R d. Rappelons que l'opérateurde Laplaeest dénipar

Soit

Ω

R ^d

∆ = ∂ ²

∂x ² ₁ + ∂ ²

∂x ² ₁ + · · · + ∂ ²

∂x ² _d .

Cet opérateur est elliptique d'ordredeux.

Dénition 1.1. Une fontion

u ∈ C ² (Ω)

∆u = 0

La proposition suivantemontre que l'opérateurde Laplae est invariantpar rotation.

Exerie 1. Soit

T ∈ O(d)

R ^d

u ∈ C ² (Ω)

u ◦ T : T ^{− 1} (Ω) → R

∆(u ◦ T ) = (∆u) ◦ T.

Propriété de la moyenne. Commençons par quelques rappels. La mesure de la boule unité

B ⊂ R ^d

w d = 2π ^d/2 dΓ(d/2) .

La mesure de la sphère unité

S = ∂B ⊂ R ^d

dw d

S

mesurede probabilité

dσ

O(d + 1)

La mesurestandard sur lasphère est don

ds = dw d dσ

u : S(y, r) = ∂B (y, r) → R

est

Z

S(y,r)

u(z) ds(z) = dw d r ^{d − 1} Z

S

u(y + rz) dσ.

En partiulier,si lafontion

u

y

r lim → 0 r ^{1 − d} Z

S(y,r)

u(z) ds(z) = dw d u(y).

Théorème 1.2. Soit

u

Ω ⊂ R ^d

B(y, R) ⊂ Ω

u(y) = 1

|∂B(y, R)|

Z

∂B(y,R)

u(z) ds(z)

u(y) = 1

|B (y, R)|

Z

B(a,R)

u.

Proof. Dénissons

f : (0, R] → R

f (r) =

Z

∂B(y,r)

∂ ν u ds.

f (r) = dw d r ^{d − 1} Z

S

∂ r u(y + rz) dσ

= dw d r ^{d − 1} ∂ r

Z

S

u(y + rz) dσ

= r ^{d − 1} ∂ r

r ^{1 − d}

Z

∂B(y,r)

u ds

.

Or, du théorème de divergene-ux appliqué au hamp de veteurs

∇u

f (r) =

Z

B(y,r)

∆u = 0.

En partiulier,pour haque

r ∈ (0, R) R ^{1 − d}

Z

∂B(y,R)

u ds = r ^{1 − d} Z

∂B(y,r)

u ds → dw d u(y).

Ce qui omplète la preuve de lapremière formule.

♣

Remarque 1.3. Une fontion

u ∈ C ² (Ω)

∆u ≥ 0

tion

u ∈ C ² (Ω)

∆u ≤ 0

ment par sa moyenne.

Théorème 1.4 (Prinipe du maximum). Soit

u

Ω

u

Ω

u

Proof. Soit

a ∈ Ω

u

B (a, r) ⊃ Ω

x ∈ B(a, r)

que

u(x) < u(a)

u

B(a, r)

u(a)

ontredit le théorème de la valeur moyenne. La fontion

u

B(a, r)

Cei montre que l'ensemble

u ^{− 1} (a)

néessairement tout

Ω

♣

Exerie 2. Soit

Ω

u ∈ C(Ω) ∩ C ² (Ω)

Ω

Montrez que

u

∂Ω

n'est pas borné?

Cet exerie est important. Il montre que lasolution du problème de Dirihlet

∆u = 0,

Ω,

u = f

∂Ω

est unique si

f

Ω

1.1. Opérateur de Laplae-Beltrami sur une surfae. Soit

φ : Ω ⊂ R ² → S ⊂ R ^d

E, F, G : Ω → R

E = |φ x | ² , F = φ x · φ y , G = |φ y | ² .

Lamatrie

g = E F

F G

(x, y) ∈ Ω

S

φ(x, y) ∈ S

Riemannienne). Étant donné une fontion lisse

h : S → R

f = h ◦ φ

∆ φ (h) = 1

p |g| (∂ x , ∂ y ) p

|g|g ^{− 1} f x

f _y

Théorème 1.5. Soit

φ : Ω ⊂ R ² → S ⊂ R ^d

ψ : ˜ Ω → Ω

un diéomorphisme. Soit

φ ˜ = φ ◦ ψ

∆ φ ˜ (h ◦ φ)(˜ ˜ x, y) = ∆ ˜ _φ (h ◦ φ)(x, y)

où

(x, y ) = ψ((˜ x, y) ˜

Cei montre que l'opérateurne dépend essentiellementque de la surfae, pas du paramé-

trage hoisi.

Exemple 1.6. Expression du Laplaien en oordonées polaire.

Holomorphie.

Théorème 1.7. Soient

Ω, Omega ˜

R ²

φ : u + iv : Omega ˜ → Ω

E = G = 2u ² _x

F = 0

Exerie3. Soient

Ω, Omega ˜

R ²

φ : u + iv : Omega ˜ → Ω

F = 0

E = G

Exerie 4. L'opérateur de Laplae est-il invariant par translationet par homothétie?

Exerie 5.

(1) Disuterles fontions harmoniques en dimension

d = 1

(2) Vériez que la fontion dénie par

f (x) = |x| ^{2 − d}

Ω = R ^d \ {0}

Sur e même domaine, la fontion

g(x) = x 1 |x| ^{2 − d}

(3)

Exerie 6. Prouvez la propriétéde lamoyenne dans le as

d = 2

Exerie 7. Prouvez la propriétéde lamoyenne pour levolume dans les as

d = 2, 3

Exerie 8. Montrez qu'il existe des domaines pour lequels le problème de Dirihlet admet

plusieurs solutions.

Exerie 9. Montrez que les zeros d'une fontions harmoniques ne sont jamais isolés.

Exerie 10. Soit

B

R ^d

S

(1) Montrez que la mesure de Lebesgue de

B

w d := _dΓ(d/2) ^{2π d/2} .

(2) Calulez quelques valeurs de

w d

Exerie 11. Caluler une expression de l'opérateur de Laplae sur la sphère

S ²