Fonctions de référence Further functions

Seconde européenne

Exercices de mathématiques

Chapitre 8

Fonctions de référence Further functions

Foxtrot, by BillAmond

À la fin de ce chapitre, vous devez :

• connaître les représentations graphiques, tableaux de signe et variations des fonctions affines, carrés, inverses ;

• connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes ;

• identifier l’ensemble de définition d’une fonction homo- graphique ;

• résoudre une inéquation à l’aide d’un tableau de signe.

Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine

Année scolaire 2010/2011

Fonctions affines et linéaires

8.1

^{Dans la liste suivante, reonnaître les fontions anes et les fontions linéaires.}

Vérier la réponse en traçant sur la alulatrie la représentation graphique de haque

fontion.

1

^.

f 1 (x) = 3x + 1

^;

2

^.

f 2 ( x ) = − x

^;

3

^.

f 3 (x) = 25

^;

4

^.

f 4 (x) = 2x ² − 5

^;

5

^.

f 5 (x) = 9 x

7

^;

6

^.

f 6 (x) = − 2x + √ 2

^;

7

^.

f 7 (x) = 4x − 6

2

^;

8

^.

f 8 (x) = 2

4 x − 6

^;

9

^.

f 9 (x) = (2x − 1) ²

^;

10

^.

f 10 (x) = 2x − 1 ²

^;

11

^.

f 11 ( x ) = √

3 x + 2

^;

12

^.

f 12 ( x ) = √

3 x + √ 2

^.

8.2

^{Variations et signe des fontions anes}

Partie A – Un cas particulier

On onsidère dans ette partiela fontion ane défnie sur R par

f (x) = 2x − 5

^.

1

^{. Traer laourbede}

f

^{àlaalulatrie.Quellesembleêtrelesens devariationde}

f

^?

2

^{. Soient}

a

^et

b

^{deux réels tels que}

a < b

^.

a

^{. Quel est le signe de la diérene}

a − b

^?

b

^{. Puisque}

f (x) = 2x − 5

^{, le nombre}

f(a)

^{est égal à}

2a − 5

^.

En remplaant

f(a)

^et

f(b)

^{par leurs} expressions, aluler et fatoriser l'ex- pression

f ( a ) − f ( b )

^.

c

^{. Endéduirelesignede}

f ( a ) − f ( b )

^{,puis en déduirel'ordredes nombres}

f ( a )

^et

f(b)

^.

d

^{. Justieralors le sens de variationde}

f

^.

3

^{. Déterminer lesvaleurs de}

x

^{qui annulent}

f (x)

^.

4

^{. Enutilisantlaquestionpréédenteetlesvariationsde}

f

^{,déterminerlesignede}

f (x)

en fontion des valeurs de

x

^{.On donnera laréponse sous formede phrasepuis sous}

formede tableaude signe.

Partie B – Le cas général

1

^{. Entraçantleurs}représentationsgraphiques àlaalulatrie,observerlesvariations des fontionsanes dénies i-dessous.

f 1 (x) = − 3x + 2 f 2 (x) = x + 4 f 3 (x) = − ¹ 2 x − ⁵ 2

f 4 ( x ) = − ¹² 7 x f 5 ( x ) = 5 x − 5 f 6 ( x ) = ¹ ₃ x + 2

Dans lasuite, on onsidére une fontion ane quelonquedénie par

f (x) = mx + p

^.

2

^{. En s'appuyant sur les résultats de la question préédente, proposer une méthode}

simple pour déterminer les variationsde

f

^.

3

^{. Soient}

a

^et

b

^{deux réels tels que}

a < b

^.

a

^{. Quel est le signe de la diérene}

a − b

^?

b

^{. Étudier lesigne de la diérene}

f (a) − f(b)

^{en fontiondes valeurs de}

m

^.

c

^{. En utilisant lerésultat de laquestion préédente, ordonner les images}

f ( a )

^et

f(b)

^{en fontion des valeurs de}

m

^.

d

^{. Conlureen rédigeantun théorème onernant lesens de variationd'unefon-}

tion ane quelonque.

4

^{. Expliquer pourquoiil ne peut exister qu'une uniquevaleur de}

x

^{telle que}

f (x) = 0

^.

5

^{. Pour haune des fontionsanesde laquestion1deettepartie,alulerlavaleur}

de

x

^annulant

f(x)

^.

