6.2 Paramètres qui influencent les angles d’érosion et de sédimentation
7.1.3 Vitesse d’érosion
Une différence majeure que nous avions déjà soulevée est la portée des différentes modélisa-tions, notamment ce que ne prédit pas notre modèle. Le diagramme d’évolution que nous avons construit, en analogie avec le modèle BCRE, ne prédit que la présence d’érosion ou de sédimen-tation au niveau de l’interface solide liquide. Mathématiquement, il ne prédit que le signe du terme d’échange dΓ entre les deux phases. Rien n’est dit sur son intensité, c’est-à-dire sur la vitesse d’érosion ou de sédimentation.
Toutefois, notre modélisation contient quelques pistes pour cela et nous aimerions les évoquer ici. Prenons le cas de l’érosion : celle ci se produit si l’énergie transmise par la phase liquide au grain supérieur de la phase solide est supérieure à l’énergie qui le maintient statique. Ce bilan d’énergie peut être également appliqué pour le deuxième grain de la phase statique, situé juste en dessous de lui. En effet, la cascade de collisions se propage de proche en proche, ce dernier est donc alors très probablement impliqué dedans. Tout comme le grain situé à la surface, il reçoit de l’énergie de la phase liquide. De la même façon, si l’énergie reçue par la deuxième couche de grains solides est supérieure à l’énergie qui les maintient statiques, ceux-ci vont se mettre en mouvement. La phase solide diminue d’une taille de deux rayons, la phase liquide augmente de la même quantité. Et on peut recommencer le même raisonnement pour des grains situés une couche en dessous, etc ... Lors du mouvement d’un grain sur une période spatiale au niveau de l’interface, l’épaisseur de la couche solide ∆S qui est érodée est définie comme l’entier maximal qui vérifie :
Nflu[R]
Nsol[S]∆EK[θ, R] > ∆EB[θ, R + ∆S]. (7.4) L’épaisseur ∆S est comptée en nombre de grains. Il est important de noter que l’Equation.7.4 est obtenue dans le cas d’un régime d’écoulement stationnaire du bas de la phase liquide. Lorsqu’il y a érosion au niveau de l’interface, l’épaisseur de la phase liquide augmente et l’écoulement n’est a priori plus stationnaire. Par la suite, nous continuerons à supposer l’écoulement stationnaire
par simplicité. On a alors : ∆S = Nflu[R] Nsol[S] ∆EK[θ, R] ∆EB[θ, R] − 1 R, (7.5)
où on prend la partie entière du terme de droite. L’épaisseur de matière érodée ∆S a un sens seulement si l’expression de S obtenue via Equation.7.5 est positive. On peut naturellement séparer l’Equation.7.5 en deux termes. Le premier terme, entre parenthèses, traduit l’écart entre la pente θ du système et l’angle de référence pour le phénomène d’érosion, θero. Il est croissant avec la pente θ de l’interface et s’annule pour une pente θ = θero. L’angle d’érosion θero est donné par la valeur minimale de la pente pour laquelle le terme entre parenthèses s’annule. Le second terme fait juste apparaître l’épaisseur de la phase liquide. On peut alors définir une vitesse d’érosion vero comme l’épaisseur de la couche érodée ∆S par le mouvement du grain le long d’une période divisée par le temps Tmouv que ce grain prend pour parcourir cette distance. On a alors :
vero= 2a∆S/Tmouv. (7.6)
24 30 32 5 10 15 20 25 0
S
✓
S grains Erosion 26 28 R 5 10 15 ✓(i)
✓ero[R = 5] 5 10 15 20 20 100
R
S
S grains
✓ = ✓ero[R = 5] ´er os ion p as d ’´e ros ion(ii)
5 15Figure 7.3 – (i) Evolution de l’épaisseur érodée ∆S en fonction de l’angle θ de l’interface solide-liquide pour différentes épaisseurs R de phase solide-liquide. On retrouve l’angle d’érosion θerocomme la valeur minimale de la pente pour laquelle ∆S est non nulle. (ii) Evolution de l’épaisseur érodée ∆S en fonction de l’épaisseur R de phase liquide pour un angle d’interface solide-liquide θ = θero[R = 5]. Pour des valeurs d’épaisseur inférieures à cette valeur, R < 5, il n’y a pas d’érosion : ∆S = 0.
