VIII.1Modèlederéacteur ModélisationduséchagedePVCetdelevure CHAPITRE VIII

CHAPITRE VIII

Modélisation du séchage de PVC et de levure

Les chapitres VI et VII sont consacrés au développement de modèles à l’échelle du milieu poreux. Nous appliquons maintenant ces différents modèles à des problèmes d’intérêt industriel : le séchage de PVC et de levure.

La modélisation de réacteurs pilotes ou industriels peut s’avérer difficile de par la complexité intrinsèque d’installations de ces tailles et des phénomènes qui s’y déroulent. Si nous cherchons à modéliser le réacteur c’est pour permettre, d’une part, une modélisation de procédés réels et, d’autre part, une validation de nos modèles à l’échelle du milieu poreux. En effet, nous n’avons pas présenté de validation spécifique à l’échelle du grain. Les deux dispositifs étudiés ici, la thermogravimétrie analytique et le lit fluidisé pilote de laboratoire, permettent l’application de modèles simples à l’échelle du réacteur.

Nous commençons donc ce chapitre en présentant les bilans globaux permettant de modéli- ser ces réacteurs. Ils font intervenir le taux d’évaporation J . Celui-ci est obtenu via les modèles des deux chapitres précédents pour étudier le séchage de PVC et de levure. Nous explicitons ensuite les raisons qui nous amènent à tester des modèles différents selon le solide.

Dans le cas du PVC, le nombre de pores compris dans un grain rend prohibitif l’usage d’un modèle par réseau de pores. Nous nous limitons donc à un modèle continu : le modèle à surface d’échange variable, qui s’avère être le plus adapté des modèles que nous avons présentés.

Dans le cas de la levure, nous pouvons envisager la modélisation d’une section de grain à l’aide du modèle par réseau de pores. Nous utilisons les données de la structure interne du grain obtenues par microtomographie au chapitre IV. Le modèle est appliqué pour simuler des essais de thermogravimétrie et en lit fluidisé. Ensuite, nous comparons les résultats du modèle à ceux obtenus par le modèle continu à front pénétrant. Nous évaluons finalement l’impact du rétrécissement des grains et des types d’eau sur le séchage de levure.

VIII.1 Modèle de réacteur

Les essais en lit fluidisé et par T.G.A. offrent des conditions expérimentales très différentes.

De ce fait, nous développons des modèles différents pour les décrire. Toutefois, les deux modèles

sont basés sur l’application de bilans de quantité de matière et d’énergie sur le réacteur.

Fig. VIII.1 – Schéma du couplage entre les bilans globaux et les modèles de grains.

(humidité de l’air entrant Y

, débit d’air entrant Q, température de l’air entrant T

) et du taux d’évaporation J calculé par le modèle de grain, de connaître les conditions dans le réacteur (humidité de l’air Y , température de l’air T , quantité d’eau comprises dans le solide X ). Ces grandeurs permettent le calcul des informations nécessaires au modèle de grain (pression de vapeur saturant p

, pression de vapeur en sortie du milieu p

) pour le calcul du taux d’évaporation.

VIII.1.1 Bilans sur un lit fluidisé

L’excellente homogénéité des conditions en lit fluidisé offre à ce titre un avantage : nous pouvons appliquer des modèles de réacteur assez simplifiés. En particulier, nous considérons que la phase gazeuse traversant le réacteur se comporte comme si elle traversait un réacteur parfaitement mélangé. Les conditions en tout point du réacteur sont donc identiques et égales aux conditions de sortie. Du point de vue du solide, nous sommes en réacteur discontinu.

Dans ces conditions, nous pouvons écrire différents bilans :

sur la quantité d’eau Y contenue dans l’air (exprimée en kilogramme d’eau par kilogramme d’air sec)

m

d Y

dt = Q(Y

Y ) + J (VIII.1) sur la quantité d’eau contenue dans le solide X (exprimée en kilogramme d’eau par ki-

logramme de solide sec)

m

dX

dt = J (VIII.2)

sur l’énergie totale du réacteur

Q (Y

Y ) H

+ Qc

(T

T ) =

m

c

+ c

X dT

dt c

J C

(T T

) (VIII.3) où :

– m

, m

sont les masses de gaz et de solide sec dans le réacteur, – H

est la chaleur latente de vaporisation,

– c

, c

et c

sont les capacités calorifiques massiques du gaz, du solide et du liquide, – C

est un coefficient de transfert de chaleur représentant les pertes de chaleur vers

l’extérieur,

– T

est la température ambiante en dehors de l’installation.

Notons que nous négligeons la chaleur spécifique du gaz contenu dans le réacteur dans le terme de variation de l’enthalpie totale du système. En effet, pour de faibles variations de températures comme celles présentes dans nos applications, ce terme est négligeable devant d’autres, comme le terme puits lié à l’évaporation ou l’apport de chaleur lié à l’entrée du gaz.

De plus nous supposons que le contenu du grain présente une température uniforme, égale à celle de l’air dans le réacteur. Cette hypothèse est confirmée par l’évaluation du temps de pénétration t

de la chaleur dans les grains. Il s’agit du temps nécessaire à ce qu’un saut de température appliqué à l’interface d’une sphère se soit répercuté à 95 % au centre de la sphère en considérant un transport de chaleur conductif. Sa valeur est donnée par : [47]

t

= 0; 4 L

b

(VIII.4)

où

– L

est le rayon d’un grain, – b

est la conductibilité du solide.

Pour le PVC, nous obtenons 0; 1 seconde tandis que pour la levure il vaut 0; 4 seconde. Ces temps restent bien faibles par rapport aux temps caractéristiques des deux étapes de séchage, qui est de quelques dizaines de minutes. Ce calcul suppose que les grains sont des sphères pleines du matériaux solide constitutif. Nous devrions prendre en compte la structure poreuse réelle et appliquer une conductibilité effective tenant compte de la présence des différentes phases. Le PVC et la levure présentent cependant des conductibilités inférieures ou égales à celles de l’eau. De ce fait, lorsque est saturé en eau, le temps de pénétration est plus court que ce que nous venons d’évaluer. Une fois le grain sec, il est plus difficile d’évaluer sa conductibilité effective.

VIII.1.2 Modèle pour les essais de T.G.A.

En marge de l’étude du séchage en lit fluidisé, nous nous intéressons également à la mo- délisation de l’évaporation lors des essais de thermogravimétrie présentés au point III.3.1. Cela nous permet de confronter nos modèles à des conditions très différentes de celles rencontrées dans le lit fluidisé. Pour ces essais, nous considérons un modèle de réacteur différent.

Le débit de gaz passant à proximité de l’échantillon est tel que la variation d’humidité de l’air est négligeable. Nous supposons donc Y = Y

dans l’ensemble du dispositif. De même la température du gaz est constante. Cependant, la surface spécifique de contact entre le solide et le gaz est trop faible pour que nous ne puissions assimiler la température du solide à celle du gaz.

Nous considérons donc que l’ensemble de l’échantillon est à une température T que nous cherchons à déterminer. Nous supposons que la quantité d’énergie comprise de l’échantillon ne varie que par :

– l’apport de chaleur par le flux de gaz passant à une température T

, – la sortie matière de vapeur.

Le bilan s’écrit alors :

m

c

+ c

X dT

dt = S

c

(T

T ) H

J (VIII.5) où

– est le coefficient de transfert de chaleur,

– S

est l’aire interfaciale de l’échantillon de T.G.A.,

Dans ce bilan, nous négligeons la chaleur comprise dans le gaz présent dans l’échantillon poreux par rapport à celui du solide. En fin de séchage, cette énergie est maximale. Elle représente toujours moins d’un dixième de pourcent de la chaleur comprise dans le solide. Le bilan de la quantité d’eau comprise dans le solide (VIII.2) reste, lui, d’application.