6

^{. Dresser un tableaude signe pour haune des fontions de la question 1.}

7

^{. Proposer une méthode générale pour déterminerle signe d'une fontion ane.}

8.3

^{Déterminer lesens de variationde haune des fontions suivantes :}

f (x) = 7 − x ; g (x) = ( √

2 − 1)x ; h(x) = − 2 x + 5 3 i ( x ) = − 1

3 (2 − x ) ; j ( x ) = − x 1 − √

2 ; k ( x ) = 5

8.4

^{On onsidère lafontion ane déniesur R par}

f ( x ) = − 5 x + 2

^.

1

^{. Quel est lesens de variationde ette fontion?}

2

^{. Soient}

a

^et

b

^{deux réelstelsque}

a < b

^{. Enétudiantlesignede}

f(a) − f(b)

^,retrouver

le sens de variationde

f

^.

8.5

^{On donne i-dessous}

5

^{fontions anes :}

f(x) = 4x − 2 ; g(x) = 5 ; h(x) = 2x ; i(x) = − 2x + 2 ; j (x) = 4 − 2x 1

^{. Dresser letableau de variation de haune de es fontions.}

2

^{. Dresser letableau de signe de haune de es fontions.}

3

^{. Dans un repère} orthonormal d'unité

1

^{m, traer les} représentations graphiques de es fontions.

8.6

^{Two main} temperature units are used in everyday life, the Celsius and Farenheit degrees. The formulstoswith fromone tothe otherisasfollows.If

x

^isthetemperature in Celsius,then the temperaturein Farenheit is

f ( x ) = 9

5 x + 288 5 .

1

^{. Turn intofarenheitdegrees thefollowing}temperatures inCelsius:

0

^,

5

^,

20

^,

35

^,

100

^.

Givethe resultsin atable of values.

2

^{. What kind of funtion is}

f

^?

3

^{. Prove that the higher the} temperature in Celsius, the higher the temperature in Farenheit.

4

^{. Find the Celsius} temperature that gives aFarenheit temperature equalto

0

^.

5

^{. Study the sign of the funtion}

f

^.

6

^{. Is it oftenthat we get, in Frane,a negativeFarenheit} temperature?

8.7

^{Unepersonne a sousritàun abonnement de téléphoniemobile.Lemontantqu'elle}

doit payer haque mois est alulé de la façon suivante. Une minute de ommuniation

est faturée 40 entimes d'euros. Si le total de sa onsommation mensuelle est inférieur

à 18 euros, la personne paye 18 euros. Sinon, elle paye le montant de sa onsommation

eetive.

On onsidère la fontion dénie sur l'ensemble

[0 , 100[

^par

f ( x ) = 0 , 4 x − 18

^{. Toutes les}

réponses de e exerie devront être soigneusement justiées.

1

^{. Utiliserlafontion}

f

^{pour traduirelemode de aluldu montantpayéhaquemois}

par l'abboné.

2

^{. Quelles sontles variationsde lafontion}

f

^?

3

^{. Combien l'équation}

f ( x ) = 0

^{admet-elle de solutions? Les}déterminer.

4

^{. Étudier lesigne de lafontion}

f

^.

5

^{. Préiser le montant payé pour les temps de} ommuniation mensuels suivants : 10 minutes, 20minutes, 40 minutes, 1heure, 1heure et 30minutes, 2 heures.

8.8

^{In this exerise, we lookat the problemof urreny exhange.}

Partie A – The official exchange rate

As of April 6,2010, one euro was equivalentto

0.88

^UKpounds.

1

^{. Convert the followingamountsinto}

U K

^{pounds :}

5

^euros,

20

^{euros and}

75

^euros.

2

^{. Find out the formulaof the funtion}

p

^{that onverts euros into UKpounds.}

3

^{. What are the variations of the funtion}

p

^{? Use this result to ll out the following}

sentene : The ...euros youonvert, the ...pounds you get.

Partie B – Two bank services

A bankisoering aurrenyexhangeservie.They harge a

5

^{eurosommissionforany}

operation, and oera rate of

0.85

^{pounds for}

1

^euro.

1

^{. In that bank, how many poundswould you get for}

5

^euros,

20

^{euros and}

75

^euros?

2

^{. Findthe formulaof thefuntion}

b 1

^{givingthe amountinUKpoundsyouwould get}

for

x

^euros.

3

^{. What are the variationsof the funtion}

b 1

^?

4

^{. Find out the value of}

x

^{suh that}

b 1 (x) = 0

^{and study the sign of}

b 1 (x)

^{over the}

interval

[0, 100]

^.

Another bank isoering a rate of

0 . 75

^{euros, with noommission.}

5

^{. In that bank, how many poundswould you get for}

5

^euros,

20

^{euros and}

75

^euros?