On trace Figure.7.3 (i) l’épaisseur de la couche érodée ∆S en fonction de la pente θ de l’interface pour différentes épaisseurs de phase liquide R. Si la pente θ est inférieure à l’angle d’érosion, il n’y a pas de matière érodée ∆S = 0. Passée la limite θ > θero, plus la pente de l’interface est grande, plus l’écart avec l’angle d’érosion est grand et plus la couche érodée est profonde. C’est un résultat cohérent : quand la pente θ augmente, l’énergie transmise de la phase liquide à la phase solide augmente en même temps que l’énergie de barrière qui maintient la co-hésion de la phase solide diminue. Le phénomène d’érosion est amplifié, ∆S augmente. Pour des pentes θ proches de l’angle limite d’érosion, l’évolution de l’épaisseur érodée ∆S est assimilable
à une droite. Cette plage de valeurs est néanmoins relativement faible, environ 10% de la valeur critique.
On remarque également que, à une pente d’interface θ fixée, on a une augmentation quasi-linéaire de l’érosion ∆S avec l’épaisseur R de la phase liquide, Figure.7.3 (ii). Ceci est d’au-tant plus vrai quand R est grand. En effet, pour des phases liquides suffisamment épaisses, R >> ξ1/D, le terme entre parenthèses de l’Equation.7.5 ne dépend plus de l’épaisseur du fluide. On a alors ∆S ∝ R, l’épaisseur de solide érodé est proportionnelle à l’épaisseur de la phase fluide.
Lorsque l’épaisseur R de la phase fluide devient grande devant la longueur de coopérativité ξ1/D, l’angle critique d’érosion devient une constante θero∞. Cela signifie que l’angle critique de la pente de l’interface solide-liquide pour qu’il y ait érosion est le même quelle que soit l’épaisseur de la phase fluide. Néanmoins, s’il y a érosion, celle-ci sera d’autant plus importante que la phase fluide est épaisse : la quantité de matière érodée sera proportionnelle à l’épaisseur de la phase liquide.
On obtient une dépendance similaire en augmentant non pas l’épaisseur de la phase liquide mais la friction effective entre les grains µeff, voir Annexe C.2.
On peut alors retrouver une expression du terme d’échange entre les deux phases lorsqu’il y a érosion. La vitesse d’érosion ainsi définie Equation.7.6 représente la vitesse de déplacement de l’interface solide-liquide. Elle est donc égale à l’opposé du terme d’échange Γ dans la théorie BCRE. On a alors : Γ = − 2a Tmouv Nflu[R] Nsol[S] ∆EK[θ, R] ∆EB[θ, R] − 1 | {z } 'β(θ−θero) R (7.7)
On réalise un développement limité au premier ordre du terme entre parenthèses pour des valeurs de pente θ proches de la valeur critique de pente θero. On a alors :
Γ = − 2aβ Tmouv
R(θ − θero). (7.8)
On retrouve alors, grâce à une description discrète du milieu granulaire, une expression similaire à celle de BCRE pour le terme d’échange lorsqu’il y a érosion de la phase solide Γ = − ˙γR(θ−θn), avec ˙γ = T2aβ
mouv et θero ∼ θn. Cependant, comme nous l’avons dit précédemment, dans notre mo-délisation de l’angle critique d’érosion dépend de l’épaisseur de la phase liquide θero[R]. De plus, il faut remarquer que ce résultat n’est possible que s’il existe un phénomène de coopérativité entre les grains : le choc qui se produit au niveau de l’interface se propage dans les deux phases et peut modifier le comportement des grains en profondeur. Le phénomène de coopérativité entre les grains solides permet à l’énergie transmise par la phase liquide de pénétrer en profondeur dans la phase solide et ainsi de mettre en mouvement des grains qui ne sont pas à l’interface. Un raisonnement similaire n’est pas directement applicable dans le cas de la sédimentation. Nous traiterons plus en détail la propagation de la sédimentation dans la phase liquide dans la partie consacrée à l’étude de l’expérience de plan incliné.
Nous avons dans cette partie présenté un diagramme d’évolution du système granulaire bi-phasique solide-liquide. Suivant où se trouve le système dans le plan {R, θ}, le diagramme d’évo-lution illustré Figure.7.2 permet de prévoir les phénomènes qui peuvent se produire à l’interface : érosion, sédimentation ou ni l’un ni l’autre. Dans la partie qui suit, nous verrons comment appli-quer ce diagramme d’évolution à 2 expériences. Cela nous permettra de comparer les prédictions
théoriques de notre modèle à des données expérimentales.