervalle [1; 5℄ : f

′

n

(

x

) =

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

f

n

est un quotient dedeux fontions dérivablessur

[

1

;

5

]

dont

le dénominateur ne s'annule pas donf

n

estdérivable sur

[

1

;

5

]

f

n

=

u

v

= ⇒

fn

′ =

u

′

v

−

uv

′

v 2

ave

(

u

(

x

) = ln(

x

)

v

(

x

) =

xn

= ⇒

u

′ (

x

) =

1

x

v

′ (

x

) =

nxn

−

1

don

∀

x

∈ [

1

;

5

] ,

f

′

n

(

x

) =

x

n

−

1

−

nxn

−

1

ln(

x

)

x 2n

=

x n

−

1

(

1

−

n

ln(

x

))

x 2n

=

1

−

n

ln(

x

)

x n

+

1

(39)

Exerie2

2. Pourtout entier n

>

0,on admet que lafontion fn

admet

un maximum sur l'intervalle [1; 5℄.

On note A

n

le point de laourbe

C

n ayant pourordonnée e

maximum.

Montrer que tous lespoints A

n

appartiennent à une même

ourbe

Γ

d'équation

y

=

1

e

ln(

x

).

(40)

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒

(41)

Exerie2

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒ ln(

x

) =

1

n

⇐⇒

(42)

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒ ln(

x

) =

1

n

⇐⇒

x

= exp

1

n et

(43)

Exerie2

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒ ln(

x

) =

1

n

⇐⇒

x

= exp

1

n et

f

n

exp

1

n

=

(44)

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒ ln(

x

) =

1

n

⇐⇒

x

= exp

1

n et

f

n

exp

1

n

= ln exp

1

n

exp

1

=

(45)

Exerie2

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒ ln(

x

) =

1

n

⇐⇒

x

= exp

1

n et

f

n

exp

1

n

= ln exp

1

n

exp

1

=

1

e

ln

exp

1

n

(46)

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒ ln(

x

) =

1

n

⇐⇒

x

= exp

1

n et

f

n

exp

1

n

= ln exp

1

n

exp

1

=

1

e

ln

exp

1

n

A

n

est donde

oordonnées

exp

1

n

;

1

e

ln

exp

1

n

.

Don tousles points A

n

appartiennent à une même ourbe

Γ

d'équation

(47)

Exerie2

2. Montrer que tous les points A

n

appartiennent à

une même ourbe

Γ

d'équation y

=

1

e

ln(

x

)

f

′

n

(

x

) =

0

⇐⇒ ln(

x

) =

1

n

⇐⇒

x

= exp

1

n et

f

n

exp

1

n

= ln exp

1

n

exp

1

=

1

e

ln

exp

1

n

A

n

est donde

oordonnées

exp

1

n

;

1

e

ln

exp

1

n

.

Don tousles points A

n

appartiennent à une même ourbe

Γ

d'équation

y

=

1

e

ln(

x

).

(48)

3. a) Montrer que, pour tout entier n

>

1 et tout

réel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0

6 ln(

x

)

x n

6 ln(

5

)

x n

.

(49)

Exerie2

3. a) Montrer que, pour tout entier n

>

1 et tout

réel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0

6 ln(

x

)

x n

6 ln(

5

)

x n

.

1

6

x

6

5

= ⇒

0

6 ln(

x

) 6 ln(

5

)

ar x

7−→ ln(

x

)

est

roissante sur

[

1

;

5

]

(50)

3. a) Montrer que, pour tout entier n

>

1 et tout

réel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0

6 ln(

x

)

x n

6 ln(

5

)

x n

.

1

6

x

6

5

= ⇒

0

6 ln(

x

) 6 ln(

5

)

ar x

7−→ ln(

x

)

est

roissante sur

[

1

;

5

]

en divisant membreà membrepar x

n

>

0,on obtient bien

pour tout entier n

>

1et tout réelx de l'intervalle[1; 5℄:

(51)

Exerie2

3. a) Montrer que, pour tout entier n

>

1 et tout

réel x de l'intervalle [1; 5℄ : 0

6 ln(

x

)

x n

6 ln(

5

)

x n

.