VIII.1.3 Valeur des coefficients de transfert externe

Un des paramètres clé, commun à tous les modèles que nous présentons, est le coefficient

de transfert de matière externe au milieu poreux k . Selon les modèles nous l’exprimons sous

cette forme ou sous la forme d’une épaisseur de couche de diffusion L

. Le lien entre les deux

est donné par l’équation (VII.9).

De très nombreuses corrélations empiriques existent pour évaluer le coefficient de transfert de matière en lit fluidisé [159]. Ces différentes corrélations mènent à des coefficient de transfert pouvant varier de plusieurs ordres de grandeurs. Cela est du principalement à des conditions expérimentales très différentes ainsi qu’aux difficultés inhérentes à la détermination de la surface d’échange. Nous nous servons plutôt de corrélations obtenues sur des bases théoriques dans des situations simplifiées. En particulier nous utilisons deux corrélations :

Ranz et Marshall basée sur le calcul du flux de matière issu d’une particule sphérique rigide isolée située dans un écoulement potentiel [160] :

Sh = 2 + 0; 6Re

Sc

(VIII.6) où

– Sh est le nombre de Sherwood, comparant le coefficient de transfert de matière k au coefficient de diffusion D

Sh = 2L

k

D (VIII.7)

– Re est le nombre de Reynolds de l’écoulement, comparant les forces d’inertie aux forces visqueuses

Re = 2L

v

(VIII.8)

avec v

la vitesse du gaz,

la masse volumique du gaz et

sa viscosité dynamique – Sc est le nombre de Schmidt comparant diffusion et viscosité

Sc =

D (VIII.9)

Nelson et Galloway basée sur le calcul du flux de matière issu d’une particule sphérique rigide entourée d’autres particules [161] :

Sh =

2C

+

1 (1 lit)¹⁼³₂

2

!

tanh C

1 (1 lit)¹⁼³

tanh C

(VIII.10)

C

=0; 3

(1

)

1

Re

Sc

(VIII.11) où

est la porosité du lit fluidisé.

De manière similaire, le coefficient de transfert de matière pour l’essai de T.G.A. est obtenu sur base d’une corrélation pour une surface plane

Sh = 0; 648 (Re)

(Sc)

(VIII.12) .

Pour le transfert de chaleur nous utilisons l’expression analogue [114] :

Nu = 0; 648 (Re)

(P r)

(VIII.13)

où

– Nu est le nombre de Nusselt de l’écoulement qui compare le transfert de chaleur par convection au transfert de chaleur conductif

Nu = L

b

(VIII.14)

– L

est le diamètre de l’échantillon de T.G.A., – b

est la diffusivité thermique du gaz,

– P r est le nombre de Prandtl, qui compare viscosité et transport de chaleur par conduc- tion,

P r =

b

(VIII.15)

Le coefficient de perte de chaleur C

du lit fluidisé vers l’environnement extérieur est évalué sur base d’essais à vide. La valeur de C

est calculée sur base de la température de sortie du réacteur en conditions stationnaires :

C

= Qc

(T

T )

(T T

) (VIII.16)

Pour l’ensemble des essais, nous utilisons la valeur de 5; 9 W=K .

VIII.2 Choix des modèles pour les différentes applications étu- diées

Pour étudier le séchage de PVC et de levure, nous pouvons maintenant coupler les équa- tions de bilan à l’échelle du réacteur aux différents modèles de milieu poreux que nous avons présentés. Pour chacun des solides, nous pouvons choisir les modèles les plus adaptés.

Une première étape de ce choix tient à la puissance de calcul. Les modèles par réseaux de pores ne permettent en effet pas à l’heure actuelle de simuler des systèmes de plus de quelques dizaines de milliers de pores. Pour la levure, la densité de pores mesurée par microtomographie nous indique qu’un grain comporte 30 10

pores. Il est envisageable de réaliser des simulations pour un tel système même si nous approchons de la limite des puissances à notre disposition.

Nous préférons donc appliquer ce modèle en approchant un grain par un réseau simplifié représentant une coupe en deux dimensions d’un grain. Nous réduisons ainsi le nombre de pores à 1100. La simulation de l’essai de thermogravimétrie implique la prise en compte de 2,8 10

pores en trois dimensions et 14 10

pores pour une coupe. Cette dernière simplification permet de réaliser des simulations.

Dans le cas du PVC, une évaluation basée sur les résultats de la porosimétrie (tableau III.2) au mercure montrent qu’un grain comporte de l’ordre de 350 10

pores. Un tel nombre est observé à cause de la très petite taille des pores dans un grain. La simulation d’une coupe ramène ce nombre à 330 10

, ce qui reste largement supérieur aux capacités de calcul dispo- nibles. L’application du modèle par réseau de pores est donc limitée à l’étude de sections de levure pour simuler des essais en lit fluidisé et des essais par thermogravimétrie.

Pour les modèles continus, aucune restriction de cet ordre n’est applicable. Nous présentons

au point VII.1 un calcul simplifié de volume élémentaire représentatif pour la porosité montrant

que pour le PVC comme pour la levure nous pouvons envisager l’application de l’approche

continue. Pour la levure, nous testons deux des trois modèles : le modèle à isotherme et le

Matériau PVC Levure Levure

Essai Lit fluidisé Lit fluidisé T.G.A.

Réseau de pores VIII.4.3 VIII.4.4

Isotherme VIII.5.1

Front pénétrant VIII.3 VIII.5.1 VIII.5.2

Surface d’échange variable VIII.3

Tab. VIII.1 – Résumé des différents modèles testés et sections où nous les traitons.

(a) Début du séchage. L’évaporation a lieu au niveau de tous les ménisques. Les ménisques situés dans les pores entre les agglomérats reculent alors que les ménisques internes aux agglomérats pompent du

liquide par pression capillaire.

(b) Etape ultérieure. Le front d’évaporation s’en- fonce dans les différents agglomérats.

Fig. VIII.2 – Illustration des mécanisme de transport dans un grain de PVC.

modèle à front pénétrant. Le premier est présenté à titre de comparaison. Il s’agit en effet du modèle généralement utilisé dans la littérature. L’application du second est justifiée par les résultats du modèle par réseau de pores, celui-ci prédisant l’existence de deux étapes similaires à celles simulées par le modèle à front pénétrant. Nous appliquons ce modèle aussi bien aux essais en lit fluidisé qu’à l’essai de thermogravimétrie.

Pour le PVC, nous ne disposons pas d’une première interprétation sur base du modèle par réseau de pores. Nous présentons l’application du modèle à surface d’échange variable pour la simulation des essais en lit fluidisé. Nous avançons une explication concernant sa validité sur base de l’existence de plusieurs tailles de pores dans les grains de PVC. Sur base de cette interprétation nous expliquons l’incapacité de modèle à reproduire l’essai de T.G.A. Le modèle à front pénétrant est ensuite également testé.

Le tableau VIII.1 résume les différents modèles testés et indique les sections dans lesquelles nous en discutons.

