Evolution de la coopérativité N avec l’épaisseur de la phase liquide

à la thermalisation du grain refroidi. En effet, le coefficient α qui relie les énergies cinétiques du grain avant et après la cascade de collisions dépend explicitement de N_flu. A ce jour, nous n’avons malheureusement pas réussi à trouver une expression explicite de N_flu. Néanmoins, nous pouvons expliciter quelques règles que doit suivre ce nombre N_flu.

Tout d’abord, le nombre de grains impliqués dans la cascade dépend de la taille de la phase considérée. On s’intéresse ici à la cascade de collisions dans la phase liquide. Il semble évident que le nombre de grains impliqués N_flu est une fonction de l’épaisseur R du liquide granulaire. Il nous semble également évident que N_flu[R] est une fonction croissante de R. On imagine aisément qu’il y aura plus de grains impliqués dans une chaîne de collisions se produisant dans une phase liquide épaisse que dans une phase liquide fine. De plus, on supposera par la suite que ce nombre de grains ne dépend pas de facteurs extérieurs au milieu (pression, cisaillement, ...). En revanche, il est très vraisemblable de penser que le nombre de grains dans ces chaînes de collisions N_flu dépende de la fraction volumique du milieu : plus une phase est dense, plus les chocs se propageront. On peut alors écrire que :

N_flu= f [R] et notamment N_flu⁰ [R] > 0. (5.28) Deuxièmement, le nombre de grains impliqués ne croît pas indéfiniment avec la taille de la phase où se propagent les chocs. On supposera que dans une phase infinie, il existe une valeur de saturation ξ du nombre de grains impliqués dans une cascade de collisions. La fonction N_flu[R]

R

~v

(T

)

Sol

ide

Liq_uid

e

Choc `a l’interface solide-liquide Choc `a l’interface solide-liquide

D = 3 D = 1

D = 3 D = 1

Cascade de collisions

Figure 5.12 – En entrant en collision avec un grain statique, le grain mobile au niveau de l’interface solide-liquide va changer brusquement la direction de sa vitesse. Ce faisant, il va entrer en collision avec un ou plusieurs grains situés au dessus de lui. Ces derniers vont alors également entrer en collision avec d’autres grains et ainsi de suite. Ainsi, le premier choc au niveau de l’interface déclenche une cascade de collisions qui se propage au sein de la phase liquide de façon linéaire, D = 1, ou volumique, D = 3. Cette cascade de chocs peut être tronquée par la taille finie du milieu dans lequel elle se propage. Le nombre N_flu de grains impliqués dépend alors de l’épaisseur de la phase liquide. Il est à noté qu’un phénomène similaire a lieu dans la phase solide.

sature pour des phases épaisses :

lim

R→∞N_flu[R] = ξ. (5.29)

Le nombre ξ représente le nombre maximal de grains impliqués dans la cascade de collisions. Des précédentes études [110, 111] ont étudié les réseaux de force dans le solide granulaire. Des chaînes de force de l’ordre de la dizaine de grains ont pu être observées dans de tels systèmes. Le phénomène de coopérativité entre grains étant similaire à ces réseaux, on s’attend à ce que la valeur limite ξ soit également de l’ordre de la dizaine.

Enfin, il est nécessaire d’introduire une échelle de longueur caractéristique pour ce phéno-mène. Pour cela, il convient de préciser la forme géométrique de la zone où se produit la cascade de collisions. Nous envisageons deux possibilités. Tout d’abord une géométrie linéaire D = 1 : la cascade de collisions serait alors une chaîne linéaire de chocs, partant de l’interface et se propa-geant, par symétrie, perpendiculairement à celle-ci. Ou alors une géométrie volumique D = 3 : la

cascade de collisions se propagerait dans toutes les directions de l’espace, un grain choquant tous les grains au dessus de lui et ainsi de suite. La forme linéaire suppose l’existence d’une direction privilégiée, les collisions se propagent suivant l’épaisseur de la phase liquide, alors que la forme volumique suppose que la propagation des chocs se réalise indépendamment suivant toutes les directions de l’espace. Suivant la forme de la zone de la cascade de collisions, on peut définir une longueur caractéristique en nombre de grains. Le nombre maximal de grains impliqués dans ces chaînes de force est ξ. On peut alors, suivant la géométrie de ces chaînes de forces, définir une longueur caractéristique : ξ^1/D. Elle sera appelée longueur de coopérativité.

