D1933. Les deux points remarquables
P est un point fixe du plan. On donne trois nombres réels positifs a, b et c. Parmi les triangles ABC tels que PA = a, PB = b et PC = c, on détermine :
1) le triangle T
1dont le périmètre est le plus grand. P est un point remarquable du triangle. Lequel ? 2) le triangle T
2dont l’aire est la plus grande. P est un point remarquable du triangle. Lequel ?
Application numérique : PA = 1, PB = et PC = + 1. Calculer le périmètre de T
1et l’aire de T
2. Solution Proposée par Gaston Parrour
La figure ci-dessus précise les notations. Les cercles en pointillés sont les lieux des sommets A, B, C Un de ces triangles ABC est représenté ici.
1 – triangle T1 de périmètre maximum
Pour chacun des côtés tel que BC : BC2 = b2 + c2 – 2bc cos(alph) ( E) Donc
Périmètre = sqrt ( b2 + c2 – 2bc cos(alph) ) + sqrt ( c2 + a2 – 2ca cos(bet) ) + sqrt ( a2 + b2 – 2ab cos(gam) ) Les trois angles de sommet P sont liés par la relation alph + bet + gam = 2PI
Le Périmètre dépend donc de deux paramètres indépendants, par exemple les angles notés alph et bet.
gam
alph bet
Avec cos(gam) = cos[2PI-(alph+bet)] = cos(alph+bet) , on peut écrire :
Périmètre = sqrt ( b2 + c2 – 2bc cos(alph) ) + sqrt ( c2 + a2 – 2ca cos(bet) ) + sqrt ( a2 + b2 – 2ab cos(alph+bet)) Ce périmètre est extremum lorsque les dérivées partielles premières sont nulles :
Ici Dy/Dx sera la notation de la dérivée partielle. Ainsi
D(Périmètre)/Dalph = bc sin(alph)/BC + ab sin(alph+bet)/AB = 0 (1) D(Périmètre)/Dbet = ca sin(bet)/CA + ab sin(alph+bet)/AB = 0 (2) Or sin(alph+bet) = sin(2PI – gam) = -sin(gam)
Les deux relations ci-dessus permettent d'écrire :
b sin(alph)/BC = a sin(bet)/CA (3) or dans les triangles PBC et PCA on a respectivement:
sin(alph)/BC = sin (b2)/c = sin (c1)/b (4) sin(bet) /CA = sin(c2)/a = sin(a1)/c (5) Ces relations jointes à la relation (3) conduisent à sin(c1) = sin(c2)
on en déduit angle c1 = angle c2 ===> PC est bissectrice de l'angle en C ( ang C) On a fait jouer ici un rôle particulier à l'angle gam = ang APB (sous-tendu par AB, comme ang C).
Il est clair qu'en remplaçant alph par 2PI – (bet+gam) on aurait trouvé ===> PA bissectrice de ang A bet par 2PI – (alph+gam) on aurait obtenu ===> PB bissectrice de ang B
DONC l'extremum du périmètre est obtenu lorsque P est le centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices internes. Cet extremum constitue un maximum : le minimum du périmètre étant obtenu avec A,B,C alignés.
Avec ceci, les relations (4) et (5) conduisent respectivement à
sin ( ang B/2) / c = sin ( ang C/2) / b et sin ( ang C/2) / a = sin ( ang A/2) / c soit donc
c sin ( ang C/2) = b sin ( ang B/2) = a sin ( ang A/2) = K (6) K désigne la valeur commune des trois expressions figurant dans (6)
Dans cette relation interviennent les sinus des demi-angles au sommet (la somme de ces angles est PI/2).
Donc le système (6) a une solution si on connait a, b, c
A.N. On peut essayer de la déterminer en remarquant que si K est la valeur commune des termes de la suite (6) , on doit avoir K < Inf (a,b,c)
Avec les données numériques, on a ici K < 1 au sens strict.