VIII.3 Application du modèle à surface d’échange variable au séchage de PVC

VIII.3.1 Description du modèle

Nous appliquons maintenant les bilans de réacteur pour modéliser le séchage de PVC en lit fluidisé. Nous couplons les bilans (VIII.1), (VIII.3) et (VIII.2) aux équations (VII.8) et (VII.23) décrivant le taux d’évaporation pour le modèle à surface d’échange variable. La pression de saturation est donnée par l’équation de Clausius-Clapeyron (V.10). L’évaluation du coefficient de transfert de matière est réalisée sur base de la corrélation (VIII.10) tenant compte de la présence d’autres grains. L’utilisation de cette corrélation est justifiée par la très faible expansion du lit fluidisé. La présence d’autres particules dans le lit ne peut donc pas être négligée.

Le choix du modèle à surface d’échange variable se justifie par l’existence de deux gammes de pores distinctes dans le grain. Nous montrons en effet, au point III.1.4, qu’un grain de PVC est composé d’un ensemble d’agglomérats de particules. De ce fait nous avons des pores formés d’une part entre les agglomérats et d’autre part entre les particules dans un agglomérat. Les premiers sont nettement plus grands que les seconds. En l’absence d’effets visqueux, au début du séchage, nous sommes dans la situation illustrée sur la figure VIII.2(a). Les pores séparant les différents agglomérats sont les premiers à se vider de leur liquide. Un front d’évaporation s’enfonce dans le grain au niveau de cette première gamme de porosité. Les pores compris dans les agglomérats compensent, grâce à la pression capillaire, leur perte de liquide par évaporation.

La surface de ces particules, et donc l’essentiel de la surface du grain, reste donc saturée en humidité. Ce mécanisme explique le début ou la totalité de la phase à vitesse constante. Un tel comportement a déjà été illustré à l’aide de modèles par réseau de pores [120].

Lorsque la quantité d’eau contenue dans les pores séparant les agglomérats devient trop

faible, nous sommes dans une situation illustrée sur la figure VIII.2(b). Les pores internes aux

agglomérats ne parviennent plus à s’alimenter en liquide. Le front d’évaporation se situe dans

les différents agglomérats. Si ceux-ci forment un unique réseau de pores, l’ensemble constitue

encore un unique amas liquide. La présence des pores de grande taille, maintenant vides,

implique l’existence d’un front d’évaporation dans tout le solide, et pas uniquement près de sa

surface extérieure. Les régions internes aux agglomérats qui sont vidées en premier lieu ne sont

donc pas forcement celles qui sont le plus proche de la sortie du milieu. Nous pouvons donc

(a) Humidité de l’air de sortie. (b) Température de l’air de sortie.

Fig. VIII.3 – Comparaison entre l’expérience 4 en lit fluidisé et les courbes ajustées du modèle à surface d’échange variable.

(a) Humidité de l’air de sortie. (b) Température de l’air de sortie.

Fig. VIII.4 – Comparaison entre l’expérience 3 en lit fluidisé et les courbes du modèle à surface

d’échange variable en vue de la validation croisée.

supposer une diminution uniforme dans le grain de la fraction de saturation. Si le transport de matière par film est négligeable, cette étape correspond au début de l’étape de séchage à vitesse décroissante. En présence de films, ceux-ci peuvent prolonger la durée de l’étape de séchage à vitesse constante.

Lorsque l’eau n’est plus présente sous la forme d’un amas unique, le séchage a lieu préfé- rentiellement dans les zones proches de l’extérieur du grain. En effet, les amas proches de la sortie du milieu s’évaporent plus vite que ceux au cœur du grain. La division en petits amas empêche les pores proches de l’interface de continuer à s’alimenter en liquide dans les zones éloignées de la sortie du milieu. Cette dernière phase n’est pas prise en compte dans le modèle à surface d’échange variable.

VIII.3.2 Résultats et discussion

La figure VIII.3 présente la validation du modèle sur l’expérience 4 du tableau III.5(a). Pour cet essai le coefficient de transfert de matière externe est évaluée par corrélation à k = 5; 61 10

m=s . La figure VIII.3(a) reprend l’humidité de l’air de sortie. L’accord entre le modèle et l’expérience est excellent. L’humidité critique est ajustée à une valeur de 0; 04 kilogramme d’eau par kilogramme de solide sec. L’ajustement est réalisé au sens des moindres carrés sur base des courbes d’humidité de l’air de sortie. Dans les premiers instants de l’essai, le modèle prédit une surévaluation de l’humidité. Cet écart se résorbant très rapidement, il n’a que peu d’impact sur l’évolution globale du système. Ce pic initial est lié au fait que nous supposons que les conditions dans le réacteur sont immédiatement égales aux conditions de sortie. En fin de séchage, l’humidité prédite par le modèle reste légèrement au-dessus des valeurs expérimentales.

Cet écart est liée aux erreurs de mesures. En effet, l’humidité modelisée est à nouveau égale à l’humidité d’entrée. La sonde donnant l’humidité de sortie mesure une valeur inférieure à celle d’entrée suite à une hystérèse du capteur de mesure.

La figure VIII.3(b) présente la température de l’air de sortie pour la même expérience.

L’accord observé est nettement moins bon. Nous reproduisons globalement l’existence d’un palier qui se situe à peu près à la bonne température. La courbe modélisée est directement liée à celle de l’humidité de l’air. Les fluctuations expérimentales de la température de sortie ne peuvent donc pas être simulées. Pendant l’étape de séchage à vitesse décroissante, le modèle prédit une remontée beaucoup trop rapide de la température. Le fait de négliger l’inerte thermique de l’installation peut expliquer cette différence.

La figure VIII.4 présente la validation croisée du modèle sur l’expérience 3 du tableau III.5(a). La valeur de l’humidité critique ajustée précédemment est donc conservée. Pour cet essai le coefficient de transfert de matière est évalué à k

= 2; 91 10

m=s suite à l’utilisation d’un plus faible débit d’air. Les tendances générales sont correctement prédites. Au début du séchage, le modèle n’arrive pas à prédire la variation expérimentale de l’humidité qui devrait a priori être constante. La variation observée est probablement liée à une mauvaise fluidisation lorsque les grains sont très humides. De ce fait le modèle surestime l’évaporation en début d’opération. L’humidité critique est donc atteinte plus tôt qu’expérimentalement, ce qui mène à un passage anticipé à l’étape de séchage à vitesse décroissante.

Ces constatations se répercutent de manière similaire sur la courbe de température. Notons que le PVC séché lors de cet essai contenait moins d’eau au départ que dans l’essai précédent.

Cela explique la proportion plus importante du temps passé dans l’étape de séchage à vitesse décroissante.

Globalement, nous parvenons à correctement prédire la durée de l’étape à vitesse constante

ainsi qu’un bon ordre de grandeur de la durée de l’étape à vitesse décroissante. Au niveau de la température, la reproduction de l’étape à vitesse décroissante nécessite probablement la prise en compte de l’inerte thermique de l’installation.

La valeur de l’humidité critique correspond à une faible quantité d’eau dans le solide. De ce fait, l’étape à vitesse décroissante est très courte et il est difficile d’évaluer si les phénomènes modélisés par le modèle pendant cette étape correspondent effectivement à ce que nous ob- servons. Le modèle donne cependant des résultats satisfaisants sans nécessiter de paramètre ajustable pour l’étape de séchage à vitesse décroissante.

Nous pouvons bien entendu tester le modèle à front pénétrant dans la même situation.

Dans ce cas nous disposons d’un paramètre ajustable supplémentaire : la tortuosité du grain.

Ce modèle donne d’excellents résultats à condition d’utiliser une valeur de tortuosité de 400.

Cette valeur n’a évidement aucun sens physique. Le mécanisme sous-jacent ne permet donc pas d’expliquer le séchage de PVC. Le modèle peut être utilisé pour une optimisation du sécheur utilisé. Cependant, il ne présente aucun avantage par rapport au modèle à surface d’échange variable pour lequel une interprétation physique acceptable existe.

