Chapitre VIII

Chapitre VIII

Fontions de référenes Further funtions

1.

Fontions affines

1.1. Voabulaire

Définition 1 :

Une fontion ane est une fontion dénie par une expression de laforme

f (x) = mx + p

^où

m

^et

p

^{sont deux nombres réels.}

Définition 2 :

Unefontion linéaireestune fontiondénieparuneexpressiondelaforme

f ( x ) = mx

^où

m

^{est un nombre réel.}

Remarque: Enhoisissant

p = 0

^{dans ledénition1,ononstate qu'une fontionlinéaire}

est une fontion ane partiulière.

Linear function

A linear funtionis afuntionof the form

f(x) = mx + p

^,where

m

^and

p

^{are tworeal}

numbers.

Proposition 1 :

La ourbe représentative d'une fontion ane de la forme

f ( x ) = mx + p

^(où

m

et

p

^{sont deux nombres réels) est l'ensemble des points de oordonnées}

( x ; mx + p )

^,

'est à dire la droite d'équation

y = mx + p

^.

Réiproquement, si la ourbe représentative d'une fontion

f

^{est une droite, elle a}

pour équation

y = mx + p

^(où

m

^et

p

^{sont deux nombres réels). Par onséquent}

f(x) = mx + p

^et

f

^{est une fontion ane.}

Remarque : Soit

f

^{une fontion linéaire déniepar}

f ( x ) = mx

^{. Quelle que soit lavaleur}

du nombre réel

m

^,

f (0) = m × 0 = 0

^.Lepoint

O

^{est donsur laourbe}représentativede

f

^{, qui est une droitepuisque}

f

^{est une fontion ane. Ainsi la}représentation graphique d'une fontion linéaire est une droite passant par l'origine. La réiproque se démontre

sans diulté.

Graph of a linear function

The graph of a linearfuntion is astraightline.

1.2.

Quelques propriétés des fontions anes

Proposition 2 :

Une fontion ane de la forme

f ( x ) = mx + p

^{est roissante si}

m > 0

^{et dérois-}

sante si

m < 0

^.

Démonstration : Soient

f

^{une fontion ane de laforme}

f (x) = mx + p

^,

x ₁

^et

x ₂

^{deux réels}

tels que

x ₁ < x ₂

^{.Lesensdevariationde}

f

^{estdonné parlesignede}l'expression

f (x ₂ ) − f (x ₁ ) = (mx 2 + p) − (mx 1 + p) = m(x 2 − x ₁ )

^{.Sahant que}

x ₁ < x ₂

^,

x ₂ − x ₁

^{esttoujours positif. Lesigne}

de

f (x ₂ ) − f (x ₁ )

^{dépend donseulement deelui de}

m

^.Si

m > 0

^,

f (x ₂ ) − f (x ₁ ) > 0

^,'estàdire

f (x ₂ ) > f (x ₁ )

^{;lafontiononservel'ordre, elleestdonroissante.Si}

m < 0

^,

f(x ₂ ) − f (x ₁ ) < 0

^,

'està dire

f(x ₂ ) < f (x ₁ )

^{;lafontion inverse l'ordre, elle estdon} déroissante.

Variations of a linear function

A linear funtion

f(x) = mx + p

^{is inreasing if}

m > 0

^{and dereasing if}

m < 0

^.

Proposition 3 :

Unefontion anedelaforme

f (x) = mx +p

^,ave

m 6= 0

^{s'annulesietseulement}

si

x = − _m ^p

^.

Démonstration : Si

f (x) = mx + p

^ave

m 6= 0

^{, il estlair que}

f (x) = 0

^quand

mx + p = 0

^,

'està dire

mx = −p

^ouenore

mx = −p

^.

Proposition 4 :

Le signe d'une fontion ane dénie par

f (x) = mx + p

^{dépend du signe de}

m

^.

•

^Si

m < 0

^{, alors}

f ( x )

^{est positif pour}

x ∈] − ∞; − _m ^p [

^{et négatif sur}

] − _m ^p ; +∞[

^.

•

^Si

m > 0

^{, alors}

f(x)

^{est négatif pour}

x ∈] − ∞; − _m ^p [

^{et positif sur}

] − _m ^p ; +∞[

^.

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

− _m ^p

Graph of

f ( x ) = mx + p

^with

m < 0

^.

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

− _m ^p

Graph of

f ( x ) = mx + p

^with

m > 0

^.

