Mathématiques TermS
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Or, A et Asont deuxévénements inompatibles dontla
réunion est l'univers, don d'après laformuledes probabilités
totales :
( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Or, A et Asont deuxévénements inompatibles dontla
réunion est l'univers, don d'après laformuledes probabilités
totales :
( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Or, A et Asont deuxévénements inompatibles dontla
réunion est l'univers, don d'après laformuledes probabilités
totales :
( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Or, A et Asont deuxévénements inompatibles dontla
réunion est l'univers, don d'après laformuledes probabilités
totales :
( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Or, A et Asont deuxévénements inompatibles dontla
réunion est l'univers, don d'après laformuledes probabilités
totales :
( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Or, A et Asont deuxévénements inompatibles dontla
réunion est l'univers, don d'après laformuledes probabilités
totales :
( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )
Propriété
Si A et B sontdeux événements indépendants alors
A et B sont indépendants.
Démonstration (ROC)
A et B indépendants, don : P
(
A∩
B) =
P(
A) ×
P(
B)
.Or, A et Asont deuxévénements inompatibles dontla
réunion est l'univers, don d'après laformuledes probabilités
totales :
( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )
On onsidère dans l'ensemble des nombres
omplexes, l'équation suivante :
(E) z
3
+
2z2−
16=
0.
1) Montrer que 2est solution de(E), puis que (E) peut
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E).
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
et il existedon trois réels a
,
b,
tels que:z
3
+
2z2−
16= (
z−
2)
az2+
bz+
.
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
et il existedon trois réels a
,
b,
tels que:z
3
+
2z2−
16= (
z−
2)
az2+
bz+
.
En omparant lestermes deplus haut degré on endéduit que
a
=
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
et il existedon trois réels a
,
b,
tels que:z
3
+
2z2−
16= (
z−
2)
az2+
bz+
.
En omparant lestermes deplus haut degré on endéduit que
a
=
1; en omparant lestermes onstants ontrouve que
=
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
et il existedon trois réels a
,
b,
tels que:z
3
+
2z2−
16= (
z−
2)
az2+
bz+
.
En omparant lestermes deplus haut degré on endéduit que
a
=
1; en omparant lestermes onstants ontrouve que
=
8. On a don:3
+
2− = ( − )
2+ +
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
et il existedon trois réels a
,
b,
tels que:z
3
+
2z2−
16= (
z−
2)
az2+
bz+
.
En omparant lestermes deplus haut degré on endéduit que
a
=
1; en omparant lestermes onstants ontrouve que
=
8. On a don:3
+
2− = ( − )
2+ +
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
et il existedon trois réels a
,
b,
tels que:z
3
+
2z2−
16= (
z−
2)
az2+
bz+
.
En omparant lestermes deplus haut degré on endéduit que
a
=
1; en omparant lestermes onstants ontrouve que
=
8. On a don:3
+
2− = ( − )
2+ +
1) Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'érire sous la forme :
(
z−
2)
az2+
bz+
=
0,où a
,
b et sont trois réels que l'on déterminera.On a :2
3
+
2×
22−
16=
8+
8−
16=
0qui signieque 2estsolution de (E). Le polynme estdon fatorisable par
(
z−
2)
et il existedon trois réels a
,
b,
tels que:z
3
+
2z2−
16= (
z−
2)
az2+
bz+
.
En omparant lestermes deplus haut degré on endéduit que
a
=
1; en omparant lestermes onstants ontrouve que
=
8. On a don:3
+
2− = ( − )
2+ +
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique.