6

^{. Findthe formulaof thefuntion}

b 2

^{givingthe amountinUKpoundsyouwould get}

for

x

^euros.

7

^{. What are the variationsof the funtion}

b 2

^?

8

^{. Study the sign of}

b 2 ( x )

^{overthe interval}

[0 , 100]

^.

Partie C – Comparing the two banks

A UK visitor has to deide what bank to hoose for a urreny exhange operation. To

do so,let's dene a funtion

f

^{by the formula}

f (x) = b 2 (x) − b 1 (x).

1

^{. Find the formula for}

f

^.

2

^{. Explain how funtion}

f

^{an be used to help the visitordeide what bank to goto.}

3

^{. What are the variations of the funtion}

f

^{? What does it mean for the servies}

oered by the two banks?

4

^{. Find the solution of the equation}

f ( x ) = 0

^{. What does it mean for the servies}

oered by the two banks?

5

^{. Help the visitordeide what bank he should goto.}

8.9

^{Deux amis déident de partir en vaanes ave une vieille voiture. A leur départ,}

le ompteur indique un kilométrage total de 285km. Ils se rendent ompte alors que e

kilométrage diminue au lieu d'augmenter! Ils se posent alors la question suivantes : en

onsidérant qu'ils roulent à une vitesse moyenne de 60 km/h, au bout de ombien de

temps de onduite laompteur indiquera-t-il0?

1

^{. Quelle fontion ane}

f

^{peut-être utilisée pour résoudre e problème?}

2

^{. Déterminer lesvariations de}

f

^{.Ces variationssont-elles ohérentes ave l'énoné?}

3

^{. Résoudre leproblème initialen utilisantla fontion.}

8.10

^{Résoudre haune des} inéquations suivantes :

1

^.

(2 x + 1)( − 5 − x )( x − 7) 6 0

^.

2

^.

− 5

x(x − 1) > 0

^.

8.11

^{Etudier lesigne de haune des} expressions suivantes après avoirfatorisé ou mis au mêmedénominateur :

1

^.

(2x − 1)(2 + x) + (2x − 1) ²

^.

2

^.

x

x − 4 − 2 3

^.

x ² − (2x + 1) ²

8.12

^{On rappelle qu'une raine arrée n'existe que si} l'expression sous le radial est positif.

Pour quelle valeurde

x

l'expression

r 2 x + 3

3x − 2

existe-elle?

Fonctions polynômes de degré 2

8.13

^{La fontion arré}

Dansetexerie,ons'intéresseàlaplus simpledesfontionsduseonddegré,lafontion

arré dénie par

f(x) = x ² .

1

^. Déterminer, sans la alulatrie,les images des entiers de l'intervalle

[ − 5; 5]

^{par la}

fontion

f

^{et exposer les résultatsdans un tableaude valeurs.}

2

^{. Traer à la alulatrie la ourbe} représentative de la fontion

f

^{sur l'intervalle}

[ − 3; 3]

^{. Quelles semblent être lesvariationsde ette fontion?}

3

^{. Dans ette question nous allons démontrer que les variations de la fontion arré}

sontbienelles observées préédemment.Pour ela,onsidérons deuxnombresréels

a

^et

b

^{tels que}

a < b

^.

a

^{. Quel est le signe de la diérene}

a − b

^?

b

^{. Quellessont lesimages de}

a

^et

b

^{par lafontion}

f

^?

c

^{. Fatoriserla diérene}

f ( a ) − f ( b )

^.

d

^{. Supposons que}

a

^et

b

^{soient tous les deux positifs. Quel est alors le signe de}

a + b

^{etelui de}

f (a) − f (b)

^{? Endéduire lesvariationsde}

f

^{sur R}

⁺

^.

e

^{. Supposons que}

a

^et

b

^{soient tous les deux négatifs. Quel est alors le signe de}

a + b

^{etelui de}

f ( a ) − f ( b )

^{? Endéduire lesvariationsde}

f

^{sur R}

⁻

^.

f

^{. Conlure en dressant le tableaude variationsde}

f

^{sur R.}

4

^{. Soit}

a

^{un réelnon nul.Comparer lesimages}

f (a)

^et

f ( − a)

^{, puis}représenter lasitu- ation sur un graphique. Quellepropriété ela implique-t-ilpour laourbereprésen-

tative de la fontion

f

^.

5

^{. Traer la ourbe} représentative de la fontion à l'éhelle 2m pour une unité en absisse et1m pour une unité en ordonnée.

