Angle d’érosion

ϕ⁺_∞[θ_sed] = ˙ϕB[θ_sed]. (6.4)

Si la pente θ de l’interface est inférieure à l’ange de sédimentation θ_sed, la vitesse fixe vers laquelle tend le grain est inférieure à la vitesse limite minimale nécessaire pour franchir la barrière de potentiel. Par définition, la vitesse limite est égale à ( ˙ϕ_B)² = ∆E_B/2ma², et en utilisant l’Equation.6.3 on a :

∆E_B/∆E_K[θ_sed] = ^{1 − α[R]}

α[R] ^{. (6.5)}

L’Equation.6.5 permet de calculer l’angle de sédimentation θ_sedmais ne possède pas de solution analytique. L’Equation.6.5 fait également intervenir l’angle solide ϕ_sol et le coefficient effectif de friction µ_eff . Nous ne faisons pas apparaître explicitement leur dépendance car ce sont deux paramètres intrinsèques des grains : ils ne sont donc pas susceptibles de varier au cours de l’évo-lution du système.

En définitive, si θ < θ_sed le grain mobile finira par s’arrêter, piégé entre deux grains statiques. Inversement, si θ > θ_sed et que le grain mobile est déjà en mouvement, il pourra atteindre un état mobile stationnaire : ˙ϕ+

∞ > ˙ϕ_B. En résumé, si la pente θ est supérieure à la pente limite θsed, le grain pourra continuer son mouvement indéfiniment. Sinon, il s’arrêtera et ce quelles que soient les conditions initiales.

Ce raisonnement est vrai pour tous les grains mobiles qui composent l’interface solide-liquide. Autrement dit, si la pente de l’interface est inférieure à l’angle de sédimentation, la couche de grains mobiles au niveau de l’interface solide-liquide s’arrêtera. La phase solide augmente de 1, en taille de grain, la phase liquide diminue de 1. L’angle de sédimentation θ_sed dans le système bi-phasique solide-liquide est bien l’angle critique de sédimentation. Une valeur élevée de θ_sed signifie que la pente θ de l’interface solide-liquide doit être grande pour empêcher la sédimenta-tion : θ_sed traduit la difficulté à se mouvoir des grains.

On trace sur la Figure.6.3 l’évolution de l’angle de sédimentation θ_sed avec l’épaisseur R de la phase liquide. Avant de discuter plus en avant de l’évolution de l’angle de sédimentation avec l’épaisseur de la phase liquide, nous allons introduire la deuxième valeur critique de l’angle de la pente, l’angle d’érosion θ_ero.

6.1.2 Angle d’érosion

Dans notre modèle, l’interface solide-liquide est composée de la dernière couche de grains en mouvement et de la première couche de grains statiques. L’angle de sédimentation est défini comme l’angle minimal de la pente pour lequel les grains de la phase liquide continuent leur mouvement. L’angle d’érosion est alors défini de façon similaire comme l’angle maximal de la pente pour lequel les grains de la phase solide restent statiques. La sédimentation, i.e. l’arrêt des grains mobiles, se produit à cause de la perte d’énergie des grains liée à la friction au niveau l’interface : si les grains en mouvement s’arrêtent, c’est parce qu’ils interagissent avec les grains statiques inférieurs et ralentissent. Nous allons définir l’angle d’érosion comme l’angle limite pour lequel les grains statiques, par ces mêmes interactions avec les grains mobiles, se mettent

choc

d’´e ne_rgi

e

thermalisation dans la phase liquide

thermalisation dans la phase solide

˙

'⁺₁ > ˙'_B

Energie du grain >) E

[✓,R + 1]

d´epart du mouvement

Figure 6.2 – Schéma du processus d’érosion. Lors du choc au niveau de l’interface, le grain mobile transmet une partie de son énergie cinétique au grain statique. Ce gain d’énergie est dilué dans la phase solide. Si l’énergie reçue par le grain au sommet de la phase solide est supérieure à l’énergie de cohésion qui le maintient statique, il pourra commencer son mouvement. A cause des chocs entre grains de la phase liquide et grains de la phase solide, le grain statique à l’interface devient mobile : il y a érosion. Dans le cas d’un milieu granulaire sec, cette énergie de cohésion est juste l’énergie de barrière à la profondeur R + 1, ∆E_B[θ, R + 1].

en mouvement.

