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Ce i DS 3 ahéai e Te S 2018 2019

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(1)

Mathématiques TermS

2018-2019

(2)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

(3)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

f

(

^x

)

^f

( −

^x

) −

^f

(

^x

)

^f

( −

^x

) =

(4)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

f

(

^x

)

^f

( −

^x

) −

^f

(

^x

)

^f

( −

^x

) =

⁰

(5)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

f

(

^x

)

^f

( −

^x

) −

^f

(

^x

)

^f

( −

^x

) =

⁰

Si h a unedérivée nulle sur

R

âlors^h êstûne ^fontion

onstante.

(6)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

f

(

^x

)

^f

( −

^x

) −

^f

(

^x

)

^f

( −

^x

) =

⁰

Si h a unedérivée nulle sur

R

âlors^h êstûne ^fontion

onstante.

Or h

(

⁰

) =

^f

(

⁰

)

^f

(

⁰

) =

¹

;

(7)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

f

(

^x

)

^f

( −

^x

) −

^f

(

^x

)

^f

( −

^x

) =

⁰

Si h a unedérivée nulle sur

R

âlors^h êstûne ^fontion

onstante.

Or h

(

⁰

) =

^f

(

⁰

)

^f

(

⁰

) =

¹

;

^on ^en ^déduit ^que,^pour^tout ^x ^réel,

( ) = ,

(8)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

f

(

^x

)

^f

( −

^x

) −

^f

(

^x

)

^f

( −

^x

) =

⁰

Si h a unedérivée nulle sur

R

âlors^h êstûne ^fontion

onstante.

Or h

(

⁰

) =

^f

(

⁰

)

^f

(

⁰

) =

¹

;

^on ^en ^déduit ^que,^pour^tout ^x ^réel,

( ) = ,

(9)

Exerie2

Exerie3

1) Montrer que la fontion h

(

^x

) =

^f

(

^x

) ×

^f

( −

^x

)

est une onstante et que ette onstante est 1.

La fontion h estdérivable sur

R

^omme ^produit ^de ^fontions

dérivables et

h

′ (

^x

) =

^(f

(

^x

)) ^′

^f

( −

^x

) +

^f

(

^x

)(

^f

( −

^x

)) ^′ =

f

(

^x

)

^f

( −

^x

) −

^f

(

^x

)

^f

( −

^x

) =

⁰

Si h a unedérivée nulle sur

R

âlors^h êstûne ^fontion

onstante.

Or h

(

⁰

) =

^f

(

⁰

)

^f

(

⁰

) =

¹

;

^on ^en ^déduit ^que,^pour^tout ^x ^réel,

( ) = ,

(10)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

(11)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

(12)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

La fontion

φ

^est^bien ^dénie ^et ^dérivable ^sur

R

^ar ^g

(

^x

) 6 =

⁰

pour tout x d'après 1).

(13)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

La fontion

φ

^est^bien ^dénie ^et ^dérivable ^sur

R

^ar ^g

(

^x

) 6 =

⁰

pour tout x d'après 1).

Alors

(φ(

^x

)) ^′ =

(14)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

La fontion

φ

^est^bien ^dénie ^et ^dérivable ^sur

R

^ar ^g

(

^x

) 6 =

⁰

pour tout x d'après 1).

Alors

(φ(

^x

)) ^′ =

^f

′ (

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

^′ (

^x

)

(

^g

(

^x

))

²

(15)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

La fontion

φ

^est^bien ^dénie ^et ^dérivable ^sur

R

^ar ^g

(

^x

) 6 =

⁰

pour tout x d'après 1).

Alors

(φ(

^x

)) ^′ =

^f

′ (

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

^′ (

^x

)

(

^g

(

^x

))

²

=

^f

(

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

(

^x

)

(

^g

(

^x

))

²

=

(16)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

La fontion

φ

^est^bien ^dénie ^et ^dérivable ^sur

R

^ar ^g

(

^x

) 6 =

⁰

pour tout x d'après 1).

Alors

(φ(

^x

)) ^′ =

^f

′ (

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

^′ (

^x

)

(

^g

(

^x

))

²

=

^f

(

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

(

^x

)

(

^g

(

^x

))

²

=

⁰

(17)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

La fontion

φ

^est^bien ^dénie ^et ^dérivable ^sur

R

^ar ^g

(

^x

) 6 =

⁰

pour tout x d'après 1).