6

^{. Résoudre} graphiquementles équations etinéquations suivantes.

x ² = 2

^;

x ² = 7

^;

x ² = − 1

^;

x ² < 6

^;

x ² > 1

^;

3 . 6 < x ²

^;

0 . 5 < x ² 6 5

^.

8.14

^{On onsidère lafontion arré déniepar}

f : x 7→ x ²

^.

1

^.

a

^{. Déterminerun intervalle} d'amplitude

10

^{sur lequel la fontion est roissante.}

b

^{. Déterminerun intervalle} d'amplitude

6

^{sur lequel la fontion est} déroissante.

c

^{. Déterminer un intervalle} d'amplitude

5

^{sur lequel le sens de variation de la}

fontion hange.

d

^{. Déterminerun intervalle}d'amplitude

7

^{sur lequel lafontion apour minimum}

0

^{et pour maximum}

16

^.

2

^.

a

^{. Donner lesextremums de}

f

^{sur l'intervalle}

I = [0, 5; 3]

^.

b

^{. Même question pour} l'intervalle

[ − 3; − 1]

^.

c

^{. Même question pour} l'intervalle

[ − 3; 2]

^.

8.15

^{Assoier àhaque armation (1à 4)sa justiation(5à 8):}

1

^{. Un arré est toujours positif.}

2

^.

( − 5, 2) ² > ( − 5, 1) ²

^.

3

^.

( − 9, 54) ² = 9, 54 ²

^.

4

^.

801 ² < 802 ²

^.

5

^.

f : x 7→ x ²

^est déroissante sur R

−

.

6

^.

f : x 7→ x ²

^{admet pour minimum}

0

^.

7

^.

f : x 7→ x ²

^{est roissantesur R}

⁺

^.

8

^.

f : x 7→ x ²

^{est paire.}

8.16

^{En justiant à l'aide des variations de la fontion arré, donner un enadrement}

de

x ²

^{dan haun des as suivants :}

1

^.

0 6 x 6 ¹ ₂

^.

2

^.

− 3 6 x 6 − 2

^.

3

^.

x >

√ 2 2

4

^.

− 2 6 x 6 1

^.

8.17

^On s'intéresse dans et exerieaux 12fontions dénies i-dessous.

• f 1 (x) = 3x + 1

^;

• f 2 ( x ) = x ² + 2 x + 2

^;

• f 3 (x) = 25

^;

• f 4 (x) = − 2x ² − 5

^;

• f 5 (x) = 3x ² + 2x + 5

^;

• f 6 ( x ) = − 2 √ x

^;

• f 7 (x) = − ¹ 2 x ² + 4x − 1

^;

• f 8 ( x ) = 2 4x − 6

^;

• f 9 (x) = (2x − 1) ²

^;

• f 10 ( x ) = 2 x − 1 ²

^;

• f 11 (x) = 2x ² − 2, 5x − 5

^;

• f 12 (x) = − ³ 2 x ² − x − 3

^.

1

^{. Repérer les fontionspolynmesdu seonddegré.}

2

^{. Pour haque fontion polynme du seond degré dans la liste i-dessus, répondre}

aux questions i-dessous.

a

^{. Traer la}représentation graphiqueàlaalulatriedans une fenêtrestandard, etfaire un rapide shéma.

b

^{. Déterminer}graphiquement les oordonnées du point extrêmal de laourbe.

c

^{. Dresserletableaudevariationsde lafontionsur} l'intervallevisiblesur l'éran de la alulatrie.

d

^{. Déterminer à l'aide de la alulatrie des valeurs approhées des} éventuelles solutionsde l'équations

f n (x) = 0

^.

e

^{. Dresser letableaude signes de lafontion sur} l'intervallevisiblesur l'érande laalulatrie.

3

^{. Quelles sont les propriétés ommunes à toutes les ourbes traées dans la question}

préédente?

4

^{. Proposer deux lassements des fontions polynmes du seond degré} préédentes, l'un onernant lesvariations,l'autre les solutionsde l'équation

f n ( x ) = 0

^.

8.18

^{Dans et exerie, on}s'intéresse à lafontion

f

^{dénie sur R par}

f (x) = x ² − 2x − 3

1

^{. Dérire lesvariationsde ette fontion, en justiant rapidement mais sans préiser}

auune valeur.

2

^{. Laformule}permet-ellededéterminerlenombredesolutionsdel'équation

f(x) = 0

^?

3

^{. Vérier que}

f(x) = (x + 1)(x − 3)

^etque

f (x) = (x − 1) ² − 4

^.

