Devoir de contrôle n°1 4ème Mathématiques Mr Krefa J 08 11 15

(1)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ _{Page 1} Lycée secondaire: Ghazali Devoir de contrôle n° 1 4ème_M

Prof : Mr krefa J Durée :2 h 08/11/15 http://mathematiques.kooli.me/

Exercice 1 (6 pts)

Soit la fonction définie sur ℝ par : = √ + 1 + si ≤ 0

= cos si > 0 Calculer lim_{→ ∞} et lim_→"∞

2) Etudier la continuité de en 0. 3) a) Etudier la dérivabilité de en 0.

b) Justifier que est dérivable sur #−∞ , 0' et sur #0 , +∞' et calculer ( sur chacun de ces intervalles.

4) Montrer que l’équation

)

I Pour tout entier naturel ≥ 1 , on définie la fonction _,: ℝ" → ℝ

↦ ,

√ + 1

Démontrer que la fonction _, est strictement croissante sur ℝ" II Soit la suite /₀ définie sur ℕ par :

2 3 4 3 5/₆ =1₂ /0") = /0 8 /0 + 1

1) a) Montrer par récurrence que : la suite /0 est strictement décroissante.

b) Montrer par récurrence que : ∀ : ∈ ℕ ; 0 < /₀ < 1

2) En déduire que la suite /0 est convergente et calculer sa limite.

3) a) Montrer que: ∀ : ∈ ℕ ;

_0")

=>

√

(2)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ _{Page 2} Exercice 3 (5 pts)

1) Résoudre dans ℂ l’équation @ + 2 − A @ − 2A = 0

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct B , CDE, FE , on considère les

points G −2 et H A

A tout complexe @ ≠ −2 on associe le complexe J définie par :

J = _{@ + 2}@ − A

a) Déterminer l’ensemble K₎ des points L d’affixe @ tel que |J| = 1

b) Déterminer l’ensemble K des points L d’affixe @ tel que J soit un réel négatif

c) Déterminer l’ensemble K des points L d’affixe @ tel que

R

1) a) Donner la forme exponentielle du complexe 4√2 −1 + A . b) Résoudre alors dans ℂ l’équation @ = 4√2 −1 + A

Y soit Z ∈ [0 ,S_{2\ . Montrer que ∶}2@ − 1_{@ = 2`}ab _{⇔ @ =} 1

4 +14 A defN: gZ2h 3 Résoudre dans ℂ l’équation 2@ − 1 = 4√2 −1 + A @