Alors

(φ(

^x

)) ^′ =

^f

′ (

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

^′ (

^x

)

(

^g

(

^x

))

²

=

^f

(

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

(

^x

) (

^g

(

^x

))

²

=

⁰

La fontion

φ

^de^dérivée ^nulle ^est^don ^onstante ^sur

R

^et

φ( ) =

(18)

Exerie2

Exerie3

2)

φ (

^x

) =

^f

(

^x

)

g

(

^x

)

^Mq ^f

=

^g

Les fontions f et g sont des fontions dérivables sur

R

^telle

que : f

′ =

^f ^et ^f

(

⁰

) =

^1,^g

^′ =

^g ^et ^g

(

⁰

) =

^1.

La fontion

φ

^est^bien ^dénie ^et ^dérivable ^sur

R

^ar ^g

(

^x

) 6 =

⁰

pour tout x d'après 1).

Alors

(φ(

^x

)) ^′ =

^f

′ (

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

^′ (

^x

)

(

^g

(

^x

))

²

=

^f

(

^x

)

^g

(

^x

) −

^f

(

^x

)

^g

(

^x

) (

^g

(

^x

))

²

=

⁰

La fontion

φ

^de^dérivée ^nulle ^est^don ^onstante ^sur

R

^et

φ( ) = φ( ) =

(19)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

(20)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

g somme de fontionsdérivables sur

[

⁰

; + ∞ [

^est^dérivable ^et

sur et intervalle:

(21)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

g somme de fontionsdérivables sur

[

⁰

; + ∞ [

^est^dérivable ^et

sur et intervalle:

g

′ (

^x

) =

(22)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

g somme de fontionsdérivables sur

[

⁰

; + ∞ [

^est^dérivable ^et

sur et intervalle:

g

′ (

^x

) =

^e^x

−

^1.

(23)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

g somme de fontionsdérivables sur

[

⁰

; + ∞ [

^est^dérivable ^et

sur et intervalle:

g

′ (

^x

) =

^e^x

−

^1.

g

′ (

⁰

) =

⁰

(24)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

g somme de fontionsdérivables sur

[

⁰

; + ∞ [

^est^dérivable ^et

sur et intervalle:

g

′ (

^x

) =

^e^x

−

^1.

g

′ (

⁰

) =

⁰^et ^pour^tout ^réel^x

∈ [

⁰

; + ∞ [,

^g

^′ (

^x

) >

⁰^par^strite

roissane de lafontion exponentielle (x

>

⁰

⇒

^e^x

>

^e⁰

>

^1).

(25)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

g somme de fontionsdérivables sur

[

⁰

; + ∞ [

^est^dérivable ^et

sur et intervalle:

g

′ (

^x

) =

^e^x

−

^1.

g

′ (

⁰

) =

⁰^et ^pour^tout ^réel^x

∈ [

⁰

; + ∞ [,

^g

^′ (

^x

) >

⁰^par^strite

roissane de lafontion exponentielle (x

>

⁰

⇒

^e^x

>

^e⁰

>

^1).

Conlusion : g

′ (

^x

) >

⁰^sur

[

⁰

; + ∞ [

^,

(26)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion g dénie sur

[

⁰

; + ∞ [

^par

g

(

^x

) =

^e^x

−

^x

−

¹

.

1. Étudier les variations de la fontion g.

g somme de fontionsdérivables sur

[

⁰

; + ∞ [

^est^dérivable ^et

sur et intervalle:

g

′ (

^x

) =

^e^x

−

^1.

g

′ (

⁰

) =

⁰^et ^pour^tout ^réel^x

∈ [

⁰

; + ∞ [,

^g

^′ (

^x

) >

⁰^par^strite

roissane de lafontion exponentielle (x

>

⁰

⇒

^e^x

>

^e⁰

>

^1).

Conlusion : g

′ (

^x

) >

⁰^sur

[

⁰

; + ∞ [

^,la ^dérivée ^ne^s'annulant

qu'en 0 donlafontion g est stritement roissante sur et

(27)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Déterminer le signe de g

(

^x

)

^suivant ^les ^valeurs ^de ^x.

On a g

(

⁰

) =

¹

−

⁰

−

¹

=

^0.

(28)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Déterminer le signe de g

(

^x

)

^suivant ^les ^valeurs ^de ^x.

On a g

(

⁰

) =

¹

−

⁰

−

¹

=

^0.