Il faut alors préciser le comportement de N_flu[R] lorsque R << ξ^1/D. Quelle que soit la forme de la zone de chocs, nous supposerons que la propagation des collisions suivant une direction de l’espace est indépendante de la propagation suivant les autres directions. Lorsque R < ξ^1/D la propagation des chocs est tronquée uniquement suivant la direction perpendiculaire à l’in-terface. Pour le cas linéaire, c’est la seule dimension et on a N_flu ∼ R. Dans le cas volumique, le nombre de grains concernés n’est plus, comme dans le cas infini, N_flu ∼ ξ1/Dξ^1/Dξ^1/D mais N_flu ∼ ξ1/Dξ^1/DR. On a alors une condition sur le comportement du nombre de grains impliqués dans la cascade de collisions lorsque la phase liquide est peu épaisse :

N_flu[R] ∼ ξ( R

ξ1/D) pour R << ξ^1/D. (5.30)

Par la suite, et pour le reste de l’étude, nous utiliserons l’ansatz suivante :

N_flu(R) = ξ^h1 − exp^−R/ξ1/D^i. (5.31)

Néanmoins, comme nous le verrons plus tard, les prédictions théoriques du modèle développé dépendent peu de la forme de N_flu[R]. En effet, tant que la fonction choisie respecte les 3 règles établies précédemment, les résultats du modèle sont sensiblement les mêmes, à un facteur géo-métrique près. Ceci est dû au fait que la physique du phénomène est prise en compte via ces trois règles : il y a un phénomène de coopérativité entre les grains mobiles pour assurer la continuité du mouvement qui dépend de l’épaisseur de la phase liquide, cette coopérativité est tronquée par l’épaisseur R de la phase liquide si R ∼ ξ^1/D et elle sature lorsque la taille du système est grande R >> ξ^1/D.

Il est à noter ici que nous n’avons discuté de la cascade de collisions, son effet, sa forme et le nombre de grains N_flu concernés, que dans la phase liquide. Il existe cependant le même phéno-mène dans la phase solide. En effet, le premier choc qui a lieu à l’interface solide-liquide concerne également un grain de la phase solide. De la même façon que ce choc se propage dans la phase liquide, il y aura également une cascade de collisions dans la phase statique. On appellera N_sol le nombre de grains affectés par cette cascade de collisions dans la phase solide. On supposera alors que N_sol possède les mêmes propriétés que N_flu énoncées précédemment, si ce n’est que le nombre de grains concernés dans la phase solide N_sol est une fonction de l’épaisseur de la phase solide S. On suppose notamment que le nombre limite de grains impliqués ξ est le même pour les deux phases. Cela se justifie par le fait que nous supposons que ce nombre maximal de grains dépend principalement de la densité de la phase concernée. Un liquide granulaire à faible nombre inertiel I et un solide granulaire sont deux phases denses qui possèdent des densités vo-lumiques similaires. L’effet des chocs dans la phase solide est le même que dans la phase liquide. La cascade de collisions dans la phase mobile permet de répartir la perte énergétique due au choc du grain mobile à l’interface solide-liquide. De la même façon, la cascade de collisions dans la phase statique permet de répartir le gain énergétique dû à ce même choc parmi les N_solgrains

impliqués dans la cascade.