Nous avons maintenant trois formules diérentes pour la fontion

f

^{. Dans les questions}

suivantes, il faudra hoisir quelle formulepermet de répondre le plus failement.

4

^{. Calulerl'image de}

0

^{par la fontion}

f

^.

5

^{. Calulerl'image de}

− 1

^{par la fontion}

f

^.

6

^{. Calulerl'image de}

1

^{par la fontion}

f

^.

7

^{. Déterminer lessolutionsde l'équation}

f (x) = 0

^.

8

^{. Déterminer le minimum oule maximum de la fontion}

f

^{et préiser lavaleur de}

x

pour laquelle ilest atteint.

9

^{. Dresser letableau de signes de}

f

^{sur R.}

10

^{. Dresser letableau de variationsde}

f

^{sur R.}

8.19

^Ons'intéressedansetexerieaux12fontionspolynmesduseonddegrédénies i-dessous.

• g 1 (x) = − x ² − 1

^;

• g 2 (x) = − 2(x − ³ 2 ) ² + ⁹ ₂

^;

• g 3 ( x ) = ( x − 1)( x − 5)

^;

• g 4 (x) = (x − 2)(x + 2)

^;

• g 5 (x) = − x ² + 2x − 3

^;

• g 6 (x) = x ² − 4

^;

• g 7 ( x ) = − ( x ² + 1)

^;

• g 8 (x) = − (x − 1) ² − 2

^;

• g 9 (x) = (x − 3) ² − 4

^;

• g 10 (x) = − 2x ² + 6x

^;

• g 11 ( x ) = − x (2 x − 6)

^;

• g 12 (x) = x ² − 6x + 5

^;

1

^{. Repérer les fontionségales dans la listei-dessus.}

2

^{. Pour haque fontion, répondre à haune des questions suivantes en utilisant la}

formule lamieux adaptée.

a

^{. Déterminerles antéédents de}

0

^.

b

^{. Dresser le tableaude signes de lafontion.}

c

^{. Déterminerl'extremum de lafontion en préisant sa nature etla valeur de}

x

pour laquelle il est atteint.

d

^{. Dresser le tableaude variationsde lafontion.}

8.20

^{On onsidère lafontion}

f

^{dénie sur R par}

f (x) = x ² + 3x + 1

^.

1

^{. Utiliserla alulatrie pour aluler lesimages par la fontion}

f

^{de tous lesentiers}

de

− 5

^à

5

^{et exposer les résultatsdans un tableau.}

2

^. Qu'observe-t-ondansletableaupréédent? Quellepropriétégraphiquede laourbe de

f

^ela indique-t-il?

3

^{. Conjeturer la valeur de}

x

^{pour laquelle la fontion}

f

^{atteint son extremum puis}

proposer un tableau de variations pour

f

^.

4

^{. Déterminer une onstante}

C

^{telle que}

f ( x ) = ( x + ³ ₂ ) ² + C.

5

^{. Utiliserlaformulepréédentepourtrouverlavaleurde}

x

^{pour laquellelafontion}

f

atteint son extremum et aluleret extremum. La onjeture faite préédemment

était-elleorrete?

6

^{. Sur unmêmegraphique, traerlaourbe}représentativede lafontion

f

^etladroite

d'équation

x = C

^{. Que} onstate-t-on?

7

^{. Soit}

a

^{un nombre réel quelonque.}

a

^{. Simplieraumaximum les images}

f ( − ³ 2 − a)

^et

f( − ³ 2 + a)

^.

b

^{. Que} onstate-t-ondans les deux aluls préédents?

c

^. Représenterlapropriétéainsiobservéeparunrappideshéma.Quellepropriété graphiquede laourbede lafontion

f

^{est ainsi démontrée?}

8

^{. Résoudre} graphiquementles équations etinéquations suivantes.

a

^.

x ² + 3x + 1 = 0

^;

b

^.

x ² + 3 x + 1 = 1

^;

c

^.

x ² + 3x + 1 = − 1

^;

d

^.

x ² + 3 x + 1 > 2

^;

e

^.

x ² + 3x + 1 6 0

^;

f

^.

0 < x ² + 3 x + 1 6 1

^.

8.21

^{Consider the funtion}

g

^{dened overR by}

g(x) = x ² − x.

1

^{. Is}

g

^{a linear funtion? Is ita polynomial funtion? Ifso,what is itsdegree?}

2

^{. What is the general shape of the graph of}

g

^{? Answer with a sentene and a quik}

sketh.

3

^{. Solve the equation}

g ( x ) = 0

^{and dedue the sign table of the funtion.}

4

^{. What seems to be the preimage of the extremum of funtion}

g

^?