La fontion étant stritement roissante sur

[

⁰

; + ∞ [

^, ^on^a,

quel que soit x

,

^g

(

^x

) >

^g

(

⁰

)

^,^don ^g

(

^x

) >

^0.

(29)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Déterminer le signe de g

(

^x

)

^suivant ^les ^valeurs ^de ^x.

On a g

(

⁰

) =

¹

−

⁰

−

¹

=

^0.

La fontion étant stritement roissante sur

[

⁰

; + ∞ [

^, ^on^a,

quel que soit x

,

^g

(

^x

) >

^g

(

⁰

)

^,^don ^g

(

^x

) >

^0.

3. En déduire que pour tout x de

[

⁰

; + ∞ [,

^e^x

−

^x

>

^0.

(30)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Déterminer le signe de g

(

^x

)

^suivant ^les ^valeurs ^de ^x.

On a g

(

⁰

) =

¹

−

⁰

−

¹

=

^0.

La fontion étant stritement roissante sur

[

⁰

; + ∞ [

^, ^on^a,

quel que soit x

,

^g

(

^x

) >

^g

(

⁰

)

^,^don ^g

(

^x

) >

^0.

3. En déduire que pour tout x de

[

⁰

; + ∞ [,

^e^x

−

^x

>

^0.

On vient de démontrer quepourtout réelde l'intervalle

[

⁰

; + ∞ [,

(31)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Déterminer le signe de g

(

^x

)

^suivant ^les ^valeurs ^de ^x.

On a g

(

⁰

) =

¹

−

⁰

−

¹

=

^0.

La fontion étant stritement roissante sur

[

⁰

; + ∞ [

^, ^on^a,

quel que soit x

,

^g

(

^x

) >

^g

(

⁰

)

^,^don ^g

(

^x

) >

^0.

3. En déduire que pour tout x de

[

⁰

; + ∞ [,

^e^x

−

^x

>

^0.

On vient de démontrer quepourtout réelde l'intervalle

[

⁰

; + ∞ [,

g

(

^x

) >

⁰

(32)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Déterminer le signe de g

(

^x

)

^suivant ^les ^valeurs ^de ^x.

On a g

(

⁰

) =

¹

−

⁰

−

¹

=

^0.

La fontion étant stritement roissante sur

[

⁰

; + ∞ [

^, ^on^a,

quel que soit x

,

^g

(

^x

) >

^g

(

⁰

)

^,^don ^g

(

^x

) >

^0.

3. En déduire que pour tout x de

[

⁰

; + ∞ [,

^e^x

−

^x

>

^0.

On vient de démontrer quepourtout réelde l'intervalle

[

⁰

; + ∞ [,

g

(

^x

) >

⁰

⇐⇒

^e^x

−

^x

−

¹

>

⁰

(33)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Déterminer le signe de g

(

^x

)

^suivant ^les ^valeurs ^de ^x.

On a g

(

⁰

) =

¹

−

⁰

−

¹

=

^0.

La fontion étant stritement roissante sur

[

⁰

; + ∞ [

^, ^on^a,

quel que soit x

,

^g

(

^x

) >

^g

(

⁰

)

^,^don ^g

(

^x

) >

^0.

3. En déduire que pour tout x de

[

⁰

; + ∞ [,

^e^x

−

^x

>

^0.

On vient de démontrer quepourtout réelde l'intervalle

[

⁰

; + ∞ [,

g

(

^x

) >

⁰

⇐⇒

^e^x

−

^x

−

¹

>

⁰

⇐⇒

^e^x

−

^x

>

^1.

(34)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

(35)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

On a f

(

⁰

) =

(36)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

On a f

(

⁰

) =

¹

−

¹

1

=

(37)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

On a f

(

⁰

) =

¹

−

¹

1

=

⁰^et ^f

(

¹

) =

(38)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

On a f

(

⁰

) =

¹

−

¹

1

=

⁰^et ^f

(

¹

) =

^e

−

¹

e

−

¹

=

(39)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

On a f

(

⁰

) =

¹

−

¹

1

=

⁰^et ^f

(

¹

) =

^e

−

¹

e

−

¹

=

^1.

Comme lafontion f estroissante sur[0; 1℄,0

6

^x

6

¹

⇒

(40)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

On a f

(

⁰

) =

¹

−

¹

1

=

⁰^et ^f

(

¹

) =

^e

−

¹

e

−

¹

=

^1.