Les modèles tels quels ne permettent pas de simuler l’essai de thermogravimétrie analytique.

Celui-ci présente en effet une composante supplémentaire : l’échantillon est composé d’un empilement de grains. Aux différentes porosités intragranulaires vient s’ajouter la porosité intergranulaire. Une première approche serait donc de considérer qu’une même découpe en étapes de vidange des différentes tailles de pores est applicable. Nous n’observons cependant pas d’étape à vitesse constante dans l’essai de T.G.A. Les mécanismes impliqués sont donc probablement différents. Outre la porosité supplémentaire, l’échantillon présente des dimensions nettement plus importantes puisqu’il s’agit d’un cylindre de 6 mm de diamètre. Supposer des conditions uniformes dans un tel échantillon semble nettement moins acceptable. Cela est encore renforcé par le taux d’évaporation élevé imposé à l’échantillon suite à l’importante circulation de gaz réalisée à proximité de l’échantillon. Le modèle nécessaire à reproduire une telle expérience doit prendre en compte un nombre plus important de phénomènes. Si les puissances de calcul le permettaient, il serait intéressant de le confronter au modèle par réseau de pores.

Le cas d’intérêt industriel, le séchage en lit fluidisé, étant raisonnablement bien simulé à l’aide du modèle à surface d’échange variable, nous n’approfondissons pas la modélisation de l’essai de thermogravimétrie.

VIII.4 Application du modèle par réseau de pores au séchage de levure

Au point IV.1, nous déduisons, de l’analyse par microtomographie, une topologie et des

paramètres géométriques approchés pour le milieu poreux formé par un grain de levure. Nous

allons maintenant utiliser ces informations pour construire un réseau de pores. Après quelques

simplifications des distributions, nous présentons le couplage entre le modèle par réseau de pores

et les bilans globaux indispensables à une modélisation appliquée. Le paramètre ajustable du

modèle, la conductibilité hydraulique des films liquides K

, est obtenu par confrontation du

modèle avec un essai en lit fluidisé. Le modèle est ensuite appliqué à la modélisation d’autres

essais en lit fluidisé ainsi qu’à l’essai de thermogravimétrie analytique.

Fig. VIII.5 – Illustration de la connectivité d’un réseau tétrahèdrique. Pour aller du pore 0 au pore 5 sans passer par la liaison les reliant directement, le plus court chemin passe par 4 pores, par exemple, par les pores 1 à 4.

Fig. VIII.6 – Ajustement d’une loi log-normale sur la distribution du volume des pores.

VIII.4.1 Simplification des propriétés du milieu

Les distributions que nous obtenons sur base de la microtomographie peuvent, en théo- rie, être introduites telles quelles dans le modèle par réseau de pores. Pour des questions de simplicité, nous appliquons plutôt des distributions simplifiées.

La principale simplification porte sur le degré de coordination. Le traitement des images de microtomographie donne un degré de coordination moyen de quatre en trois dimensions.

Nous appliquons cependant dans le modèle le même degré de coordination qu’au chapitre VI, c’est-à-dire quatre en deux dimensions. La connectivité d’un réseau dont les éléments ont un degré de coordination de quatre n’est pas la même en 2D ou en 3D. Par exemple, considérons dans les deux cas, un pore et son voisin. Le chemin le plus court passant d’un de ces pores à l’autre sans emprunter la liaison les reliant passe, en 2D, par deux autres pores alors qu’en 3D il est nécessaire d’en traverser quatre, comme illustré sur la figure VIII.5.

La représentation du milieu poreux en deux dimensions est réalisée en considérant que nous simulons une tranche du milieu ayant une épaisseur d’un pore. Connaissant par microtomogra- phie le nombre de pores par unité de volume, nous en déduisons le nombre de pores de notre modèle.

Pour la distribution en volume des pores nous appliquons une loi log-normale approchant l’histogramme obtenu par microtomographie, comme illustré sur la figure VIII.6. Pour la dis- tribution du diamètre des liaisons, nous appliquons une loi normale dont les paramètres sont d = 5m , = 1; 25m . Il s’agit d’une évaluation grossière, les mesures par microtomographie ne permettant pas d’évaluation plus précise d’une distribution.

D’autres grandeurs, plus difficiles à évaluer expérimentalement, doivent également être fixées. Nous gardons comme paramètre ajustable la conductibilité des films K

. La conducti- bilité des liquides est fixée comme étant égale à celle de liaison ayant pour section un triangle équilatéral : K

= 0; 03. Cette valeur est choisie arbitrairement. Elle est 25 % plus faible que celle d’une liaison de section circulaire. Elle varie peu selon la forme de la section des liaisons tant que cette section conserve un rapport aire sur périmètre proche de celui du cercle. La distance séparant le centre de deux pores reliés par une liaison est fixé à 40 m . Cette valeur est basée sur la distance entre le centre de deux sphères en contact et ayant chacune le même volume que le pore moyen. Cette distance est doublée pour tenir compte de la tortuosité de 2 du système réel.

La valeur de y

est fixée à 0,25, ce qui correspond à un ménisque dans une liaison carrée présentant un angle de contact nul. A nouveau, ce choix est arbitraire. Il se répercute sur la valeur ajustée de K

. En effet, sur-évaluer y

facilite le transport par film. Si ce dernier est fixé, la valeur de K

ajustée diminue pour compenser la sur-évaluation de y

.

Sur base de ces valeurs, nous pouvons calculer un ordre de grandeur des nombres sans dimension caractérisant le système :

Ca

410

K

(VIII.17)

Ca

5K

(VIII.18)

Ca

210

(VIII.19)

Une fois une valeur de K

ajustée, nous pourrons utiliser ces expressions pour évaluer

l’impact relatif des différents phénomènes de transport modelisés.

Fig. VIII.7 – Schéma du couplage entre les bilans globaux et le modèle par réseau de pores.

VIII.4.2 Couplage entre le modèle par réseau et les bilans globaux

Le modèle par réseau de pores du chapitre VI suppose que les conditions extérieures, en particulier la température du milieu poreux et l’humidité de l’air en dehors du milieu, sont constantes au cours du temps. Pour l’étude du séchage, ces grandeurs sont fonction des conditions dans le réacteur. Celles-ci évoluent au cours du temps suite au séchage. Le modèle par réseau de pores doit donc être complété d’équations caractérisant le comportement du réacteur. Nous appliquons donc les bilans à l’échelle du réacteur déjà présentés au point VIII.1.1.

Pratiquement, le couplage est réalisé comme illustré sur la figure VIII.7. Les bilans globaux recoivent comme grandeurs d’entrées le débit d’air Q , l’humidité Y

et la températures T

de l’air en entrée du lit fluidisé, le taux d’évaporation J et la durée d’une itération t . Ces valeurs sont utilisées pour calculer l’humidité Y et la température T de l’air dans le réacteur. Sur base de la température, nous calculons la pression de saturation p

par la loi de Clausius- Clapeyron (équation V.10). Sur base de l’humidité de l’air, nous déduisons la pression de vapeur à l’extérieur du grain p

. Ces grandeurs sont alors transmises au modèle par réseau de pores.