5

^{. Findaonstantrealnumber}

m

^suhthat

g(x) = (x +m) ² − ¹ 4

^{.Whatanyoudedue}

from this new formulafor

g(x)

^?

6

^{. Drawthe variationstable of}

g

^.

7

^{. In the same oordinatesystem, draw the symmetry axisof the graphof}

g

^andthen

the graph itself.

8

^{. Solve graphiallythe following equationsand} inequations :

x ² − x = 0

^;

x ² − x = 4

^;

x ² − x = 1.5

^;

x ² − x 6 0

^;

x ² − x > 5

^;

0.5 < x ² − x < 2.5

^.

8.22

^{Find the extremum and variations of the funtions below.}

1

^.

h 1 : x 7→ x ² − 2x − 2

^;

2

^.

h 2 : x 7→ − x ² − 5

^;

3

^.

h 3 : x 7→ x ² − 10x

^;

4

^.

h 4 : x 7→ 4x ² + 12x + 10

^;

5

^.

h 5 : x 7→ − x ² + 2x + 1

^;

6

^.

h 6 : x 7→ x ² − 7x + ⁴⁹ ₄

^.

8.23

^{Inthis exerise, weonsider the twofuntions}

f

^et

g

^{dened by}

f (x) = x ² − 4

^and

g (x) = x − 2

^.

1

^{. A few questions about funtion}

g

^.

a

^{. What kind of funtionis}

g

^{? What an you dedue about it's graph?}

b

^{. What are the variations of the funtion}

g

^{over R? Explain your answer in a}

fewwords.

2

^{. A few questions about the funtion}

f

^.

a

^{. What kind of funtionis}

f

^{? What an youdedue about it'sgraph?}

b

^{. What is the minimum of}

f

^{overR? Prove it.}

c

^{. Give the variations of the funtion}

f

^{in atable.}

3

^{. Drawthe graphsof the two funtionsin the same oordinatesystem.}

4

^{. Solve graphiallythe equation}

f (x) = g(x)

^{and the inequation}

f (x) 6 g (x)

^.

5

^{. Find graphially the value of}

x

^{for whih the dierene between}

f(x)

^and

g(x)

^is

the greatest overthe interval

[ − 1; 2]

^{.In the next questionswewillallthis value}

α

^.

In the following questions we will try to hek the previous answer by using a third

funtion,

h

^{, dened by}

h(x) = f (x) − g(x)

^.

6

^{. What doesit meanfor}

f (x)

^and

g (x)

^when

h(x) = 0

^?

7

^{. What an you say about}

h ( x )

^when

f ( x ) < g ( x )

^?

8

^{. Prove that}

h(x) = x ² − x − 2

^.

9

^{. What is the value}

α

^{for funtion}

h

^?

10

^.

a

^{. Find two real numbers}

a

^and

b

^{suh that}

h(x) = (x − a) ² + b

^.

b

^{. Dedue the exat value of}

α

^.

11

^{. Drawthe graphof}

h

^{in the same oordinatesystem as the graphs of}

f

^and

g

^.

8.24

^A volley-ball is thrown by a player from an ltitude of 2 meters, with an angle of approximately

11 ^◦

^{for the ground. Its altitude as a funtion of the distane}

x

^{from the}

throwing point isthen given by the formula

h ( x ) = − 0 . 04 x ² + 0 . 2 x + 2 .

Part A

1

^.

a

^{. Fatorize the expression of}

h(x)

^by

− 0.04

^{, to get an expression of the form}

k × g ( x )

^where

g

^{isa simplerfuntion.}

b

^{. Find two real numbers}

a

^and

b

^{suh that}

g (x) = (x − a) ² + b

^{. Hint : both}

numbers are frations.

c

^{. Dedue a new expression for}

h(x)

^.

2

^{. Use the new expression of}

h

^{to nd itsmaximum and the value of}

x

^{for whih it is}

reahed.

3

^{. Find out the variationsof funtion}

h

^{and showthem in atable.}

4

^{. The ball will reah the altitude of 2 meters a seond time. Use the symmetries of}

the urve to nd for what value of

x

^{itwilldo so.}

5

^.

a

^{. Findtworealnumbers}

x 1

^and

x 2

^,with

x 1 > x 2

^suhthat

g(x) = (x − x 1 )(x − x 2 )

^.

b

^{. Dedue a new expression for}

h ( x )

^.

6

^{. Use the adequate expression of}

h

^{to nd the solutions of the equation}

h(x) = 0

^.