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
02) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
42−
4×
1×
8=
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
42−
4×
1×
8= −
16=
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
42−
4×
1×
8= −
16= (
4i)
2.2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
42−
4×
1×
8= −
16= (
4i)
2.L'équation admet deux solutionsomplexes onjuguées :
=
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
42−
4×
1×
8= −
16= (
4i)
2.L'équation admet deux solutionsomplexes onjuguées :
= −
4−
4i= − − =
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
42−
4×
1×
8= −
16= (
4i)
2.L'équation admet deux solutionsomplexes onjuguées :
= −
4−
4i= − − = −
4+
4i= − +
2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous
forme algébrique. Ona don
(
E) ⇐⇒ (
z−
2)
z2+
4z+
8=
0⇐⇒
z−
2=
0 ou z
2
+
4z+
8=
0.On retrouve lasolution 2;d'autre part :
Résolvons l'équation : z
2
+
4z+
8=
0On alule le disriminant :
∆ =
42−
4×
1×
8= −
16= (
4i)
2.L'équation admet deux solutionsomplexes onjuguées :
= −
4−
4i= − − = −
4+
4i= − +
Plaer les points A, B
et D d'axes respe-
tives
z
A
= −
2−
2i,
zB=
2 etz
D
= −
2+
2i.
Plaer les points A, B
et D d'axes respe-
tives
z
A
= −
2−
2i,
zB=
2 etz
D
= −
2+
2i.
O− →
u
−
→
v
Plaer les points A, B
et D d'axes respe-
tives
z
A
= −
2−
2i,
zB=
2 etz
D
= −
2+
2i.
O− →
u
−
→
v
Plaer les points A, B
et D d'axes respe-
tives
z
A
= −
2−
2i,
zB=
2 etz
D
= −
2+
2i.
O− →
u
−
→
v
b
B
Plaer les points A, B
et D d'axes respe-
tives
z
A
= −
2−
2i,
zB=
2 etz
D
= −
2+
2i.
O− →
u
−
→
v
b
B
b
D
Plaer les points A, B
et D d'axes respe-
tives
z
A
= −
2−
2i,
zB=
2 etz
D
= −
2+
2i.
O− →
u
−
→
v
b
B
b
D
b
CCaluler l'axe z
C
du point C tel que
ABCD soit un paral-
lélogramme. Plaer
C.
O
− →
u
−
→
v
Caluler l'axe z
C
du point C tel que
ABCD soit un paral-
lélogramme. Plaer
C.
O
− →
u
−
→
v
b
B
b
D
Caluler l'axe z
C
du point C tel que
ABCD soit un paral-
lélogramme. Plaer
C.
ABCD est un parallélo-
grammesietseulementsi
−−→
AB
= −−→
DC
⇐⇒
O
− →
u
−
→
v
b
B
b
D
b
CCaluler l'axe z
C
du point C tel que
ABCD soit un paral-
lélogramme. Plaer
C.
ABCD est un parallélo-
grammesietseulementsi
−−→
AB
= −−→
DC
⇐⇒
z
B
−
zA=
zC−
zD⇐⇒
O
− →
u
−
→
v
b
B
b
D
b
CCaluler l'axe z
C
du point C tel que
ABCD soit un paral-
lélogramme. Plaer
C.
ABCD est un parallélo-
grammesietseulementsi
−−→
AB
= −−→
DC
⇐⇒
z
B
−
zA=
zC−
zD⇐⇒
= − + =
O
− →
u
−
→
v
b
B
b
D
b
CCaluler l'axe z
C
du point C tel que
ABCD soit un paral-
lélogramme. Plaer
C.
ABCD est un parallélo-
grammesietseulementsi
−−→
AB
= −−→
DC
⇐⇒
z
B
−
zA=
zC−
zD⇐⇒
= − + =
O
− →
u
−
→
v
b
B
b
D
b
COn dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
=
On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
=
On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
= (
n+
1)
22 n
×
22 n
n 2
=
On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
= (
n+
1)
22 n
×
22 n
n 2
=
n
+
1n
2×
12 .
On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
= (
n+
1)
22 n
×
22 n
n 2
=
n
+
1n
2×
12 .
Or n
+
1n
=
On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
= (
n+
1)
22 n
×
22 n
n 2
=
n
+
1n
2×
12 .
Or n
+
1n
=
1+
1n
et
lim
n
→ + ∞
1
n
=
0,On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
= (
n+
1)
22 n
×
22 n
n 2
=
n
+
1n
2×
12 .