En résumé, lors du choc à l’interface solide-liquide entre un grain mobile et un grain statique, il y a un transfert d’énergie, de la phase liquide à la phase statique. Cette énergie est propor-tionnelle à l’énergie cinétique du grain à l’interface en mouvement : ∆E_liq→sol=k 2ma²( ˙ϕ⁻_n)². Ce premier choc provoque dans chacune des deux phases la propagation de chocs secondaires qu’on appelle cascade de collisions. Ces deux cascades vont impliquer dans chacune des deux phases un nombre N_flu et N_sol de grains. L’effet de ces chocs va être de répartir le gain énergétique, en valeur algébrique, parmi les N grains concernés. La dilution de la perte énergétique dans la phase liquide facilite le mouvement du grain à l’interface. Il y a un phénomène de coopérati-vité entre les grains de la phase mobile qui permet la continuité du mouvement. Dans la phase statique, la dilution du gain énergétique permet, comme nous le verrons au chapitre suivant, de maintenir la cohésion du solide granulaire. En résumé, ces phénomènes de coopérativité contri-buent à maintenir la cohésion des deux phases, que ce soit l’état statique ou l’état mobile. Enfin, il est intéressant de mettre en parallèle la cascade de collisions telle que nous la décrivons et le mécanisme central de la rhéologie non-locale proposée par Y.Forterre et O.Pouliquen [64] que nous avons décrit dans l’introduction. Dans leur modélisation, le mouvement d’un grain situé dans l’écoulement crée autour de lui une hétérogénéité dans la répartition des contraintes qui peut déclencher, ou faciliter, le mouvement d’un grain situé plus en profondeur. Dans la notre, la perte d’énergie d’un grain au niveau de l’interface solide-liquide est en partie compen-sée par les grains situés au dessus de lui. Dans les deux cas, de l’énergie et de la quantité de mouvement sont transmises d’une zone où l’écoulement est rapide à une zone où l’écoulement est lent. Il en résulte que le mouvement du grain mobile à l’interface solide-liquide est impacté par le mouvement des autres grains qui constituent la phase liquide : notre modélisation du mouvement du grain est non-locale.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés à décrire le mouvement d’un grain le long de l’interface solide-liquide. Inspirés par des précédents travaux, nous avons séparé le mouvement en deux phases : une phase de déplacement, où le grain mobile passe de l’interstice entre deux grains statiques à l’interstice suivant, et le choc, où le grain mobile entre en collision avec le grain statique en aval et réoriente sa vitesse. Le grain mobile peut ensuite recommencer son mouvement sur le grain statique suivant.

A l’aide d’un modèle de champ moyen pour représenter les forces de pesanteur, et grâce à l’intro-duction d’un paramètre de frottement effectif qui permet de simplifier et d’unir les deux modes de déplacement d’un grain (roulement et glissement), nous avons pu montrer que la première phase du mouvement était analogue au mouvement d’une particule ponctuelle dans un champ d’énergie potentielle E_pot[ϕ]. Cette énergie potentielle possède deux valeurs particulières : sa va-leur maximale ∆E_B et sa valeur finale ∆E_K. La première traduit une barrière de potentiel dans le mouvement du grain : pour pouvoir quitter sa position initiale, entre deux grains statiques, le grain en mouvement doit tout d’abord se déplacer contre le travail des forces de pesanteur et de friction. On a alors pu définir une vitesse radiale limite ˙ϕ_B. Si le grain mobile commence son mouvement avec une vitesse radiale ˙ϕ⁺_n inférieure à cette vitesse limite ˙ϕB, il ne pourra pas traverser la barrière de potentiel et il restera bloqué à sa position initiale. La valeur finale de l’énergie potentielle ∆E_Ktraduit le gain d’énergie cinétique du grain à la fin de son mouvement. Une fois la barrière de potentiel franchie, les forces de pesanteur vont travailler dans le sens du mouvement du grain. Le travail des forces de pesanteur va permettre au grain d’accélérer et d’atteindre une vitesse radiale ˙ϕ⁻_n. Suivant le signe de ∆E_K le grain gagnera ou perdra de l’énergie par rapport à sa vitesse initiale ˙ϕ⁺_n.

A la fin de la première phase du mouvement, le grain mobile se retrouve entre deux grains statiques mais sa vitesse est orientée vers la phase solide. Elle ne lui permet pas de continuer son mouvement sur le grain statique suivant. Il entre alors en collision avec le grain statique et réoriente sa vitesse. Ce choc entraîne un échange d’énergie entre la phase liquide et la phase statique. L’énergie transférée est proportionnelle à l’énergie cinétique du grain mobile à l’inter-face ∆E_liq→sol = k 2ma²( ˙ϕ⁻_n)². Le choc à l’interface solide-liquide va déclencher dans chacune des deux phases une cascade de collisions entre les grains. Cette propagation des chocs va avoir comme effet de répartir la perte (respectivement le gain) énergétique parmi les grains de la phase liquide (respectivement de la phase solide) impliqués dans cette cascade de collisions. Le grain mobile à l’interface est refroidi, i.e. ralenti, par le choc puis il est thermalisé , i.e. réaccéléré, par les autres grains de la phase liquide. Le grain statique de l’interface subit le phénomène inverse, réchauffé par le choc puis thermalisé par la phase solide. En fin de compte, la perte énergétique du grain mobile est inférieure à l’énergie qu’il a transférée initialement à la phase statique. Son mouvement est facilité par ces échanges énergétiques : il y a un phénomène de coopérativité entre les grains pour permettre la continuité du mouvement. Le rapport α entre les vitesses après et avant le choc, α = ( ˙ϕ⁺_n+1/ ˙ϕ⁻_n), est certes inférieur à 1, i.e. le grain ralentit, mais supérieur à 1 − k, ce qui aurait été le cas sans la coopérativité entre les grains de la phase liquide.