Comme lafontion f estroissante sur[0; 1℄,0

6

^x

6

¹

⇒

f

(

⁰

) 6

^f

(

^x

) 6

^f

(

¹

) ⇐⇒

(41)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

On onsidère la fontion f dénie sur [0; 1℄ par

f

(

^x

) =

^e

x

−

¹

e x

−

^x

.

On admet que f est stritement roissante sur [0; 1℄.

1. Montrer que pour tout x de [0; 1℄, f

(

^x

) ∈ [

⁰

;

¹

]

^.

On a f

(

⁰

) =

¹

−

¹

1

=

⁰^et ^f

(

¹

) =

^e

−

¹

e

−

¹

=

^1.

Comme lafontion f estroissante sur[0; 1℄,0

6

^x

6

¹

⇒

f

(

⁰

) 6

^f

(

^x

) 6

^f

(

¹

) ⇐⇒

⁰

6

^f

(

^x

) 6

^1.

(42)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

(43)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

(44)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

^e

x

−

¹

e

x

−

^x

−

^x

=

(45)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

^e

x

−

¹

e

x

−

^x

−

^x

=

^e

x

−

¹

−

^x^e^x

+

^x²

e

x

−

^x

=

(46)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

^e

x

−

¹

e

x

−

^x

−

^x

=

^e

x

−

¹

−

^x^e^x

+

^x²

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) +

^x²

−

¹

e

x

−

^x

=

(47)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

^e

x

−

¹

e

x

−

^x

−

^x

=

^e

x

−

¹

−

^x^e^x

+

^x²

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) +

^x²

−

¹

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) + (

^x

+

¹

)(

^x

−

¹

)

e

x

−

^x

=

(48)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

^e

x

−

¹

e

x

−

^x

−

^x

=

^e

x

−

¹

−

^x^e^x

+

^x²

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) +

^x²

−

¹

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) + (

^x

+

¹

)(

^x

−

¹

)

e

x

−

^x

=

^e

x

(

¹

−

^x

) − (

^x

+

¹

)(

¹

−

^x

)

e

x

−

^x

=

(49)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

^e

x

−

¹

e

x

−

^x

−

^x

=

^e

x

−

¹

−

^x^e^x

+

^x²

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) +

^x²

−

¹

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) + (

^x

+

¹

)(

^x

−

¹

)

e

x

−

^x

=

^e

x

(

¹

−

^x

) − (

^x

+

¹

)(

¹

−

^x

)

e

x

−

^x

=

(

¹

−

^x

) (

^e^x

−

^x

−

¹

)

=

(50)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

2. Soit (D) la droite d'équation y

=

^x.

a. Montrer que pour tout x de [0; 1℄,

f

(

^x

) −

^x

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

e

x

−

^x ^.

f

(

^x

) −

^x

=

^e

x

−

¹

e

x

−

^x

−

^x

=

^e

x

−

¹

−

^x^e^x

+

^x²

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) +

^x²

−

¹

e

x

−

^x

=

e

x

(

¹

−

^x

) + (

^x

+

¹

)(

^x

−

¹

)

e

x

−

^x

=

^e

x

(

¹

−

^x

) − (

^x

+

¹

)(

¹

−

^x

)

e

x

−

^x

=

(

¹

−

^x

) (

^e^x

−

^x

−

¹

)

= (

¹

−

^x

)

^g

(

^x

)

(51)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la

ourbe

( C )

^sur ^[0^; ^1℄.

La positionrelative de ladroite (D) et de laourbe

( C )

^sur

[0; 1℄ estdonnée par lesigne de ladiérene préédente :

f

(

^x

) −

^x^.

(52)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la

ourbe

( C )

^sur ^[0^; ^1℄.

La positionrelative de ladroite (D) et de laourbe

( C )

^sur

[0; 1℄ estdonnée par lesigne de ladiérene préédente :

f

(

^x

) −

^x^.

Or on a vu sur [0; 1℄, g

(

^x

) >

⁰^et ^e^x

−

^x

>

¹

>

^0.

(53)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la

ourbe

( C )

^sur ^[0^; ^1℄.

La positionrelative de ladroite (D) et de laourbe

( C )

^sur

[0; 1℄ estdonnée par lesigne de ladiérene préédente :

f

(

^x

) −

^x^.