Or n
+
1n
=
1+
1n
et
lim
n
→ + ∞
1
n
=
0, donlim
n
→ + ∞
n
+
1n
=
1On dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
= (
n+
1)
22 n
×
22 n
n 2
=
n
+
1n
2×
12 .
Or n
+
1n
=
1+
1n
et
lim
n
→ + ∞
1
n
=
0, donlim
n
→ + ∞
n
+
1n
=
1 etOn dénit, pour tout entier naturel n
>
0, la suite(
un)
de nombres réels stritement positifs par u
n
=
n2
2 n
Pour tout entier naturel n
>
0, on pose vn=
un+
1u
n
a) Montrer que
lim
n
→ + ∞
v
n
=
12
v
n
=
(
n+
1)
22 n
+
1n 2
2 n
= (
n+
1)
22
n
+
1×
2n
n 2
= (
n+
1)
22 n
×
22 n
n 2
=
n
+
1n
2×
12 .
Or n
+
1n
=
1+
1n
et
lim
n
→ + ∞
1
n
=
0, donlim
n
→ + ∞
n
+
1n
=
1 etb) Montrer que pour tout entier naturel n
>
0,
vn>
1
2
Rappel : v
n
=
n
+
1n
2×
12
b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
0,
vn>
1
2
Rappel : v
n
=
n
+
1n
2×
12
Pour tout naturel n> 0,
n
+
1>
nb) Montrer que pour tout entier naturel n
>
0,
vn>
1
2
Rappel : v
n
=
n
+
1n
2×
12
Pour tout naturel n> 0,
n
+
1>
nd'où n
+
1n
>
1b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
0,
vn>
1
2
Rappel : v
n
=
n
+
1n
2×
12
Pour tout naturel n> 0,
n
+
1>
nd'où n
+
1n
>
1Ainsi :
n
+
1n
2>
1b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
0,
vn>
1
2
Rappel : v
n
=
n
+
1n
2×
12
Pour tout naturel n> 0,
n
+
1>
nd'où n
+
1n
>
1Ainsi :
n
+
1n
2>
1) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2×
12
<
3
4
⇐⇒
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2×
12
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2<
3
2
⇒
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2×
12
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2<
3
2
⇒
n
+
1n
<
r
3
2
⇐⇒
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2×
12
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2<
3
2
⇒
n
+
1n
<
r
3
2
⇐⇒
n+
1<
r
3
2
n
⇐⇒
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2×
12
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2<
3
2
⇒
n
+
1n
<
r
3
2
⇐⇒
n+
1<
r
3
2
n
⇐⇒
nr
3
2
−
1!
>
1
⇐⇒
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2×
12
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2<
3
2
⇒
n
+
1n
<
r
3
2
⇐⇒
n+
1<
r
3
2
n
⇐⇒
nr
3
2
−
1!
>
1
⇐⇒
n>
1
q
−
≈
) Trouver le plus petit entier N tel que si
n
>
N,
vn<
3
4 .
v
n
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2×
12
<
3
4
⇐⇒
n
+
1n
2<
3
2
⇒
n
+
1n
<
r
3
2
⇐⇒
n+
1<
r
3
2
n
⇐⇒
nr
3
2
−
1!
>
1
⇐⇒
n>
1
q
−
≈
4,
44.Il faut prendre N=
5.d) En déduire que si n
>
N, alors un+
1<
3
4 u
n .
d) En déduire que si n
>
N, alors un+
1<
3
4 u
n .
On vient de démontrer quepourn
≥
5,alorsv
n
<
3
4
⇐⇒
un+
1u
n
<
3
4
d) En déduire que si n
>
N, alors un+
1<
3
4 u
n .
On vient de démontrer quepourn
≥
5,alorsv
n
<
3
4
⇐⇒
un+
1u
n
<
3
4
⇐⇒
un+
1<
3
4 u
n .