Finalement, nous avons pu montrer que la vitesse radiale en début de mouvement d’un grain mobile évolue au fur et à mesure qu’il se déplace le long de l’interface solide-liquide. Nous avons pu montrer que cette vitesse tend vers une valeur fixe ˙ϕ⁺_∞. Cette valeur dépend notamment de 3 paramètres : l’épaisseur R de la phase liquide, la friction effective µ_eff des grains et surtout la pente θ de l’interface solide-liquide. Nous verrons dans le chapitre suivant comment le mouve-ment de ce grain à l’interface solide-liquide fait naturellemouve-ment apparaître deux angles critiques

Chapitre 6

Angle critique de l’interface

solide-liquide

Introduction et rappels

Dans ce chapitre, nous allons garder une description discrète de la matière afin d’expliciter deux valeurs particulières de la pente θ de l’interface solide-liquide : l’angle de sédimentation θ_sed et l’angle d’érosion θ_ero. Le premier caractérise la pente minimale pour laquelle le grain mobile au niveau de l’interface continue son mouvement, le deuxième représente la pente maximale pour la-quelle le grain statique au niveau de l’interface reste immobile. Dans un second temps, nous nous intéresserons au comportement de ces deux valeurs de pentes critiques en fonction du système considéré (les épaisseurs des phases solides et liquides) ainsi que des paramètres microscopiques des grains (la friction effective entre les grains et d’éventuelles énergies de liaison). Dans un pre-mier temps néanmoins nous rappelons brièvement les principaux résultats du chapitre précédent. L’interface entre la phase liquide et la phase solide est périodique et le mouvement d’un grain sur une période, d’un interstice entre deux grains statiques à l’interstice suivant, est déterminé par sa vitesse radiale initiale ˙ϕ⁺_n. La première phase du mouvement, qui consiste a se déplacer par dessus le grain inférieur pour atteindre l’interstice suivant, est similaire à celle d’une particule ponctuelle dans une énergie potentielle E_pot. Cette énergie potentielle possède deux valeurs caractéristiques : ∆E_Bet ∆E_K. La première correspond au maximum de l’énergie potentielle et elle représente la barrière énergétique que le grain doit franchir pour continuer son mouvement. On lui associe une vitesse ˙ϕB, vitesse minimale que doit avoir un grain pour franchir cette barrière et ne pas rester piégé. La deuxième valeur caractéristique, ∆E_K, correspond au gain d’énergie cinétique qu’acquiert le grain à la fin de son mouvement. On rappelle les valeurs de ∆E_B et ∆E_K :    ∆E_B= 2Rmga  p

1 + µ2− cos(ϕ_sol− θ) + µ sin(ϕ_sol− θ)



∆E_K= 4Rmga (sin θ − µ cos θ) sin ϕ_sol

. (6.1)

S’ensuit alors un choc, où le grain mobile transmet une fraction k de son énergie cinétique au grain statique situé en dessous de lui. Ce choc entraîne une cascade de collisions dans les deux phases. Il en résulte un transfert d’énergie cinétique des grains de la phase liquide vers le grain mobile à l’interface. Finalement, après cette phase de chocs, le grain mobile de l’interface voit son énergie cinétique modifiée d’un facteur α avec : (1 − k) < α < 1. Grâce aux autres grains

mobiles, il a perdu moins d’énergie que s’il avait été seul. Il y a une coopérativité entre les grains, qui est symbolisée par le facteur α. Cette coopérativité facilite le mouvement du grain. On rappelle que plus il y a de grains impliqués dans la cascade de collision, plus le mouvement est facilité. On a :

α[R] = 1 − ^k

N_flu[R]. (6.2)

Le grain peut alors continuer son mouvement le long de l’interface, avec une nouvelle vitesse initiale ˙ϕ⁺_n+1. On a pu montrer notamment que la série des vitesses initiales ˙ϕ+

n tend vers une valeur fixe ˙ϕ⁺_∞ :

( ˙ϕ⁺_∞)²= α 1 − α

∆E_K

2ma2. (6.3)

6.1 Angle d’érosion et de sédimentation