Sign of a linear function

A linear funtion

f ( x ) = mx + p

^(with

m 6= 0

^{) has the same sign as}

m

^{on the interval}

] − _m ^p ; +∞[

^{and the opposite sign on}

] − ∞; − _m ^p [

^.

2.

Fontion quadratiques

2.1.

La fontion arré

x 7→ x ²

Définition 3 :

On appelle fontion arré lafontion

f

^{dénie sur R par}

f(x) = x ²

^.

Proposition 5 :

La fontion arré est paire. Sa ourbe représentative est symétrique par rapport à

l'axe des ordonnées.

Démonstration : Pour tout réel

x

^,

f (−x) = (−x) ² = x ² = f (x)

^{. La fontion arré est don}

paire.

Proposition 6 :

La fontion arré est déroissante sur

] − ∞; 0]

^{et roissante sur}

[ O ; +∞[

^{. Son}

minimum est

0

^{, atteint pour}

x = 0

^{. Son tableau de variations est don le suivant :}

x −∞ 0 +∞

+∞ +∞

f(x) = x ²

0

Démonstration:Cettefontionétantpaire,ilsutd'étudiersonsensdevariationd'untéde

0

^{,parexemplesur}l'intervalle

[0; +∞[

^.Soient

x ₁

^et

x ₂

^{deuxréelsdansetintervalletelsque}

x ₁ <

x ₂

^.Alors

f (x ₂ ) − f (x ₁ ) = x ² ₂ − x ² ₁ = (x ₂ − x ₁ )(x ₂ + x ₁ )

^.Puisque

x ₁ < x ₂

^,

(x ₂ − x ₁ ) > 0

^.D'autre

part,

x ₁ > 0

^et

x ₂ > 0

^don

(x ₂ +x ₁ ) > 0

^{.Paronséquent}

f (x ₂ )− f (x ₁ ) = (x ₂ −x ₁ )(x ₂ +x ₁ ) > 0

^,

'est à dire

f (x ₂ ) > f(x ₁ )

^{, e qui prouve que la fontion arré est roissante sur} l'intervalle

[0; +∞[

^{.Par symétrie,elle est don} déroissante sur

] − ∞; 0]

^{etatteint don son minimum en}

x = 0

^{,minimumqui estégal à}

f (0) = 0

^.

Représentation graphique :

^{La ourbe}

représentative de lafontionarré est don-

née i-dessous. C'est une parabole orienté

vers le haut, admettant un unique point

ritique qui est l'origine du repère, de o-

ordonnées

(0, 0)

^{. Elle admet de plus en e}

pointunetangentehorizontale.Toutefon-

tion quadratique,de laforme

f(x) = ax ² + bx + c

^{, est} représentée par une parabole,

dont l'axe et le point ritique hangent en

O ~ı

~

Square function

Thesquarefuntionisthesimplest quadratifuntion.Itmapsanyrealnumber

x

^toits

square

x ²

^{.Itsgraphisaparabola, dereasingover}

] − ∞, 0[

^{and inreasingover}

]0 , +∞[

^,

passing through the origin and through the point

(1, 1)

^{, and symmetrial around the}

y

^-axis.

2.2.

Quelques propriétés des fontions quadratiques

Définition 4 :

On appelle fontion quadratique toute fontion dénie par une expression de la

forme

f (x) = ax ² + bx + c,

où

a

^,

b

^et

c

^{sont trois réels, ave}

a 6= 0

^.

Proposition 7 :

La ourbe représentative d'une fontion quadratique est une parabole, ouverte vers

le haut si

a > 0

^{et ouverte vers le bas si}

a < 0

^.

Quadratic functions

A quadrati funtion, in mathematis, is a polynomial funtion of the form

f(x) = ax ² + bx + c

^{, with}

a 6= 0

^{. The graph of a quadrati funtion is a parabola, opening}

upward if

a > 0

^{and downward if}

a < 0

^.

Proposition 8 :

Unefontion quadratique dénie par

f(x) = ax ² + bx + c

^{atteint sonpoint extremal}

quand

x = − _2a ^b

^{. En fontion du signe de}

a

^{, il s'agit d'un minimum ou d'un maxi-}

mum. De plus, la parabolereprésentative de la fontion est symétrique par rapport

à la droite d'équation

x = − _2a ^b

^.

Turning point

Theturningpointofaquadratifuntion

f(x) = ax ² +bx +c

^{isreahed when}

x = − _2a ^b

^.