Or on a vu sur [0; 1℄, g

(

^x

) >

⁰^et ^e^x

−

^x

>

¹

>

^0.^Comme ^de

plus 1

−

^x

>

^0, ^tous^les ^termes ^du ^quotient ^sont ^positifs,

(54)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la

ourbe

( C )

^sur ^[0^; ^1℄.

La positionrelative de ladroite (D) et de laourbe

( C )

^sur

[0; 1℄ estdonnée par lesigne de ladiérene préédente :

f

(

^x

) −

^x^.

Or on a vu sur [0; 1℄, g

(

^x

) >

⁰^et ^e^x

−

^x

>

¹

>

^0.^Comme ^de

plus 1

−

^x

>

^0, ^tous^les ^termes ^du ^quotient ^sont ^positifs,^don

f

(

^x

) −

^x

>

^0,

(55)

Exerie2

Exerie3

PartieA:

PartieB:

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la

ourbe

( C )

^sur ^[0^; ^1℄.

La positionrelative de ladroite (D) et de laourbe

( C )

^sur

[0; 1℄ estdonnée par lesigne de ladiérene préédente :

f

(

^x

) −

^x^.

Or on a vu sur [0; 1℄, g

(

^x

) >

⁰^et ^e^x

−

^x

>

¹

>

^0.^Comme ^de

plus 1

−

^x

>

^0, ^tous^les ^termes ^du ^quotient ^sont ^positifs,^don

f

(

^x

) −

^x

>

^0,^e ^qui ^signie^que ^la^ourbe

( C )

^est ^au ^dessus

de la droite(D).

(56)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

(57)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 1 :

(58)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 1 :

OA

2

= |

^z^A

|

²

=

²²

+

⁵²

=

²⁹^;

(59)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 1 :

OA

2

= |

^z^A

|

²

=

²²

+

⁵²

=

²⁹^;

AB

2

= |

^z^B

−

^z^A

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

−

²

+

⁵ⁱ

|

²

=

|

⁵

+

²ⁱ

|

²

=

²⁵

+

⁴

=

²⁹^;

(60)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 1 :

OA

2

= |

^z^A

|

²

=

²²

+

⁵²

=

²⁹^;

AB

2

= |

^z^B

−

^z^A

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

−

²

+

⁵ⁱ

|

²

=

|

⁵

+

²ⁱ

|

²

=

²⁵

+

⁴

=

²⁹^;

OB

2

= |

^z^B

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

|

²

=

⁷²

+

³²

=

49

+

⁹

=

^58.

(61)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 1 :

OA

2

= |

^z^A

|

²

=

²²

+

⁵²

=

²⁹^;

AB

2

= |

^z^B

−

^z^A

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

−

²

+

⁵ⁱ

|

²

=

|

⁵

+

²ⁱ

|

²

=

²⁵

+

⁴

=

²⁹^;

OB

2

= |

^z^B

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

|

²

=

⁷²

+

³²

=

49

+

⁹

=

^58.

D'une part AO

2

=

^AB²

⇐⇒

^AO

=

AB

⇐⇒

ÂBO êstîsoèle ênÂ^;

(62)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 1 :

OA

2

= |

^z^A

|

²

=

²²

+

⁵²

=

²⁹^;

AB

2

= |

^z^B

−

^z^A

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

−

²

+

⁵ⁱ

|

²

=

|

⁵

+

²ⁱ

|

²

=

²⁵

+

⁴

=

²⁹^;

OB

2

= |

^z^B

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

|

²

=

⁷²

+

³²

=

49

+

⁹

=

^58.

D'une part AO

2

=

^AB²

⇐⇒

^AO

=

AB

⇐⇒

ÂBO êstîsoèle ênÂ^;

+ = ⇐⇒

(63)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 1 :

OA

2

= |

^z^A

|

²

=

²²

+

⁵²

=

²⁹^;

AB

2

= |

^z^B

−

^z^A

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

−

²

+

⁵ⁱ

|

²

=

|

⁵

+

²ⁱ

|

²

=

²⁵

+

⁴

=

²⁹^;

OB

2

= |

^z^B

|

²

= |

⁷

−

³ⁱ

|

²

=

⁷²

+

³²

=

49

+

⁹

=

^58.

D'une part AO

2

=

^AB²

⇐⇒

^AO

=

AB

⇐⇒

ÂBO êstîsoèle ênÂ^;

+ = ⇐⇒

2 4 6

−

²

−

⁴

b b b

O

B

(64)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

=

(65)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

(66)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

(67)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

^i.