What doesit meanfor the ball?

Part B

After touhing the ground, the ball rebounds and its altitude it then given by a seond

funtion :

m ( x ) = − 0 , 1 x ² + 2 , 5 x − 15 .

1

^{. Findoutthemaximumofthisnewfuntionandthevalueof}

x

^{forwhihitisreahed.}

2

^{. Chek that}

x = 10

^{is asolutionofthe equation}

m ( x ) = 0

^{.Why isitimportantthat}

it isso?

3

^{. Findtheseondsolutionoftheequation}

m(x) = 0

^{.What doesitmeanfortheball?}

Fonctions homographiques

8.25

^Soit

h

^{la fontion déniepar}

h(x) = 1 x .

Cette fontion est appelée fontion inverse .

1

^.

a

^{. Dans un tableau de valeurs, donner sous forme de puissane de}

10

^{les images}

par la fontion

h

^{des nombres suivants :}

1

^;

10 ^{− 1}

^;

10 ^{− 3}

^;

10 ^{− 5}

^.

b

^{. Que} semble-t-ilse passer pour

h(x)

^quand

x

^{s'approhe de}

0

^?

c

^{. Que peut-on alors dire l'imagede}

0

^{par lafontion}

h

^?

2

^{. Donnerl'ensembledesvaleursde}

x

^{pourlesquelles}

h ( x )

^{existe,'estàdirel'ensemble}

de dénition de

h

^.

3

^{. Dans ette question, nous allons déterminer le sens de variation de}

h

^sur

]0; + ∞ [

^.

Pour ela, ononsidère deux réels

a

^et

b

^{stritement positifs tels que}

a < b

^.

a

^{. Quellessont lesimages de}

a

^et

b

^{par lafontion}

h

^?

b

^{. Vérier que}

h(a) − h(b) = ^{b −} ab ^a

^.

c

^{. D'après la dénition de}

a

^et

b

^{, que peut-on dire du signe de}

b − a

^{et de elui}

de

ab

^{? En déduirelesigne de}

h(a) − h(b)

^.

d

^{. Gràe à la quesiton préédente, ordonner}

h(a)

^et

h(b)

^{. En déduire le sens de}

variationde

h

^sur

]0; + ∞ [

^.

4

^{. Utiliser la méthode de la question préédente pour déterminer le sens de variation}

de

h

^sur

] − ∞ ; 0[

^.

5

^{. Dresser letableau de variationde}

h

^{sur R. On feraapparaitre lairement lavaleur}

interdite.

6

^{. La fontion}

h

^{admet-elle un maximum et/ou un minimum. Si oui, lequel et pour}

quelle valeur de

x

^.

7

^{. Eetuer la} représentation graphique de

h

^{sur l'intervalle}

[ − 5; 5]

^.

8

^{. Résoudre} graphiquementles équations etinéquations suivantes.

1

x = 1.2

^;

¹ x = 7

^;

x ¹ = − 1

^;

x ¹ = 0

^;

¹ x > 3

^;

¹ x 6 − 5

^;

2.5 > ¹ _x

^;

− 1 < ¹ _x 6 1

^.

8.26

^{Pour haune des armations suivantes, dire si elle est vraie ou non. si elle est}

fausse, expliquer l'erreurommise.

1

^{. La fontion inverse est} déroissanteet

− 3 < − 2

^{, don}

− ¹ 3 > − ¹ 2

^.

2

^{. La fontion inverse est} déroissanteet

− 3 < 2

^{, don}

¹

− 3 > ¹ ₂

^.

3

^{. La fontion inverse est} déroissantedon si

x < 4

^{, alors}

¹ x > ¹ ₄

^.

4

^{. La fontion inverse est} déroissantedon si

x < − 4

^{, alors}

¹ x > − ¹ 4

^.

8.27

^{Déterminer l'ensemble de dénition de haun des fontions} homographiques i- dessous.

1

^.

h 1 (x) = ² _2x ^{x +1}

− 1

^;

2

^.

h 2 (x) = ^x

− x+7

^;

3

^.

h 3 (x) = ⁷ _3x+9 ^{x − 1}

^;

4

^.

h 4 (x) = _5x ^x+3

− 1

^;

5

^.

h 5 (x) = _8x ^{3 x +5}

− 12

^;

6

^.

h 6 (x) = ^2x+9

− 5x − 15

^.

8.28

^{Dans et exerie, ononsidère lafontion} homographiquedénie par

f (x) = 3x + 10 x + 5 . 1

^{. Déterminer l'ensemblede dénition de lafontion}

f

^.

