D1905. Dichotomies en série
Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on mène les trois droites qui partagent le
périmètre du triangle en deux parties de même longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point J.
Q2 : On opère de la même manière avec trois droites passant par les milieux des côtés de ce même triangle. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point K.
Q3 : I étant le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, démontrer que K est au milieu du segment IJ.
Solution proposée par Gaston Parrour
La figure ci-dessous précise les notations utilisées dans la suite et les diverses droites considérées :
– en rouge les droites définies à la question Q1 – en bleu les droites définies à la question Q2
– en vert les bissectrices mises en jeu à la question Q3 Dans toute la suite p désigne le demi-périmètre du triangle.
a, b et c désignent les longueurs des côtés opposés respectivement aux sommets A, B et C
Q1 Les trois droites issues des sommets et qui divisent le périmètre du triangle en deux parties égales sont concourantes en J
on a :
pA B = p – c pA C = p – b pB C = p – a pB A = p – c pC A = p – b pC B= p – a
On peut appliquer le théorème de Ceva : la condition nécessaire et suffisante pour que trois droites issues des sommets d' un triangle soient concourantes, est qu' elles
découpent sur les côtés opposés des segments vérifiant une relation qui avec les notations de la figure, s' écrit ici :
pA B/ pA C x pB C/ pB A x pC A/ pC B = 1
Il est clair que cette relation est vérifiée avec les longueurs des différents segments considérés ici.
Les droites définies à la question Q1 sont concourantes en J
Remarque : sans évoquer le théorème de Ceva, on peut démontrer « directement » que J, point de concours des droites A pA et C pC est sur la droite B pB.
Il suffit d' ailleurs ici, si l'on ne met pas en jeu des lignes trigonométriques, de se placer par exemple dans le système de coordonnées obliques BC, BA.
On trouve dans ce système que X
J = a(p-c)/p et Y
J = c(p-a)/p Il est alors aisé de vérifier que ce point appartient à la droite B pB
Q2 Les trois droites issues des milieux des côtés (MA, MB, MC) et qui divisent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur, sont concourantes
Soit K le point d' intersection de deux de ces droites, par exemple (MA
p
MA) et(MB
p
MB)La droite des milieux MA MC est parallèle à AC donc angle MCMA
p
MA = angle MAp
MAMBD' autre part, puisque MA MB est droite des milieux : MA MB = c/2 Et le segment
p
MA MB a pour longueur p – a/2 – b/2 = c/2Par conséquent dans le triangle isocèle MA pMA MB de sommet MB : angle MA
p
MAMB = angle MBMAp
MA Donc le segment MAp
MA est bissectrice de l' angle en MA du triangle MAMBMCOn démontre de même que les deux droites analogues à MA
p
MA, issues de MB et de MC , sont les deux autres bissectrices de ce triangleLes trois droites définies à la question Q2, identifiées aux bissectrices du triangle MAMBMC, sont donc concourantes au point K.
Q3 I point de concours des bissectrices de ABC (centre du cercle inscrit) est tel que K est milieu de I J
Soit G le centre de gravité du triangle ABC :
I et K sont des points de concours de bissectrices respectivement dans deux triangles ABC et MAMBMC
Ces deux triangles se correspondent par une homothétie H de centre G et de rapport -2 (passage de MAMBMC à ABC )
En utilisant cela, montrons que J défini en Q1 est aussi le point de concours des bissectrices d' un triangle A'B'C' où les points ABC sont les milieux de ses côtés Autrement dit, A'B'C' est le transformé de ABC par l' homothétie H précédente .
Pour cela rappelons que le point de concours des bissectrices d' un triangle ABC est le barycentre des trois points (A,a) (B,b) (C,c) où a, b, c sont les longueurs des côtés opposés aux sommets.
Dans le triangle A'B'C', les côtés ont pour longueur 2a, 2b, 2c . Soit J' le point de concours de ses bissectrices, montrons que J' se confond avec J défini en Q1
Puisque J' est barycentre de (A',a), (B',b), (C',c) (un facteur 2 dans les poids affectés aux points a été enlevé ici sans bien sûr affecter la position de J'), on peut essayer de déterminer ce même barycentre J' par groupements successifs (propriété du barycentre)
On va considérer qu' en fait (A',a), est la superposition de (A',b1) et (A',c1) (B',b), est la superposition de (B',c1) et (B',a1) (C',c), est la superposition de (C',a1) et (C',b1) Avec b1+c1 = a
c1+a1 = b a1+b1 = c
Soit donc a1=p-a b1=p-b c1=p-c
On peut alors considérer que A milieu de B'C' est barycentre de (B',a1) et (C',a1) et A est alors affecté du poids 2a1.
De même B milieu de A'C' est barycentre de (A',b1) et (C', b1) B est affecté du poids 2b1
Enfin C est barycentre de (A',c1) et (B',c1) avec le poids 2c1
Il reste alors à déterminer le barycentre J' de ces points (A,a1) (B,b1) (C,c1) (la simplification du facteur 2 dans les poids attribués aux points ne changeant rien à la détermination de ce barycentre).
OR, si on examine les longueurs des segments de type pA B, pA C, etc ...
trouvées au début de Q1, on voit que le point pA peut être considéré comme le barycentre de (B,p-b) et de (C,p-c).
Ceci peut être reconduit de façon similaire pour les points pB et pC.
En définitive, J défini à la question Q1, apparaît comme le barycentre des trois points (A,p-a), (B,p-b), (C,p-c)
Compte tenu des valeurs de a1,b1 et c1 déterminées ci-dessus, J' se confond donc
avec J : J est le point de concours des bissectrices de A'B'C'
Dans cette homothétie H de centre G et de rapport -2 tous les points de même type se correspondent ; en particulier les points de concours des bissectrices des trois triangles mis en jeu ; MAMBMC , ABC et A'B'C' :
– tout d' abord, G, K, I, J sont alignés
– de plus (en gras, les mesures algébriques des segments) on a les relations : GI = -2GK
GJ = -2GI = 4GK, par conséquent
IK = GK – GI = 3GK IJ = GJ – GI = 6GK, donc IJ = 2 IK
En conclusion de Q 3 :
I, J, K alignés et K est au milieu du segment IJ