Une itération de celui-ci est réalisée. Le taux d’évaporation et la durée de l’itération calculés par le réseau sont renvoyés comme données d’entrée pour les bilans globaux. L’évaporation provenant de la section de grain est considérée comme représentative de l’évaporation de tous les grains. Sur base de la surface totale des grains dans le réacteur, nous déduisons le taux d’évaporation global sur la durée de l’itération du modèle par réseau de pores. Les bilans globaux sont à nouveau résolus et ainsi de suite jusqu’à la fin du séchage. La quantité d’eau contenue dans le solide X est calculée sur base des bilans globaux. Néanmoins, il est calculé à l’aide du modèle par réseau de pores. Le volume de chaque pore de ce dernier correspond en effet à une fraction connue de la quantité totale d’eau contenue dans l’ensemble du solide. Au départ, le réseau est rempli de liquide et le taux d’évaporation est nul. Les conditions dans le réacteur sont égales aux conditions d’entrées.

Un problème numérique supplémentaire doit cependant être pris en compte. En effet, les bilans globaux sont des équations différentielles. Celles-ci sont résolues par la méthode des différences finies implicite ou suivant le schéma de Crank-Nicolson [143]. Dans un cas comme dans l’autre, le pas de temps utilisé pour la discrétisation ne peut excéder certaines valeurs, sans quoi, nous n’obtenons pas de solution physique. Or, en utilisant le couplage tel que nous l’avons décrit, le pas de temps est imposé par le modèle par réseau de pores. Si ce pas devient trop important, il peut mener à des solutions irréalistes. Pratiquement, le taux d’évaporation dépend directement de l’écart entre l’humidité de saturation de l’air et l’humidité dans le réacteur.

Physiquement, lorsque l’humidité dans le réacteur augmente, le taux d’évaporation diminue.

De ce fait, l’humidité dans le réacteur ne dépasse pas la valeur de saturation. Numériquement, lorsque le système est discrétisé, le taux d’évaporation est supposé constant pour une itération.

De ce fait, dans certaines situations, si le pas de temps est trop grand, l’humidité calculée peut dépasser la valeur de saturation.

Pour expliciter ce comportement, reprenons le bilan sur l’humidité de l’air, donné par l’équation (VIII.1). Ce bilan, discrétisé entre les temps t

et t

suivant la méthode des différences finies, s’écrit :

m

Y

Y

t

t

= Q (Y

(Y

(1 C

) + Y

C

)) + m

J

(VIII.20)

où

– les indices

et

désignent les valeurs de grandeurs qu’ils suivent aux itérations i et i + 1 ,

– C

est un paramètre de pondération, compris entre 0 et 1, définissant le schéma de discrétisation :

– pour C

= 1, il s’agit d’une discrétisation explicite, – pour C

= 0 , le schéma est implicite,

– C

= 0; 5 correspond au schéma de Crank-Nicolson.

Le pas de temps t

= t

t

donnant une humidité Y

= Y

est donc donné par t

= m

(Y

Y

)

Q (Y

(Y

(1 C

) + Y

C

)) + m

J

(VIII.21) Le pas de temps qui peut être appliqué au système pour conserver Y < Y

est nécessairement plus petit que t

.

Une équation similaire de pas de temps maximum peut être écrite pour l’équation de transport de chaleur (VIII.3). En effet, un refroidissement mène à une diminution de l’humidité de saturation et donc à une diminution du taux d’évaporation. Si le pas de temps d’une itération est trop important, la température du réacteur peut passer en dessous d’une valeur T

sous laquelle la pression de vapeur saturante est inférieure à la pression de vapeur dans le réacteur.

Cela revient à amener le réacteur dans des conditions de recondensation. La valeur du pas de temps maximum est donnée par

t

=

m

c

+ c

X

(T

T

)

Q (Y

(Y

(1 C

) + Y

C

)) H

+ Qc

(T

(T

(1 C

) + T

C

)) + m

c

J

(VIII.22) Le pas de temps du réseau de pores doit donc être adapté pour permettre la convergence des équations de bilans globaux dans le réacteur. Pour y parvenir, à chaque itération, nous transmettons au modèle par réseau de pores le pas de temps maximum admissible t

. Lorsque le modèle par réseau de pores calcule le temps t

nécessaire à vider le pore le plus rapidement vidé (étape présentée au point VI.3.7), il vérifie si t

> t

. Le cas échéant, le pas de temps du modèle par réseau de pores est limité à t

, aucun pore n’est totalement vidé.

La valeur à donner à t

n’est pas évidente à déterminer, puisque nous ne disposons

que de conditions nécessaires à la convergence des équations. De plus, les valeurs de ces

t

données par (VIII.21) et (VIII.22) ne sont pas connues. En effet, la valeur de t

doit être transmise au modèle avant le calcul du taux d’évaporation J

. Pratiquement, nous

évaluons donc les équations (VIII.21) et (VIII.22) en utilisant le taux d’évaporation de l’itération

précédente. Cette approximation n’est généralement pas problématique puisque, sauf au tout

début du séchage, le taux d’évaporation ne fait que diminuer. Une fois les valeurs approchées

de t

et t

calculées, nous ne gardons que la plus faible et nous la multiplions pas

un facteur d’amortissement C

compris entre 0 et 1. Ce terme arbitraire est appliqué pour

pallier à l’absence de conditions suffisantes pour la convergence. Plus ce facteur est proche de

0, plus les calculs prennent du temps. Nous utilisons généralement un facteur C

= 0; 15

obtenu empiriquement comme étant la plus grande valeur pour laquelle le résultat observé

est indépendant de C

. Notons que le choix de la méthode de discrétisation, au travers

du paramètre C

a un impact sur la valeur de t

. En analysant les équations (VIII.21)

(a) Résultats de trois simulations de réseaux basés sur des réseaux de mêmes distributions.

(b) Courbes obtenues en moyennant les résultats d’un nombre croissant de simulations.

Fig. VIII.8 – Comparaison des humidités de l’air de sortie pour différentes simulations dans les mêmes conditions et en considérant les moyennes sur un nombre croissant de simulations.

(a) Résultats de simulations comprenant plusieurs grains.

(b) Courbes obtenues en moyennant les résultats d’un nombre de simulations allant croissant.

Fig. VIII.9 – Comparaison des humidités de l’air de sortie pour des simulations contenant un

nombre croissant de grains et pour les moyennes sur un nombre croissant de simulations.

et (VIII.22), nous pouvons voir que l’application d’un schéma explicite (C

= 1) augmente les valeurs des t

par rapport au cas implicite ( C

= 0 ). Cet impact est cependant partiellement masqué par l’application de la constante multiplicative arbitraire C

dont la valeur limite peut a priori différer selon le schéma appliqué. Les schémas de discrétisation caractérisés par C

0; 5 sont intrinsèquement plus stables que le schéma explicite [143], mais ils entraînent, dans notre cas, des calculs plus longs. Nous utilisons donc généralement le schéma de Crank-Nicolson ( C

= 0; 5 ). Aucune étude systématique n’a cependant été réalisée pour identifier le schéma le plus adapté.

VIII.4.3 Application au séchage en lit fluidisé

Le modèle couplé que nous venons de présenter est appliqué pour simuler les essais de séchage en lit fluidisé présentés au point III.3.2. La géométrie étudiée correspond à une coupe d’un grain supposé sphérique et ouvert sur tout le périmètre. Nous obtenons donc une géométrie en forme de disque dont le diamètre comporte 38 pores. Le réseau complet comporte 1104 pores. Une simulation de l’évaporation complète dans une coupe d’un grain est réalisée en moins de deux minutes sur un processeur dual core.

Chaque simulation se base sur un réseau généré aléatoirement à l’aide des distributions définies au point VIII.4.1. Le résultat obtenu varie donc d’une simulation à l’autre. La figure VIII.8(a) présente l’humidité de l’air des simulations obtenues pour un même essai expérimental mais simulé par des réseaux différents générés aléatoirement sur base des mêmes distributions.