2

^.

a

^{. Caluler}

f (0)

^.

b

^{. Endéduire lesoordonées du point}d'intersetion de laourbe de

f

^{ave l'axe}

des ordonnées.

3

^.

a

^{. Résoudre l'équation}

f(x) = 0

^.

b

^{. Endéduire lesoordonées du point}d'intersetion de laourbe de

f

^{ave l'axe}

des absisses.

4

^.

a

^{. Dresser le tableaude signes de lafontion}

f

^.

b

^{. Endéduire lesvaleurs de}

x

^{pour lesquelles lafontion}

f

^{est positive.}

5

^.

a

^{. Utiliserl'ensembledes}informationspréédentespourproposerunealluregénérale de la ourbe de

f

^{. Lesvaleurs} partiulières seront à préiser.

b

^{. Utiliserlaalulatrie pour vérier votre traé.}

8.29

^{In this exerise, we onsider the two funtions}

f

^and

g

^{dened by}

f (x) = x + 1

x

^and

g(x) = x x + 1 .

Part A – About function f 1

^{. What is the domain of funtion}

f

^?

2

^{. What are the solutionsof the equation}

f (x) = 0

^?

3

^.

a

^{. Chek that}

f(x) = ¹ _x + 1

^.

b

^{. Dedue fromthe variationsof thereiproalfuntion thevariationstable of}

f

^.

4

^{. Drawthe graphof}

f

^{over the interval}

[ − 5; 5]

^.

Part B – About function g 1

^{. What is the domain of funtion}

g

^?

2

^{. What are the solutionsof the equation}

g(x) = 0

^?

3

^{. Drawthe graphof}

g

^{over the interval}

[ − 5; 5]

^{onthe samegraph paper asthe graph}

of

f

^.

4

^{. Build the variations tableof}

g

^.

Part C – The intersection point

1

^. Graphially,nd the oordinates of the intersetion between the two graphs.

2

^{. Solve the equation}

f (x) = g(x)

^{.Howis this result related tothe previous one?}

Homework #11

8.30

In the gure below,

AB

^{is the diameter of}

the half-irle

C

and its length is worth 8m,

O

^{is the midpoint of}

AB

^and

C

^is

the midpoint of the ar

AB

^.

Let

M

^{be a moving point on the ar}

AC

^.

The parallel to

AB

^through

M

^uts

C

in

N

^and

H

^{istheorthogonalprojetionof}

M

on

AB

^.

Theaimofthishomeworkistondthepo-

sition of the point

M

^{that maximizes the}

perimeterof the trapezoid

AM N B

^.

A B

C

O N M

H Part A – Geometric simulation

1

^{. Use Geogebra to draw the gure.}

2

^{. Move the point}

M

^{onthe ar}

AC

^.

Conjeture the maximalvalue of the perimeterof

AM N B

^.

Part B – Using a function

1

^{. Let}

x

^{bethe lengthof}

AM

^.

a

^{. Compute the value of}

AC

^{.Dedue the denition intervalof}

x

^.

b

^{. Prove that}

BN = x

^.

2

^{. Let}

AH = a

^.

Using the Pythagorean theorem in two well hosen triangles, prove suessively

that :

a

^.

M H ² = 16 − (4 − a) ²

^;

b

^.

M H ² = x ² − a ²

^.

3

^{. Dedue from the previous questions that}

a = x ²

8

^{and then that}

M N = 8 − x ² 4

^.

4

^{. Prove that the perimeter of trapezium}

AM N B

^{is given as a funtion of}

x

^{by the}

formula

− x ²

4 + 2 x + 16

^.

5

^{. Find out the positionof}

M

^{for whih the perimeter of}

AM N B

^ismaximal.

1 Table of Contents

Fonctions affines et linéaires . . . 1

Fonctions polynômes de degré 2 . . . 5

Fonctions homographiques . . . 10

Homework #11 . . . 12

Related Episodes

Classic functions . . . Episode 20 A new way to measure angles . . . Episode 21 A new def of sine and cosine . . . Episode 22 Functions and image processing . . . .Episode 23 Beware of linearity . . . Episode 24

I believe that numbers and funtions of Analysis are not the arbitrary result

of our minds; I think that they exist outside of us, with the same harater

of neessity as the things of objetive reality, and we meet them or disover

them, and study them, as dothe physiists, the hemists and the zoologists.

Charles Hermite

Analysis isthe art of taminginnity.

Neil Falkner

A lotof mathematiiansare alittlebitstrangeinone way oranother. It goes

with reativity.

Peter Duren

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