1

6

x

6

5

= ⇒

0

6 ln(

x

) 6 ln(

5

)

ar x

7−→ ln(

x

)

est

roissante sur

[

1

;

5

]

en divisant membreà membrepar x

n

>

0,on obtient bien

pour tout entier n

>

1et tout réelx de l'intervalle[1; 5℄:

0

6 ln(

x

)

x n

6 ln(

5

)

x n

.

(52)

3. b)

∀

n

>

1 :

1 1

x n

d x

=

1

n

−

1 1

−

1

5

n

−

1

.

(53)

Exerie2

3. b)

∀

n

>

1 :

Z

5

1 1

x n

d x

=

1

n

−

1

1

−

1

5 n

−

1

.

Pour tout entier n

>

1

, Z

5

1 1

x n

dx

= Z

5

1 x

−

n dx

(54)

3. b)

∀

n

>

1 :

1 1

x n

d x

=

1

n

−

1 1

−

1

5

n

−

1

.

Pour tout entier n

>

1

, Z

5

1 1

x n

dx

= Z

5

1 x

−

n dx

=

1

−

n

+

1

x

−

n

+

1

5

1

(55)

Exerie2

3. b)

∀

n

>

1 :

Z

5

1 1

x n

d x

=

1

n

−

1

1

−

1

5 n

−

1

.

Pour tout entier n

>

1

, Z

5

1 1

x n

dx

= Z

5

1 x

−

n dx

=

1

−

n

+

1

x

−

n

+

1

5

1

=

1

−

n

+

1 5

−

n

+

1

−

1

(56)

3. b)

∀

n

>

1 :

1 1

x n

d x

=

1

n

−

1 1

−

1

5

n

−

1

.

Pour tout entier n

>

1

, Z

5

1 1

x n

dx

= Z

5

1 x

−

n dx

=

1

−

n

+

1

x

−

n

+

1

5

1

=

1

−

n

+

1 5

−

n

+

1

−

1

=

1

n

−

1

1

−

1

5 n

−

1

(57)

Exerie2

3. ) Pour tout entier n

>

0, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surfae sous la

ourbe f

n

, 'est-à-dire l'aire du domaine du plan

délimité par les droites d'équations x

=

1, x

=

5,

y

=

0 et la ourbe

C

n.

Déterminer la valeur limite de ette aire quand n

tend vers

+ ∞

.

(58)

3. )

f

n

(

x

) >

0sur

[

1

;

5

]

donl'aire herhéeest donnée par

Z

5

1 f

n

(

x

)

dx

(59)

Exerie2

3. )

f

n

(

x

) >

0sur

[

1

;

5

]

donl'aire herhéeest donnée par

Z

5

1 f

n

(

x

)

dx

on sait quepourtout entier n

>

1et tout réel x del'intervalle [1;5℄ :

(60)

3. )

f

n

(

x

) >

0sur

[

1

;

5

]

donl'aire herhéeest donnée par

Z

5

1 f

n

(

x

)

dx

on sait quepourtout entier n

>

1et tout réel x del'intervalle [1;5℄ :

0

6 ln(

x

)

x n

6 ln(

5

)

x n

.

(61)

Exerie2

3. )

f

n

(

x

) >

0sur

[

1

;

5

]

donl'aire herhéeest donnée par

Z

5

1 f

n

(

x

)

dx

on sait quepourtout entier n

>

1et tout réel x del'intervalle [1;5℄ :

0

6 ln(

x

)

x n

6 ln(

5

)

x n

.

or l'intégrale onserve l'ordre don

0

6 Z

5

1 f

n

(

x

)

dx

6 Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx

(62)

3. )

Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx

= ln(

5

) Z

5

1 1

x n

dx

= ln(

5

)

n

−

1

1

−

1

5 n

−

1

(63)

Exerie2

3. )

Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx

= ln(

5

) Z

5

1 1

x n

dx

= ln(

5

)

n

−

1

1

−

1

5 n

−

1

lim

n

→+∞

5 n

−

1

=

+ ∞

ar5>1 et

lim

n

→+∞

ln(

5

)

n

−

1 =0don par

opération sur leslimites on a

lim

n

→+∞

Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx =0

(64)

3. )

Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx

= ln(

5

) Z

5

1 1

x n

dx

= ln(

5

)

n

−

1

1

−

1

5 n

−

1

lim

n

→+∞

5 n

−

1

=

+ ∞

ar5>1 et

lim

n

→+∞

ln(

5

)

n

−

1 =0don par

opération sur leslimites on a

lim

n

→+∞

Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx =0

D'après le théorème des gendarmes on endéduit que

lim

n

→+∞

Z

5

1 f

n

(

x

)

dx =0

(65)

Exerie2

3. )

Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx

= ln(

5

) Z

5

1 1

x n

dx

= ln(

5

)

n

−

1

1

−

1

5 n

−

1

lim

n

→+∞

5 n

−

1

=

+ ∞

ar5>1 et

lim

n

→+∞

ln(

5

)

n

−

1 =0don par

opération sur leslimites on a

lim

n

→+∞

Z

5

1

ln(

5

)

x n

dx =0

D'après le théorème des gendarmes on endéduit que

lim

n

→+∞

Z

5

1 f

n

(

x

)

dx =0

la limite de l'aire est donde 0quand n tend vers

+ ∞

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Nous aurons toujours (cf.. Sur la polarisation par diffraction.. Sur la polarisatiou par diffraction. C'est eette limite que CAucnY appelle valeur principale de

I n t r o d u c t i o n . L e t r a v a i l q u i v a s u i v r e e t q u i a p o u r o b j e t l ' 6 t u d e d u p r o b l ~ m e d e s t r o i s c o r p s e s t u n r e m a n i e m e n t d u m 6 m o i r e q u e j ' a v a i s p r 6 s e n t 6 a u C o n c o

Plus on r6fl6- chira sur leg propositions que je dSmontre plus loin, mieux on comprendra que ce probldme pr6sente des difficult6s inouies, quc l'insuccds des

R E M A R O L I E S S U R L . E S I N T I ~ G R A L E S I R R I ~ G I J L I E R E S D E S I ~ O U A T I O N S ~ L I N I ~ A I R E S . I R 6 p o n s e h M . T h o m 6

TItoMk., il est aussi difficile de distinguer si l'6quation transform6e a une int6grale holomorphe, que de reconnaitre si la sd.rie normale converge. attendait de

G r o u p e s d e t r e s s e s e t m o y e n n a b i l i t 6 i n t 6 r i e u r e T h i e r r y G i o r d a n o e t P i e r r e d e l a H a r p e O n c o n s i d 6 r e u n e n t i e r k _ ~ 2 e t l e

Nous achevons ce travail en notant que les groupes 6tudi6s ici n'ont jamais la propri~td (T) de Kazhdan, en examinant les cons6quences des r6sultats pr6c6dents

U n e g 6 n 6 r a l i s a t i o n d ' u n e f o r m u l e d ' E r d e l y i F r a n c o i s B a t o l a

Avant d'entrer dans le vif du sujet, rappelons bri6vement quelques propri6t6s de l'dquation biconfluente de l'6quation de Heun dont nous aurons besoin dans

S u r l e p r o b l m e d e l a d 6 r i v 6 e o b l i q u e I I K a z u a k i T a i r a R 6 s u m 6 . - - P o u r s u i v a n t l ' 6 m d e d u p r o b l 6 m e d e l a d 6 r v i 6 e o b l i q u e e n t r e p r i s e d a r t s 1 1 3 , o n d o n n e d e s c

Supposons que la condition aux limites N satisfait au pr~acipe du maximum positif au bord (cf.. d6signe des normes 6quivalentes)... FUJIWARA, D., On some