Nous pouvons y observer des différences non négligeables, principalement en fin de séchage.

Nous pouvons entre autres observer des variations de 15 % du temps total de séchage. La prise en compte de plusieurs grains ne peut pas rigoureusement être réalisée en moyennant simplement des courbes obtenues pour différentes coupes dans des grains. En effet, en cours de séchage, les grains peuvent s’influencer les uns les autres au travers des conditions dans le réacteur. Il est préférable de simuler plusieurs coupes en parallèle et de coupler leur taux d’évaporation moyen au modèle global. Cette démarche augmente cependant le temps de calcul de manière significative. Les systèmes d’équations à résoudre pour chaque coupe peuvent être calculés séparément, cependant le calcul du temps de l’itération est commun à toutes ces coupes.

La figure VIII.8(b) présente les courbes d’humidité de l’air obtenues en moyennant les résultats de plusieurs simulations. L’écart entre les différentes courbes diminue rapidement lorsque nous augmentons le nombre de simulations prises en compte. Passé 20 simulations, nous n’observons plus de différences significatives entre les courbes. La figure VIII.9(a) montre les résultats équivalents lorsque le nombre de grains dans une simulation est augmenté. L’écart entre les résultats reste plus marqué. Il est nécessaire de mettre plus de 30 grains pour obtenir un résultat qui ne dépende plus significativement du nombre de grains pris en compte. La figure VIII.9(b) compare l’humidité en sortie du réacteur obtenue en moyennant les résultats de 36 simulations avec un grain et en réalisant une seule simulation avec 36 grains en parallèles.

Même si la tendance est la même sur les deux courbes, une différence significative existe

pendant la phase à vitesse décroissante. Cette différence est particulièrement marquée en fin

de séchage. La courbe basée sur la moyenne des simulations s’arrête après 3450 secondes, bien

avant la courbe de la simulation contenant plusieurs grains. Le fait d’utiliser un grain à la

fois pour simuler l’ensemble des grains offre une résolution du système moins importante. En

effet,l’humidité totale dans le solide pour l’ensemble du réacteur se répartit entre les différents

pores explicitement simulés. Pour une coupe de 1104 pores, chaque pore représente à peu près

(a) Humidité du solide. (b) Humidité de l’air de sortie.

(c) Température de l’air de sortie.

Fig. VIII.10 – Comparaison entre une expérience en lit fluidisé et les courbes ajustées du modèle par réseau de pores, K

= 1; 1 10

.

(a) Pendant l’étape de séchage à vitesse constante.

(b) Au début de l’étape de sé- chage à vitesse décroissante.

(c) En fin de séchage.

Fig. VIII.11 – Distribution des phases prédite par le modèle par réseau de pores dans une

coupe d’un grain de levure à différents instants. La région occupée par le liquide est en noir,

la région contenant le film présente un niveau de gris proportionnel à l’épaisseur du film et la

région en blanc ne comprend que du gaz.

un millième de l’humidité initiale de l’ensemble du solide. Lorsque nous simulons 36 coupes simultanément, chaque pore représente un volume dans l’ensemble du réacteur 36 fois plus petit. Lorsque nous vidons le dernier pore du dernier grain pore, nous terminons le séchage.

Moyenner plusieurs courbes obtenues avec une seule coupe ne permet évidement pas d’obtenir d’informations sur ce qui se passe lorsque certains grains seulement sont totalement secs. C’est cette situation précise qui se marque par une cassure dans la pente de la courbe de la simulation à 36 grains après 3600 secondes : dans cette région, certains grains sont déjà complètement secs et l’évaporation provient uniquement des grains encore humides.

La variabilité d’un grain à l’autre qu’évoque notre modèle doit être tempérée. La simu- lation d’une coupe diminue fortement le nombre de pores simulés pour un grain. L’écart de comportement d’un grain à un autre en est donc renforcé. Des simulations en 3D basées sur l’ensemble du grain limiteraient fortement cet effet. Un nombre de grains nettement moins important est nécessaire pour parvenir à s’affranchir de la variabilité liées à la génération des réseaux.

La valeur de K

est ajustée sur base d’une simulation avec 36 grains par comparaison aux courbes d’humidité de l’air de sortie de l’essai expérimental 21 du tableau III.5(b).Le coefficient de transfert de matière vaut 0; 14 m=s qu’il soit calculé sur base de la corrélation de Ranz et Marshall (VIII.6) ou celle de Nelson et Galloway (VIII.10). Cet accord entre les valeurs est lié à la grande expansion du lit. Le coefficient de transfert est donc équivalent à celui qu’auraient des particules isolées. En terme d’épaisseur de couche de diffusion, ce coefficient est équivalent à une épaisseur de 250 m .

La confrontation entre l’expérience et le modèle est présenté sur la figure VIII.10 pour la valeur K

= 1; 1 10

. Nous pouvons y voir un bon accord global entre l’expérience et le modèle. La figure VIII.10(a) compare les quantités d’eau comprises dans le solide obtenues expérimentalement et par simulation. La légère sous-estimation de la masse simulée est pro- bablement liée à la valeur du débit utilisée dans le modèle. Celle-ci est basée sur la mesure expérimentale qui est entachée d’une erreur. La figure VIII.10(b) montre la comparaison entre l’humidité de l’air de sortie simulée et expérimentale. Les différentes phases successives sont correctement reproduites. L’humidité critique est cependant sous évaluée. La figure VIII.10(c) illustre la comparaison entre les températures de l’air de sortie. La courbe de température suit une évolution directement corrélée à celle de l’humidité de l’air de sortie. Cela nous donne un reproduction globalement satisfaisante de la température. Le profil exact du palier n’est cepen- dant pas correctement reproduit, ni la fin du séchage. Comme pour la modélisation continue du PVC (présentée au point VIII.3), cet écart est probablement partiellement lié au fait que nous négligeons l’inertie thermique de l’installation.

La valeur K

= 1; 1 10

est d’un ordre de grandeur acceptable. En effet, nous calculons des coefficient de conductibilité de film de cet ordre de grandeur lorsque nous les évaluons pour des liaisons de forme connue au point VI.6. Il s’agit cependant d’une valeur assez élevée.

La figure VIII.11 présente la distribution des phases à différentes humidités. En début de

séchage (figure VIII.11(a)) la surface du grain est alimentée en liquide par les films. Cette

alimentation explique l’existence d’une phase à vitesse constante. Lorsque le film n’atteint plus

la sortie du grain, situation illustrée sur la figure VIII.11(b), la phase à vitesse décroissante

débute. Les amas de liquide sont dispersés et présentent des formes irrégulières. Par contre,

la fin du film se présente à une distance quasi uniforme de la sortie du grain. L’évaporation

a donc lieu au niveau d’un front situé à une distance uniforme de la sortie du grain. Cette

situation rappelle le modèle continu à front pénétrant présenté au point VII.2.2. Nous l’ap-

pliquons d’ailleurs à la levure au point VIII.6. L’humidité critique, paramètre ajustable de ce

(a) Humidité du solide. (b) Humidité de l’air de sortie.

(c) Température de l’air de sortie.

Fig. VIII.12 – Validation croisée du modèle par réseau de pores sur une seconde expérience

de séchage en lit fluidisé.

modèle continu, peut être déduite du modèle par réseau de pores. Remarquons d’ailleurs que ce paramètre est souvent décrit comme étant une propriété du solide. Or, suivant l’interprétation que nous donne le modèle par réseau de pores, elle est en liée, dans le cas qui nous interesse, au retrait du film. Comme nous le présentons au point VIII.5.2, le niveau atteint par le film dépend de l’épaisseur de la couche de diffusion externe, et donc des conditions dans le réacteur.