It an be a maximum or a minimum, depending on the signe of

a

^{. The major axis of}

the parabolais the line

x = − _2a ^b

^.

Exemple : La fontion denie par

f (x) = −3x ² + x + 6

^{est une fontion} quadratique ouvertevers lebas. Sonpointextremal setrouvequand

x = − _{2 × (} ¹ _{− 3)} = ¹ ₆

^{.Lafontionest}

don roissante qur

] − ∞; ¹ ₆ ]

^etdéroissante sur

[ ¹ ₆ ; +∞[

^.

3.

Fontion inverse et fontions homographiques

3.1.

Étude de la fontion inverse

Définition 5 :

On appelle fontion inverse lafontion

g

^{dénie sur R}

^⋆

^par

g(x) = _x ¹

^.

Reciprocal function

The reiproal funtion isthe funtiondened overR

⋆

by

g(x) = ¹ _x

^.

Proposition 9 :

Lafontion inverseestimpaire. Saourbereprésentative estsymétrique par rapport

à l'origine du repère.

Démonstration : Pour tout réel

x

^,

g(−x) = − ¹ x = − _x ¹ = −g(x)

^{. La fontion arré est don}

impaire.

Proposition 10 :

La fontion inverse est déroissante sur

] − ∞; 0]

^{et sur}

]0; +∞[

^{. Elle n'admet pas}

d'extremumssures deuxintervalles.Sontableaudevariationsestdonlesuivant:

x −∞ 0 +∞

0 +∞

g ( x ) = ¹ _x

−∞ 0

Démonstration : Cette fontion étant impaire, il sut d'étudier son sens de variation d'un

téde

0

^{,parexemple sur}l'intervalle

]0; +∞[

^.Soient

x ₁

^et

x ₂

^{deuxréelsdansetintervalle tels}

que

x ₁ < x ₂

^{. Alors}

g(x ₂ ) − g(x ₁ ) = _x ¹

2 − _x ¹

1 = ^x _x ^{1 − x 2}

2 x ₁

^{. Puisque}

x ₁ < x ₂

^,

x ₁ − x ₂ < 0

^{. D'autre}

part,

x ₁ > 0

^et

x ₂ > 0

^don

x ₂ x ₁ > 0

^{. Par onséquent}

g(x ₂ ) − g(x ₁ ) = ^x _x ^{1 − x 2}

2 x ₁ < 0

^{, 'està dire}

g(x ₁ ) > f (x ₂ )

^{, e qui prouve que lafontion arré est}déroissante surl'intervalle

]0; +∞[

^{. Par}

symétrie,elle est don déroissante sur

] − ∞; 0[

^.

Représentation graphique :

^{La ourbe}

représentative de la fontion inverse est

donnée i-dessous.C'estunehyperbole en-

tréeen l'originedurepère.Elleadmetdeux

asymptotes :les deux axes du repère.

O ~ı

~

Hyperbola

The graph of the reiproal funtion is a hyperbola, with the origin of the graph as

enter.

3.2.

Fontion homographiques

Définition 6 :

Une fontion homographique est une fontion dénie par une expression de la

forme

k ( x ) = ax + b cx + d ,

où

a

^,

b

^,

c

^et

d

^{sont des réels ave}

c 6= 0

^.

Proposition 11 :

L'ensemble de dénition de lafontion homographique dénie par

k(x) = ^ax+b _cx+d

^est

R

−

− d c

=

−∞; − d c

∪

− d c ; +∞

.

Démonstration : Ave ladénitiondelaproposition,

k(x)

^{n'existepasquand}

cx + d = 0

^,'est

à dire quand

x = − ^d _c

^{. L'ensemble de dénition de la fontion}

k

^{est don l'ensemble de tousles}

réelsdiérentsde

− ^d _c

^.

Domain of an homographic function

Anhomographifuntion

k ( x ) = ^ax+b _cx+d

^{isdenedforallrealnumbersdierentfrom}

− ^d _c

^,

so itsdomain is

R

−

− d c

=

−∞; − d c

∪

− d c ; +∞

.

.

Exemple : Considérons la fontion denie par

k ( x ) = ^2x+3 _3x − 5

^{. Sa valeur interdite est la}

solution de l'équation

3x − 5 = 0

^{,'est à dire}

x = ⁵ ₃

^{. Donson ensemblede dénition est}

R

− ₅

3

^.