Avant de pouvoir définir l’angle d’érosion, il faut répondre à une question préalable : par quel processus physique les grains statiques qui composent la phase solide sont-ils maintenus immo-biles ? Si ces grains restent statiques malgré des perturbations extérieures, c’est parce qu’il existe une énergie de cohésion par grain. Pour pouvoir initier son mouvement, un grain immobile doit recevoir de l’énergie. Cette dernière ne sera pas utilisée pour se mouvoir, c’est-à-dire transformée en énergie cinétique, mais elle sera utilisée pour déclencher le mouvement. De façon dynamique, il existe une barrière énergétique à franchir pour chaque grain immobile afin de pouvoir initier son mouvement. Dans le cas d’un milieu granulaire sec, comme c’est le cas ici, il n’existe pas de forces d’interaction entre grains : seules la gravité et la friction maintiennent la cohésion de la phase statique. La pesanteur piège le grain entre deux grains de la couche inférieure et la friction s’oppose à tout déplacement de grains les uns par rapport aux autres. L’énergie de cohésion par grain est donc l’énergie de barrière présentée précédemment ∆E_B. Cette dernière augmente avec la profondeur du grain considéré : les grains les plus susceptibles de commencer leur mouvement sont donc les grains statiques qui forment le sommet de la couche statique. Ils possèdent donc une énergie de cohésion ∆E_B[R + 1].

L’énergie fournie par les grains de la phase liquide doit alors être supérieure à cette énergie de cohésion. Les grains statiques reçoivent de l’énergie de la phase liquide de deux façons. Lors de

la première phase du mouvement, lorsque le grain mobile se déplace : l’énergie qu’il dissipe par friction solide est transmise, tout du moins en partie, au grain statique situé en dessous. Cepen-dant cette énergie est introduite de façon continue tout au long du mouvement. Or, les grains ne possèdent aucun moyen de stocker l’énergie. Par conséquent, l’énergie que le grain statique reçoit par unité de temps est infime : elle n’est pas suffisante pour déclencher son mouvement. Elle est dissipée sous forme de chaleur et de bruit. En revanche, l’énergie transmise lors du choc est intro-duite instantanément. Elle est alors à même de déclencher le mouvement. Nous allons chercher à quantifier l’énergie transmise aux grains supérieurs de la phase statique lors du choc à l’interface. Lorsque le système a atteint son état stationnaire, les vitesses angulaires en début de période sont égales : ˙ϕ⁺_n = ˙ϕ⁺_n+1. Pour assurer cela, l’énergie gagnée par le grain lors de la première phase du mouvement, ∆E_K, doit être dissipée lors de la phase des chocs. La perte énergétique est répartie de façon uniforme parmi les grains de la phase liquide impliqués dans la cascade de collision. Chacun de ces N_flu grains perd donc autant d’énergie cinétique que le grain à l’interface. L’énergie totale perdue par la phase liquide est alors N_flu∆E_K. Cette énergie est transmise entièrement à la phase statique.

De façon symétrique à ce qu’on a pu décrire comme chaîne de chocs dans la phase liquide, une cascade de collisions a également lieu dans la phase solide. L’apport en énergie que reçoit la phase solide est réparti uniformément parmi les N_sol grains impliqués dans cette cascade de collisions. L’énergie reçue par chaque grain de la phase solide est donc l’énergie totale reçue par la phase statique N_flu∆E_K divisée par le nombre de grains parmi lesquels cette énergie est répartie, soit N_sol. Il faut alors comparer l’énergie reçue par chaque grain à l’énergie de cohésion qui maintient chaque grain en place. Si l’énergie reçue est inférieure, le grain reste statique. Mais si cette énergie est supérieure, il peut se mettre en mouvement. La deuxième valeur critique de la pente de l’interface, l’angle d’érosion θ_ero, est donc définie par l’égalité :

N_flu[R]

N_sol[S]^∆EK[θero, R] = ∆EB[θ_ero, R + 1]. (6.6) L’Equation.6.6 permet de calculer l’angle de sédimentation θ_sed. Tout comme l’Equation.6.5, elle ne possède pas de solution analytique dans le cas général. L’Equation.6.6 prédit l’angle limite θero pour lequel les grains statiques sont mis en mouvement par les grains mobiles. Ce phéno-mène fait intervenir les deux phases, l’angle d’érosion θ_erodépend donc de l’épaisseur de la phase liquide R et de celle de la phase solide S. Si l’angle de la pente de l’interface solide-liquide θ est supérieur à l’angle d’érosion θ_ero, l’énergie reçue par le grain de la phase statique qui constitue cette interface est suffisante pour le mettre en mouvement. Si θ < θ_ero, le grain reste statique et l’énergie reçue lors du choc est dissipée sous forme de bruit ou de chaleur. Ce raisonnement est vrai quel que soit le grain statique au niveau de l’interface. Autrement dit, la couche de grains statiques qui forme l’interface solide-liquide se mettra en mouvement si θ > θ_ero. La phase solide diminue de 1, en taille de grain, la phase liquide augmente de 1.

L’angle d’érosion θ_ero qualifie alors la résistance d’un milieu granulaire solide à l’érosion pro-voquée par ses propres avalanches. Une valeur élevée de θ_ero signifie que la pente de l’interface solide-liquide doit être grande pour permettre à la phase liquide d’éroder la phase solide : θ_ero traduit la résistance du solide granulaire à l’abrasion. On trace sur la Figure.6.3 l’évolution de l’angle d’érosion θ_eroavec l’épaisseur R de la phase liquide pour une phase solide épaisse S = ∞.

6.2 Paramètres qui influencent les angles d’érosion et de