La cinétique de recul du film dans le grain est contrôlée par la forme et la position des amas.

C’est la disparition de ceux-ci, très variable d’un grain à l’autre, qui explique les différences observées d’un grain à l’autre au niveau de l’humidité de l’air de sortie pour des simulations avec différents grains (comme illustré sur la figure VIII.8(a)).

En fin de séchage (figure VIII.11(c)) nous observons toujours un disque occupé par le film avec un nombre faible de pores contenant du liquide. Cette situation permet de mettre en avant une des faiblesses du modèle : l’existence des films est directement conditionnée par la présence d’amas de liquide. En fin de séchage, lorsque plus aucun pore n’est complètement rempli de liquide, les films disparaissent également. Dans la pratique, ces films résiduels peuvent encore prendre un temps non-négligeable pour s’évaporer. Leur vitesse de disparition peut être conditionnée par des phénomènes jusqu’alors négligeables comme les interactions chimiques entre la paroi et le liquide. Le modèle par réseau de pores peut donc s’avérer inadéquat pour la modélisation de la fin du séchage.

Les effets visqueux sont totalement absents des simulations réalisées. Sur base de la valeur de K

, nous pouvons déduire la valeur des nombres sans dimension des expressions (VIII.17) à (VIII.19). Nous pouvons ensuite évaluer une taille minimale de réseau pour laquelle les effets visqueux peuvent apparaître. En effet, suivant l’inégalité (VI.62), pour avoir des effets visqueux nous devons avoir dans ce cas-ci :

L

L

+ L

> 115 (VIII.23) Au début du séchage, L

= 0 et L

est représentatif de la taille du grain. Compte tenu de l’épaisseur de la couche de diffusion externe, nous en déduisons que les effets visqueux pourraient apparaître pour des grains dont le diamètre est supérieur à un centimètre. L’absence d’effets visqueux est donc justifiée. Nous appliquons donc pour la suite des simulations en lit fluidisé un algorithme sans effets visqueux.

Une validation croisée du modèle sur un autre essai en lit fluidisé (essai 18 du tableau III.5(b)), réalisé à un débit d’air d’entrée plus important, est présentée sur la figure VIII.12.

L’épaisseur de la couche de diffusion est cette fois-ci de 220 m . L’accord global reste satis- faisant. Remarquons cependant que le temps total de séchage est moins bien estimé.

VIII.4.4 Application à l’essai de T.G.A.

La confrontation du modèle avec l’essai de thermogravimétrie présenté au point III.3.1 vise à tester la robustesse du modèle par réseau de pores à d’autres situations.

Dans cette configuration, nous supposons que l’humidité de l’air à l’extérieur de l’échantillon est toujours nulle. Le bilan (VIII.5) de chaleur de l’échantillon est le seul à devoir être résolu. Le couplage avec le modèle par réseau de pores est donc légèrement simplifié. Le réseau présente une forme similaire aux réseaux théoriques étudiés dans le chapitre VI : le réseau forme un rectangle dont trois des côtés sont fermés et présentant une évaporation par le quatrième.

Nous supposons à nouveau que ce réseau représente une coupe ayant une épaisseur d’un pore

dans l’échantillon. Le nombre de pores est déduit de la microtomographie et des dimensions

(a) Humidité du solide. (b) Taux d’évaporation.

(c) Température de l’air de sortie.

Fig. VIII.13 – Comparaison entre le modèle par réseau de pores et l’essai de TGA.

de l’échantillon. Sur la hauteur, séparant la sortie ouverte du milieu du fond de l’échantillon, nous plaçons 61 pores. Le diamètre de l’échantillon en compte 244. Les distributions de volume des pores et de diamètre des liaisons sont les mêmes que pour les simulations des essais en lit fluidisé. L’épaisseur de la couche de diffusion évaluée sur base des corrélations est de 15 mum . Cette très faible valeur est liée à l’important débit d’air parcourant l’échantillon.

Une simulation sur une coupe est réalisée en quatre heures à l’aide du logiciel Matlab sur un processeur dual core.

La figure VIII.13 confronte les résultats de la moyenne de 5 simulations avec l’essai expéri- mental. La figure VIII.13(b) présente l’évolution du taux d’évaporation simulé et expérimental.

L’essai de T.G.A. ne présente pas de phase à vitesse constante. Cette observation est cor- rectement prise en compte par le modèle. Les différences de conditions extérieures, couche de diffusion plus petite et humidité de l’air plus faible qu’en lit fluidisé, entraînent une évaporation plus rapide qui ne permet pas au film d’être présent en surface de l’échantillon. Le film recule donc rapidement dans l’échantillon, formant un front qui s’enfonce directement dans le solide.

L’existence d’une seconde phase pour laquelle la décroissance du taux d’évaporation est plus importante n’est absolument pas prédite par le modèle, tout au plus elle est esquissée sur la fin de la courbe. Comme dans le cas des grains en lit fluidisé, il est nécessaire de tenir compte d’un plus grand nombre de pores simultanément pour arriver à vérifier le comportement du système aux plus faibles humidités. La mise en parallèle de plusieurs coupes n’a cependant pas été réalisée. Comme pour les simulations des essais en lit fluidisé, une simulation directe de l’ensemble du grain en trois dimensions serait préférable. Elle n’est cependant pas réalisable à l’heure actuelle.

Des effets visqueux apparaissent au début de la simulation. Ils ne représentent cependant que 0,2 % du nombre total d’invasions. La réalisation de simulations similaires sans effets visqueux ne mène pas à des différences significatives au niveau du taux d’évaporation. Leur apparition est limitée à la vidange des liaisons frontières, c’est-à-dire, celles qui jouxtent di- rectement la sortie du milieu. La faible épaisseur de la couche de diffusion externe entraîne une évaporation au niveau de ces liaisons suffisamment rapide que pour entraîner l’apparition d’effets visqueux. Dès que ces liaisons sont vidées, le taux d’évaporation diminue significative- ment et ces effets disparaissent. Bien que présents en début de séchage, ils peuvent donc être négligés. Un calcul similaire à celui présenté pour le grain du lit fluidisé, basé sur l’équation (VIII.23), prédit que des effets visqueux peuvent apparaître pour des échantillons de plus de trois millimètres. Cela est donc cohérent avec résultats observés puisque l’échantillon fait six millimètres de rayon.

Le calcul a posteriori du bilan d’humidité de l’air sur base des taux d’évaporation donnés par le modèle mène à une valeur d’humidité de l’air négligeable ( p

< 0; 01 ). L’hypothèse de pression de vapeur dans l’air de sortie nulle pendant toute l’opération est donc justifiée.

VIII.4.5 Influence des propriétés du réseau

Avant de réaliser l’analyse de la structure du réseau par microtomographie, nous avons

réalisé des simulations à l’aide du modèle par réseau de pores [162]. Nous y utilisons des

distributions uniformes de tailles des pores et des liaisons évaluées sur base des images obtenues

par microscopie électronique (présentées en III.1.4). Ces distributions, ainsi que l’évaluation

du nombre total de pores, sont moins précises que celles obtenues par microtomographie. En

particulier, la distribution de taille des liaisons s’étale entre 4 m et 6 m et la coupe comporte

3800 pores. Les distributions portent donc sur des diamètres de liaisons centrés sur la même

valeur.

