Cinématique d’un grain en mouvement à l’interface

Dans cette partie, nous allons introduire les variables nécessaires pour décrire le mouvement du grain de la phase liquide au contact avec la phase solide, i.e. le grain en mouvement le plus en profondeur. Le mouvement d’un unique grain sur un tas statique a déjà été étudié [99, 100], et nous utiliserons les mêmes notations que celles utilisées par les auteurs cités. Nous tenons par ailleurs à préciser que le modèle que nous allons présenter est très largement inspiré des travaux de L.Quartier, B.Andreotti, S.Douady et A.Daerr.

L’interface sur laquelle se déplace le grain est périodique, nous allons nous intéresser au mou-vement d’un grain sur une période spatiale. Pour cela, on considère le grain de centre M qui commence son mouvement entre le grain statique (n − 1) et le grain statique n. On introduit un repère cylindrique {O_n, ~e_r, ~e_ϕ} comme illustré Figure.5.8 (i). Une première hypothèse du modèle est que le grain en mouvement reste toujours en contact avec la phase statique :−−−→

OnM = 2a~er. Cela signifie, pour faire le lien avec les rhéologies continues, que nous travaillerons à faible nombre inertiel I << 1. Comme nous nous intéressons au mouvement du grain situé à la base de la phase liquide, cette hypothèse est raisonnable. Par conséquent, le déplacement d~uM et la vitesse du grain ~v_M sont ortho-radiaux : ~v_M = 2a ˙ϕ~e_ϕ. Le mouvement est à une dimension et l’angle ϕ suffit a décrire le mouvement du grain. Initialement, le grain en mouvement est entre les grains statiques (n − 1) et n et, par définition de l’angle solide, la valeur initiale de l’angle ϕ est :

✓

~g

n 1

n

~e

~e

' '

~e

~e

M

O

2a

(i)

n n + 1

choc

~e

~u

(ii)

Figure 5.8 – (i) Pour paramétrer la phase de mouvement par dessus le grain statique n, on introduit le repère cylindrique {O_n, ~e_r, ~e_ϕ}. Le grain en mouvement reste toujours en contact avec les grains de la couche inférieure. Le mouvement est donc décrit uniquement par l’angle ϕ. Le grain se déplace alors de la position ϕ = −ϕ_sol, entre les grains (n − 1) et n, à la position ϕ = +ϕ_sol, entre les grains n et (n + 1). (ii) Arrivé à cette position, la vitesse du grain en mouvement pointe vers la phase solide. Il rentre donc en collision avec le grain statique (n + 1). Ce choc réoriente sa vitesse et le grain mobile peut continuer son mouvement sur le grain statique (n + 1). A noter que la vitesse est modifiée en orientation et en intensité.

Il commence son mouvement avec une vitesse angulaire initiale ˙ϕ⁺_n, soit une vitesse : ~

v_M(t = 0) = 2a ˙ϕ⁺_n~eϕ. (5.14)

Cette vitesse initiale provient du mouvement précédent du grain, lorsqu’il s’est déplacé sur le grain statique (n − 1).

On décompose le mouvement en deux phases : le mouvement et le choc. Tout d’abord, le grain va se déplacer, par roulement et par glissement, par dessus le grain statique n pour terminer son mouvement, à t = T_mouv, entre le grain n et le grain (n + 1), à la position angulaire ϕ = +ϕsol. Il arrive avec une vitesse angulaire ˙ϕ⁻_n. L’exposant −, indique que la vitesse du grain ~v_M = 2a ˙ϕ⁻_n~e_ϕ est orientée vers la phase solide. Ne pouvant continuer son mouvement car bloqué par le grain statique (n − 1), il va alors entrer en collision avec ce dernier. Le choc va réorienter sa vitesse et le grain va pouvoir continuer son mouvement par dessus ce même grain.

On supposera par la suite que la phase de choc est quasi instantanée en comparaison avec la première phase de déplacement. C’est-à-dire que la durée T_choc du choc est très courte devant

la durée T_mouv de la première phase de mouvement T_choc<< T_mouv. Lors du choc, la vitesse du grain, qui était initialement orientée suivant le vecteur radial ~eφ du repère {O_n, ~er, ~eϕ} centré sur le grain statique n, va s’orienter suivant le vecteur radial ~u_ϕ du repère {O_n+1, ~u_r, ~u_ϕ}, qui est centré sur le grain statique (n + 1)., illustré Figure.5.8 (iii). Le choc va également modifier l’in-tensité de la vitesse : l’énergie cinétique passe de 2am²( ˙ϕ⁻_n)² avant le choc à 2am²( ˙ϕ⁺_n+1)² après le choc. Le grain recommence alors le même mouvement par dessus le grain statique (n + 1), avec une vitesse angulaire initiale ˙ϕ⁺_n+1. L’exposant + indique que la vitesse du grain est désormais orientée vers la phase liquide. La même notation était utilisée pour la vitesse angulaire initiale

˙ ϕ⁺_n.

Le mouvement du grain peut alors être résumé par le schéma suivant Figure.5.9 : le grain commence son mouvement entre deux grains statiques avec une vitesse angulaire ˙ϕ⁺_n. Il se dé-place ensuite par dessus le grain en aval et termine son mouvement avec une vitesse angulaire

˙

ϕ⁻_n. Suite au choc, le grain peut de nouveau se déplacer par dessus le nouveau grain situé en dessous de lui. Il recommence alors ce nouveau mouvement avec une vitesse angulaire ˙ϕ⁺_n+1 et ainsi de suite.

On peut raisonnablement supposer par avance que le grain va accélérer lors de la première

˙

'⁺_n ^glisse!

roule '˙_n ^choc! ˙'⁺_n+1

T_mouv T_mouv + T_choc

0 !

˙

'⁺_n

˙

'_n

˙

'⁺_n+1

Figure 5.9 – Le grain commence son mouvement périodique au site n avec une vitesse angulaire ˙

ϕ⁺_n. Après s’être déplacé sur le grain statique, le grain possède une vitesse ˙ϕ⁻_n orientée vers la phase solide. Il entre en collision avec le grain statique suivant. Il possède alors une vitesse radiale

˙

ϕ⁺_n+1orientée vers la phase liquide. Il recommence ensuite le même mouvement, mais par dessus le grain statique n + 1. On appelle T_mouv et T_choc la durée de la phase de roulement et la durée de la phase de choc.

phase, i.e. ˙ϕ⁺_n < ˙ϕ⁻_n, et perdre de l’énergie cinétique, donc ralentir, lors du choc, i.e. ˙ϕ⁺_n+1< ˙ϕ⁻_n. Afin de pouvoir décrire le mouvement du grain à l’interface dans son ensemble, il est né-cessaire de trouver une relation de récurrence entre les vitesses ˙ϕ⁺_n et ˙ϕ⁺_n+1. Nous allons dans un premier temps traiter la dynamique de la première phase du mouvement, avec une approche énergétique, ce qui nous permettra de relier ˙ϕ⁺_n et ˙ϕ⁻_n. Puis, dans un deuxième temps, nous

traiterons le choc, qui relie ˙ϕ⁻_n et ˙ϕ⁺_n+1 .