On pose pour tout entier naturel
n
>
5,
Sn=
u5+
u6+ . . . +
un.a) Montrer par réurrene que pour tout entier naturel
n
>
5,
u
n
6
3
4
n−
5u
5
.
•
Initialisation•
Initialisation Pour n=
5,on a•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
Hérédité•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
HéréditéSupposons quepourn
∈ N
, n>
5 on aitun6
3
4
n−
5u
5 .
•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
HéréditéSupposons quepourn
∈ N
, n>
5 on aitun6
3
4
n−
5u
5 .
On a u
n
+
1<
3
4 u
n
•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
HéréditéSupposons quepourn
∈ N
, n>
5 on aitun6
3
4
n−
5u
5 .
On a u
n
+
1<
3
4 u
n soit u
n
+
16
3
4
×
3
4
n−
5u
5
•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
HéréditéSupposons quepourn
∈ N
, n>
5 on aitun6
3
4
n−
5u
5 .
On a u
n
+
1<
3
4 u
n soit u
n
+
16
3
4
×
3
4
n−
5u
5
ouenore
u
n
+
16
3
4
n+
1−
5 u5
•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
HéréditéSupposons quepourn
∈ N
, n>
5 on aitun6
3
4
n−
5u
5 .
On a u
n
+
1<
3
4 u
n soit u
n
+
16
3
4
×
3
4
n−
5u
5
ouenore
u
n
+
16
3
4
n+
1−
5 u5
soit enn u
n
+
16
3
4
n−
4u
5 .
L'hérédité estdémontrée.
•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
HéréditéSupposons quepourn
∈ N
, n>
5 on aitun6
3
4
n−
5u
5 .
On a u
n
+
1<
3
4 u
n soit u
n
+
16
3
4
×
3
4
n−
5u
5
ouenore
u
n
+
16
3
4
n+
1−
5 u5
soit enn u
n
+
16
3
4
n−
4u
5 .
L'hérédité estdémontrée.
•
InitialisationPour n
=
5,on a u5<
3
4 u
5
. La relationest vraie au rang 5.
•
HéréditéSupposons quepourn
∈ N
, n>
5 on aitun6
3
4
n−
5u
5 .
On a u
n
+
1<
3
4 u
n soit u
n
+
16
3
4
×
3
4
n−
5u
5
ouenore
u
n
+
16
3
4
n+
1−
5 u5
soit enn u
n
+
16
3
4
n−
4u
5 .
L'hérédité estdémontrée.
b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
5,S
n
6
"
1
+
34
+
3
4
2+ · +
3
4
n−
5#
u
5
.
b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
5,S
n
6
"
1
+
34
+
3
4
2+ · +
3
4
n−
5#
u
5
.
On a u
5
6
u5,
u66
3
4 u
5
, . . . ,
un6
3
4
n−
5u
5 .
b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
5,S
n
6
"
1
+
34
+
3
4
2+ · +
3
4
n−
5#
u
5
.
On a u
5
6
u5,
u66
3
4 u
5
, . . . ,
un6
3
4
n−
5u
5 .
En sommant toutes es inégalités onobtient :
b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
5,S
n
6
"
1
+
34
+
3
4
2+ · +
3
4
n−
5#
u
5
.
On a u
5
6
u5,
u66
3
4 u
5
, . . . ,
un6
3
4
n−
5u
5 .
En sommant toutes es inégalités onobtient :
S
n
6
u5+
34 u
5
+ · · · +
3
4
n−
5u
5
ouaprès fatorisation :
b) Montrer que pour tout entier naturel n
>
5,S
n
6
"
1
+
34
+
3
4
2+ · +
3
4
n−
5#
u
5
.
On a u
5
6
u5,
u66
3
4 u
5
, . . . ,
un6
3
4
n−
5u
5 .
En sommant toutes es inégalités onobtient :
S
n
6
u5+
34 u
5
+ · · · +
3
4
n−
5u
5
ouaprès fatorisation :
En déduire que pour tout entier naturel
n
>
5,
Sn6
4u5 .En déduire que pour tout entier naturel
n
>
5,
Sn6
4u5 .S
n
6
u51
+
34
+ · · · +
3
4
n−
5!