Le coefficient de conductibilité du film y est ajusté à une valeur de 5 10

, soit moins de la moitié de ce que nous obtenons avec les distributions déduites de la microtomographie. Les résultats obtenus avec ces autres distributions et valeurs ajustées du paramètre sont pour le reste tout à fait comparables à ceux que nous venons de présenter. L’impact du choix de la distribution en taille des liaisons est donc masqué par le changement de valeur du coefficient de conductibilité du film. Ceci illustre l’impact central du modèle de film. Ce dernier implique l’existence d’un front d’évaporation en fin de film à une distance relativement uniforme de la sortie du milieu. Il gomme donc partiellement les effets liés à la forme complexe des amas de liquide. L’impact de ceux-ci se concentre sur la vitesse de progression du front dans le milieu.

L’utilisation de la conductibilité du film comme paramètre ajustable renforce encore l’effet masquant du film. En effet, nous jouons sur l’importance du film pour masquer d’éventuels autres phénomènes.

VIII.4.6 Discussion de l’application du modèle par réseau de pores

L’application que nous venons de présenter du modèle par réseau de pores couplé à des bilans globaux sur le réacteur démontre la capacité de cette approche à simuler des procédés d’intérêt industriel. Le nombre important de phénomènes impliqués dans le modèle permet la prédiction approximative du comportement de systèmes aussi différents que l’essai de T.G.A.

et les essais en lit fluidisé.

Le modèle de film joue à ce titre un rôle central. Comme nous l’affirmons au point VI.7, le modèle de film donne un ordre de grandeur moyen de l’influence du film sur le séchage. Des informations expérimentales précises du comportement local du film ne sont ni disponibles ni facilement utilisables. Il est donc indispensable d’en ajuster la valeur sur base de données expéri- mentales. La procédure que nous appliquons, basée sur des données expérimentales du séchage d’un grain, permet d’obtenir des résultats satisfaisants pour une valeur du paramètre dont l’ordre de grandeur est le même que celui obtenu pour des liaisons simplifiée dont la forme est connue. Cet ajustement a cependant un défaut important : l’influence du film masque d’autres éléments qui peuvent influencer le séchage. Les principaux dont nous ne tenons pas compte sont probablement le rétrécissement du grain, dont nous discutons l’influence brièvement au point VIII.7, et la topologie du milieu. De fait, nous réalisons toutes nos simulations sur des réseaux en deux dimensions et présentant une connectivité fixée. L’impact de ces deux hypo- thèses est implicitement compensé dans l’ajustement du coefficient de conductibilité du film.

Une validation plus avancée du modèle implique donc la réalisation d’une modélisation en 3D avec une connectivité adaptée et une évaluation de l’impact du rétrécissement.

VIII.5 Application des modèles continus au séchage de levure

VIII.5.1 Simulations pour les essais en lit fluidisé

Nous présentons maintenant l’application au séchage en lit fluidisé de deux des trois modèles continus présentés dans la section VII.2 :

– le modèle à isotherme, historiquement utilisé dans la littérature [66],

– le modèle à front pénétrant, qui semble particulièrement adapté au séchage de levure en

lit fluidisé puisque le modèle par réseau de pores prédit l’existence d’un front d’évapora-

tion uniforme pénétrant dans le milieu.

(a) Humidité du solide. (b) Humidité de l’air de sortie.

(c) Température de l’air de sortie.

Fig. VIII.14 – Comparaison entre une expérience en lit fluidisé et les courbes ajustées des deux modèles continus.

(a) Humidité du solide. (b) Humidité de l’air de sortie.

(c) Température de l’air de sortie.

Fig. VIII.15 – Validation croisée du modèle à front pénétrant.

Ce second modèle a initialement été développé par Laure Bossart dans sa thèse [25], les résultats complétés ont fait l’objet d’une publication [163]. Le troisième modèle n’est pas appliqué à la levure parce que rien ne tend à indiquer sa validité dans le cas considéré.

Le modèle basé sur les isothermes est la combinaison du modèle présenté au point VII.2.1 et des équations de bilan global du point VIII.1.1. Le modèle à front pénétrant est la combinaison des équations du point VII.2.2 et des bilans globaux dans le lit fluidisé. Pour les deux modèles, la pression de saturation dépend de la température suivant la loi de Clausius-Clapeyron (V.10).

Pour le modèle à front pénétrant, nous disposons de deux paramètres ajustables : l’humidité critique et la tortuosité du grain.

La figure VIII.14 compare les simulations réalisées avec ces deux modèles à une expérience en lit fluidisé (l’essai 21 du tableau III.5(b)). Pour le modèle à isotherme, en gris, l’accord entre le modèle et l’expérience laisse largement à désirer. L’humidité critique est sous évaluée et le taux d’évaporation de la phase décroissante reste longtemps plus important que le taux d’évaporation expérimental. Il en résulte une prédiction du temps de séchage plus court que celui observé expérimentalement. Le modèle à isotherme suppose un équilibre thermodynamique entre l’eau du grain et la vapeur dans le lit fluidisé. Celui-ci est atteint lorsque les transports de matière dans l’ensemble du système sont infiniment rapides par rapport à l’évaporation. C’est alors effectivement la courbe de l’isotherme qui permet de décrire le séchage. Cet équilibre n’est cependant pas atteint et il est indispensable de prendre en compte les phénomènes de transport internes aux grains.

Pour le modèle à front pénétrant, les paramètres ajustés valent = 5 et X

= 1 kilo d’eau par kilo de solide sec. L’écart entre les humidités en sortie de lit obtenue par le modèle et l’expérience est très faible. En particulier, le temps total de séchage est correctement prédit.

La figure VIII.15 présente la validation croisée du modèle avec les mêmes valeurs de pa- ramètres sur l’essai 18 du tableau III.5(b). L’accord reste globalement bon même si un écart avec l’expérience se marque en fin de séchage, ce qui mène à une sur-évaluation du temps de séchage. Cette conclusion est identique à celle que nous obtenons à l’aide du modèle par réseau de pores.

La valeur de la tortuosité est largement supérieure à celle mesurée par microtomographie où elle ne valait que 2. Comme pour le modèle par réseau de pores, le paramètre ajustable masque l’ensemble des phénomènes pouvant influencer le séchage dans la phase à vitesse décroissante.

Cette capacité de l’ajustement paramétrique à masquer les hypothèses simplificatrices peut entre autre être illustré au niveau des pertes de chaleurs vers l’extérieur. En effet, la réalisation de simulations en négligeant cet élément mène à une moins bonne reproduction de la tempéra- ture de sortie ainsi qu’à une valeur optimale de tortuosité de 6. Avec cette valeur, l’accord entre l’humidité de l’air de sortie simulée et expérimentale reste d’une qualité comparable à celle pré- sentée sur les figures VIII.14 et VIII.15. La simulation d’un plus grand nombre de phénomènes peut donc mener à l’obtention d’une valeur de paramètre plus proche de celle mesurée. En particulier, le rétrécissement de la levure et la géométrie cylindrique du grain devraient être pris en compte dans le modèle.

VIII.5.2 Simulations pour l’essai de T.G.A.

Le modèle à front pénétrant permet la reproduction des essais de séchage en lit fluidisé.

Nous pouvons de manière similaire l’appliquer à l’essai de thermogravimétrie analytique. Dans

ce cas, nous devons adapter l’équation du front pénétrant pour qu’il considère le recul d’un

front plan plutôt que celui d’un front sphérique. Cela nous mène à l’expression du coefficient

(a) Humidité du solide. (b) Taux d’évaporation

(c) Température de l’échantillon

Fig. VIII.16 – Comparaison entre l’expérience de T.G.A. et le modèle à front pénétrant.