La couverture harmonique
Problème E561 de Diophante
Sur un segment OA de longueur 100 cm, on trace tous les points i = 1,2,3....
d’abscisse xi = 100 / i. Le premier point est donc en A, le suivant est au milieu de OA, etc.
On dispose d’un ruban adhésif de longueur 25 cm que l’on découpe en morceaux de même longueur. Déterminer le nombre minimum de morceaux qui permettent de cacher tous les points qui ont été tracés.
Nota : un point est considéré comme caché s’il est recouvert par un morceau de ruban ou s’il se trouve sur son bord.
Solution
Soit n le nombre de morceaux de ruban découpés (de même longueur).
Pour recouvrir tous les points tracés, hormis les p premiers, disposons k morceaux contigus à partir de O vers A.
Si p n'est pas supérieur à n-k, il suffit de disposer un morceau de ruban sur chacun des p premiers points, pour terminer le recouvrement.
Par exemple, prenons n = 14 et k = 7. Les 7 premiers morceaux contigus
recouvrent tous les xi , pour i ≥ 8 et les 7 autres morceaux permettent de recouvrir les 7 points qui restent.
Peut-on faire mieux ?
Prenons n = 13 et k = 7. Comme précédemment, les 7 premiers morceaux contigus recouvrent tous les xi, pour i ≥ 8 mais les écarts entre les points voisins qui restent sont supérieurs à la longueur (1,923 cm) d'un morceau de ruban. Il n'est pas possible de terminer le recouvrement.
Prenons n = 13 et k = 6. Maintenant, les 6 premiers morceaux contigus
recouvrent 11,538 cm, soit tous les xi, pour i ≥ 9. L'écart entre x8 et x7 vaut 1,786 ; il est moindre que la longueur (1,923 cm) d'un morceau de ruban. Ici, on peut terminer le recouvrement des 8 points qui restent, avec les 7 morceaux de ruban qui nous restent encore, en disposant un morceau de ruban sur le segment x8 x7 et les 6 autres sur x6 x5 x4 x3 x2 x1.
Encore mieux. Prenons n = 12 et k = 3. Maintenant, les 3 premiers morceaux contigus recouvrent 6,25 cm, soit tous les xi, pour i ≥ 16. L'écart entre x15 et x12 vaut 1,666 ; il est moindre que la longueur (2,083 cm) d'un morceau de ruban. L'écart entre x11 et x9 vaut 2,020 ; moindre aussi que la longueur d'un morceau de ruban. On peut terminer le recouvrement des 8 points qui restent, avec les 7 morceaux de ruban qui nous restent encore, en disposant un morceau de ruban sur le segment x8 x7 et les 6 autres sur x6 x5 x4 x3 x2 x1.