On a

|

^Z

| =

(68)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

^i.

On a

|

^Z

| =

^AO

AB

=

(69)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

^i.

On a

|

^Z

| =

^AO

AB

=

^1, ^soit ^AO ⁼^AB^;

(70)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

^i.

On a

|

^Z

| =

^AO

AB

=

^1, ^soit ^AO ⁼^AB^;

De plusarg

(

^Z

) =

(71)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

^i.

On a

|

^Z

| =

^AO

AB

=

^1, ^soit ^AO ⁼^AB^;

De plusarg

(

^Z

) = −−→

AB

, −−→

AO

= π

2

(72)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

^i.

On a

|

^Z

| =

^AO

AB

=

^1, ^soit ^AO ⁼^AB^;

De plusarg

(

^Z

) = −−→

AB

, −−→

AO

= π

2

e qui montre quel'angle

[

(73)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soient A

(

²

−

⁵ⁱ

)

^et ^B

(

⁷

−

³ⁱ

)

^. Proposition 1 : Le triangle OAB est retangle isoèle.

Méthode 2 :

Soit Z

=

^z^O

−

^z^A

z

B

−

^z^A

= −

²

+

⁵ⁱ

5

+

²ⁱ

=

ⁱ

(

²ⁱ

+

⁵

)

2i

+

⁵

=

^i.

On a

|

^Z

| =

^AO

AB

=

^1, ^soit ^AO ⁼^AB^;

De plusarg

(

^Z

) = −−→

AB

, −−→

AO

= π

2

e qui montre quel'angle

[

(74)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soit

(∆)

^l'ensemble ^des ^points ^M ^d'axe ^z ^telle

que

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

|

^.

Proposition 2 :

(∆)

^est ^une ^droite ^parallèle ^à

l'axe des réels.

(75)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soit

(∆)

^l'ensemble ^des ^points ^M ^d'axe ^z ^telle

que

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

|

^.

Proposition 2 :

(∆)

^est ^une ^droite ^parallèle ^à

l'axe des réels.

Soient A et Bles points d'axes respetives i et

−

^2i.

(76)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soit

(∆)

^l'ensemble ^des ^points ^M ^d'axe ^z ^telle

que

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

|

^.

Proposition 2 :

(∆)

^est ^une ^droite ^parallèle ^à

l'axe des réels.

Soient A et Bles points d'axes respetives i et

−

^2i.

On a

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

| ⇐⇒

(77)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soit

(∆)

^l'ensemble ^des ^points ^M ^d'axe ^z ^telle

que

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

|

^.

Proposition 2 :

(∆)

^est ^une ^droite ^parallèle ^à

l'axe des réels.

Soient A et Bles points d'axes respetives i et

−

^2i.

On a

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

| ⇐⇒

^AM ⁼^BM

⇐⇒

(78)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soit

(∆)

^l'ensemble ^des ^points ^M ^d'axe ^z ^telle

que

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

|

^.

Proposition 2 :

(∆)

^est ^une ^droite ^parallèle ^à

l'axe des réels.

Soient A et Bles points d'axes respetives i et

−

^2i.

On a

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

| ⇐⇒

^AM ⁼^BM

⇐⇒

^M

∈ ∆

(79)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soit

(∆)

^l'ensemble ^des ^points ^M ^d'axe ^z ^telle

que

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

|

^.

Proposition 2 :

(∆)

^est ^une ^droite ^parallèle ^à

l'axe des réels.

Soient A et Bles points d'axes respetives i et

−

^2i.

On a

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

| ⇐⇒

^AM ⁼^BM

⇐⇒

^M

∈ ∆

médiatrie de[AB℄.

(80)

Exerie1

Exerie2

Exerie3

Question2

Question3

Question4

Soit

(∆)

^l'ensemble ^des ^points ^M ^d'axe ^z ^telle

que

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

|

^.

Proposition 2 :

(∆)

^est ^une ^droite ^parallèle ^à

l'axe des réels.

Soient A et Bles points d'axes respetives i et

−

^2i.

On a

|

^z

−

ⁱ

| = |

^z

+

²ⁱ

| ⇐⇒

^AM ⁼^BM

⇐⇒

^M

∈ ∆

médiatrie de[AB℄. mais omme A et Bappartiennent à l'axe

des ordonnées, lamédiatrie de[AB℄ (d'équation y

= −

¹ ^est

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Soit (∆) l'ensemble des points M d'axe z telle

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