De plus, en se laissant guider par b= sqrt(2), on peut penser à choisir K = 1/sqrt(2) Dans ce cas :
sin(ang A/2) = 1 / sqrt(2) ==> A/2 = PI/4 sin(ang B/2) = 1 / 2 ==> B/2 = PI/6 sin(ang C/2) = 1/sqrt(2) /c = sqrt(2) x (sqrt3 - 1) / 4
Le membre de droite est le développement de cos(PI/4 + PI/6) donc le sinus de ( PI/2 – (PI/4 + PI/6) ).
Cela est exactement la valeur attendue pour C/2 à partir de de (A+B+C)/2 = PI/2 et des valeurs trouvées pour A/2 et B/2.
Donc la solution A = PI/2 B= PI/3 C = PI/6 convient
Le triangle ABC étant déterminé et puisqu'il s'agit ici d'un triangle rectangle qui est moitié d'un triangle équilatéral de côté BC, son périmètre est
Périmètre maximum = (3/2 x longueur de BC) + AC
Longueur de BC opposé à A est donnée par l'expression initiale (E) où l'angle alph dans le triangle BPC est alph = PI – B/2 – C/2 = PI – 3PI/12 = 3PI/4
BC = sqrt [ 2 + (1+sqrt(3))2 – 2xsqrt(2)x(1+sqrt(3))x cos(3PI/4)]
= sqrt [ 6 + 2sqrt(3) + 2 (1+sqrt(3)) ] = 2 x sqrt (2 +sqrt(3))
AC est la hauteur du triangle équilatéral de côté BC AC = BC sqrt(3) / 2
AC = sqrt (3) x sqrt (2 +sqrt(3))
===> Périmètre maximum = sqrt(2 + sqrt(3)) x ( 3 + sqrt (3)) 2 – triangle T2 d'aire maximum
L'aire de ABC s'exprime comme la demi-somme des aires des 3 triangles de sommet P (PAB,PBC,PCA) Aire = 1 / 2 [ bc sin(alph) + ca sin(bet) + ab sin(gam) ]
Avec (par exemple) gam = 2PI – (alph + bet) , on remplace « sin(gam) » par « - sin(alph+bet) »
En suivant la même démarche que dans la première partie, l'extremum de la fonction Aire sera défini par l'annulation de deux dérivées partielles (ici par rapport à alph et bet). Il est clair ici aussi, que cet extremum est un maximum.
Cela conduit au système suivant :
bc cos(alph) – ab cos (alph+bet) = 0 (1) ca cos(bet) - ab cos (alph+bet) = 0 (2) Soit donc
(1) ==> c cos(alph) = a cos(gam) (1') (2) ==> c cos (bet) = b cos(gam) (2')
La première relation exprime que la projection de PC sur (BP) égale la projection de PA sur (BP) donc BP est la perpendiculaire à AC issue de B
De même, la seconde relation exprime que la projection de PC sur (AP) égale la projection de PB sur (AP) donc AP est la perpendiculaire à BC issue de A
===> P est l'orthocentre de ABC lorsque l'aire de ABC est maximale
On en déduit alors les égalités suivantes entre les angles partiels en A, B, C (voir figure initiale) : ang A1= ang B2 ang B1 = ang C2 ang C1 = ang A2 (3)
A.N. Les deux relations (1') et (2') permettent d'écrire
cos (alph) /a = cos(bet) / b = cos(gam) / c = K1 (4)
Les relations (3) jointes aux relations des sinus dans les trois triangles de sommet P, permettent d'écrire sin A1 / c = sin B1 / a = sin C1 / b = K2 (5)
N.B. On vérifie que ces relations sont les mêmes si l'orthocentre est extérieur au triangle ABC
La résolution numérique de l'une ou l'autre de ces équations (dont la solution fixerait l'aire maximale du triangle ABC) exige ici la détermination de K1 ou de K2 lesquels sont clairement inférieurs à 1/c en valeur absolue.
Avec les données numériques : aucune solution « évidentes » pour ces constantes n'a été trouvée .
( en écrivant par exemple que gam = 2PI -(alp+bet) et en exprimant cos(gam) comme c x K1 et aussi comme le développement de cos(alph+bet) on aboutit à une équation de degré 3 en K1 qui ne présente pas a priori de solution immédiate avec ces données numériques) .