.
En déduire que pour tout entier naturel
n
>
5,
Sn6
4u5 .S
n
6
u51
+
34
+ · · · +
3
4
n−
5!
.
La parenthèse est la sommedes
(
n−
5)
premiers termes delasuite géométrique de premier terme 1et de raison 3
4 .
S
n
6
u5 1−
34
n−
41
−
34
=
4u5 1−
3
4
n−
4!
.
En déduire que pour tout entier naturel
n
>
5,
Sn6
4u5 .S
n
6
u51
+
34
+ · · · +
3
4
n−
5!
.
La parenthèse est la sommedes
(
n−
5)
premiers termes delasuite géométrique de premier terme 1et de raison 3
4 .
S
n
6
u5 1−
34
n−
41
−
34
=
4u5 1−
3
4
n−
4!
.
En déduire que pour tout entier naturel
n
>
5,
Sn6
4u5 .S
n
6
u51
+
34
+ · · · +
3
4
n−
5!
.
La parenthèse est la sommedes
(
n−
5)
premiers termes delasuite géométrique de premier terme 1et de raison 3
4 .
S
n
6
u5 1−
34
n−
41
−
34
=
4u5 1−
3
4
n−
4!
.
Avant le début des travaux deonstrution d'uneautoroute,
une équiped'arhéologie préventive proède à des sondages
suessifs en des points régulièrement espaés surle terrain.
Lorsque len-ième sondage donnelieu à ladéouverte de
vestiges, il estdit positif.
L'évènement : le n-ième sondageest positif est noté V
n ,
on note p
n
la probabilité del'évènement V
n .
L'expériene aquise au ours de e type d'investigation
permet deprévoirque :
•
siun sondage estpositif, le suivanta uneprobabilité,
a) Caluler les probabilités des évènements suivants :
1
A : les 2 e
et 3 e
sondages sont positifs;
2
B : les 2 e
et 3 e
sondages sont négatifs.
a) Caluler les probabilités des évènements suivants :
1
A : les 2 e
et 3 e
sondages sont positifs;
2
B : les 2 e
et 3 e
sondages sont négatifs.
A : D'après l'énoné p
(
V2) =
0,
6eta) Caluler les probabilités des évènements suivants :
1
A : les 2 e
et 3 e
sondages sont positifs;
2
B : les 2 e
et 3 e
sondages sont négatifs.
A : D'après l'énoné p
(
V2) =
0,
6et pV2(
V3) =
0,
6, dona) Caluler les probabilités des évènements suivants :
1
A : les 2 e
et 3 e
sondages sont positifs;
2
B : les 2 e
et 3 e
sondages sont négatifs.
A : D'après l'énoné p
(
V2) =
0,
6et pV2(
V3) =
0,
6, donp
(
V2∩
V3) =
a) Caluler les probabilités des évènements suivants :
1
A : les 2 e
et 3 e
sondages sont positifs;
2
B : les 2 e
et 3 e
sondages sont négatifs.
A : D'après l'énoné p
(
V2) =
0,
6et pV2(
V3) =
0,
6, donp
(
V2∩
V3) =
p(
V2) ×
pV2(
V3) =
a) Caluler les probabilités des évènements suivants :
1
A : les 2 e
et 3 e
sondages sont positifs;
2
B : les 2 e
et 3 e
sondages sont négatifs.
A : D'après l'énoné p
(
V2) =
0,
6et pV2(
V3) =
0,
6, donp
(
V2∩
V3) =
p(
V2) ×
pV2(
V3) =
0,
6×
0,
6a) Caluler les probabilités des évènements suivants :
1
A : les 2 e
et 3 e
sondages sont positifs;
2
B : les 2 e
et 3 e
sondages sont négatifs.
A : D'après l'énoné p
(
V2) =
0,
6et pV2(
V3) =
0,
6, donp
