Variables al´ eatoires, fonction performance

Les variables al´eatoires d´efinies dans le chapitre pr´ec´edent ont vu leur densit´e de probabilit´e construite sous forme d’histogramme pour les erreurs des mod`eles ´el´ementaires ErrD, ErrDf s,

ErrC et ErrCf s. Seuls des ´ecarts-types ont ´et´e affect´es `a Errp et Erre pour la porosit´e et

l’enrobage en fonction de donn´ees exp´erimentales observ´ees.

N´eanmoins, l’application de l’algorithme de gradient projet´e GPACE n´ecessite des donn´ees d’entr´ee continues d´efinies par leur loi de distribution et les param`etres associ´es. Des lois de

distribution sont propos´ees pour les variables al´eatoires de la m´ethodologie.

Dans le cas des mod`eles ´el´ementaires, les param`etres des deux premiers ordres (moyenne et ´

ecart-type) sont ceux observ´es dans la construction des histogrammes. L’allure « en cloche » de ces derniers et les erreurs multiplicatives de mod`eles ´etant des entiers positifs, une loi log-normale leur est associ´ee.

La figure 4.4illustre les histogrammes de ErrD, ErrDf s et les lois log-normales correspon-

dantes et la figure4.5 repr´esente les histogrammes de ErrC, ErrCf s et leurs lois log-normales.

Fig. 4.4 – Lois de distribution des erreurs ErrD ErrDf s des mod`eles ´el´ementaires de calcul du

coefficient de diffusion effectif des chlorures

Fig. 4.5 – Lois de distribution des erreurs ErrC ErrCf s des mod`eles ´el´ementaires de calcul des

chlorures fix´es

L’ad´equation entre les histogrammes observ´es et les lois de distribution peut ˆetre v´erifi´ee au moyen de tests statistiques. Les effectifs th´eoriques, provenant d’un calcul analytique sur la loi de distribution, et les effectifs observ´es, issus des histogrammes, sont compar´es pour chaque

classe de valeurs. Les ´ecarts calcul´es permettent ensuite de conclure sur l’hypoth`ese formul´ee sur la loi de distribution avec un degr´e de confiance associ´e.

Le test le plus couramment utilis´e est le test du χ2 (khi-deux) [Chernoff et Lehmann, 1954]. Soient n valeurs regroup´ees dans m classes auxquelles sont associ´ees les valeurs xi de la variable

al´eatoire X. La loi de distribution suppos´ee permet de d´efinir pour chaque classe i la probabi- lit´e pi = P [X = xi]. Les effectifs mesur´es ´etant oi, la quantit´e Q = Pmi=1(oi− n · pi)2/n · pi

repr´esente d’une certaine fa¸con la distance entre les donn´ees et la loi de probabilit´e suppos´ee. Q repr´esente une r´ealisation d’une variable al´eatoire qui d´erive d’une loi du χ2 `a (m − 1) degr´es de libert´e. Etant donn´e un risque d’erreur dans l’hypoth`ese de la loi (la valeur 5 % est la plus souvent choisie), la probabilit´e donn´ee par les tables de d´epassement de la valeur calcul´ee Q donne alors une indication sur le r´ealisme de l’hypoth`ese.

La variable al´eatoire ErrDf s est choisie comme illustration de ce test car, d’apr`es les fi-

gures 4.4 et 4.5, elle semble ˆetre la moins en ad´equation avec la loi log-normale propos´ee. Le tableau4.12synth´etise les ´etape du calcul de Q. L’histogramme d’ErrDf s est construit avec 31

valeurs regroup´ees en 6 classes (n = 31 et m = 6) repr´esent´ees par leur valeur xi.

Probabilit´es (oi− n · pi)2

xi Observations oi th´eoriques Effectifs th´eo- ————

pi riques n · pi n · pi 0,21 1 0,1 % 0,02 0,96 0,60 7 19,5 % 6,05 0,13 0,99 7 40,3 % 12,49 4,31 1,38 11 23,8 % 7,39 1,18 1,77 2 10,0 % 3,10 0,60 2,17 3 3,8 % 1,19 1,09 P : n = 31 P : Q = 8, 28

Tab. 4.12 – Test d’ad´equation du χ2 pour la variable al´eatoire ErrDf s

Au seuil de risque 5 %, et pour un nombre de degr´e de libert´e de 5, les tables donnent comme valeur limite χ2

l = 11, 07. La valeur observ´ee Q = 8, 28, inf´erieure `a χ2l, permet de conclure que

l’hypoth`ese de la loi log-normale est acceptable. Il n’y a donc pas de diff´erence statistiquement significative entre l’histogramme et la loi log-normale propos´ee.

De la mˆeme fa¸con, les r´esultats de ce test donnent une ad´equation, entre ErrD, ErrC, ErrCf s

et les lois log-normales associ´ees, acceptable au seuil de risque 5 %.

ont ´et´e d´efinies au sein du chapitre pr´ec´edent. Les ´ecarts-types sont d´efinis pour tenir compte de la variabilit´e sur ouvrage. Des lois de distribution log-normales sont affect´ees car des r´esultats de mesures ont conduits `a observer ce type de lois sur les densit´es de probabi- lit´e [Arliguie et Hornain, 2007] [AFPC, 1997] [Casciati et al., 1991] et elles restent le plus sou- vent employ´ees [AFGC, 2004] [DURACRETE, 2000].

Le tableau 4.13 reprend l’ensemble des informations sur les variables al´eatoires : loi de dis- tribution, moyenne, ´ecart-type et coefficient de variation.

Variable al´ea- Coefficient

toire erreur Variable physique Loi de Moyenne Ecart-type de

multiplicative associ´ee distribution variation (%)

Errp Porosit´e Log-normale 1 0,1 10

ErrD Coeff. de diffusion Log-normale 1,01 0,43 42,5

ErrC Isotherme de fixat˚ Log-normale 1,01 0,23 22,8

Erre Enrobage Log-normale 1 0,2 20

ErrDf s Coeff. de diffusion Log-normale 0,98 0,47 47,9

ErrCf s Isotherme de fixat˚ Log-normale 0,99 0,29 29,3

Tab. 4.13 – Lois de distribution des variables al´eatoires

Finalement, pour le traitement probabiliste, la fonction performance E = R − S `a introduire dans l’algorithme de GPACE doit ˆetre d´efinie. Pour des b´etons de CEM I et des b´etons de CEM I avec fum´ees de silice, elles sont indiqu´ees dans l’´equation 4.4:

E (Errp, ErrD, ErrC, Erre) = Erre· cnom− dCritique(Errp, ErrD, ErrC)

E (Errp, ErrDf s, ErrCf s, Erre) = Erre· cnom− dCritique(Errp, ErrDf s, ErrCf s)

(4.4)

La r´esistance R est consid´er´ee comme ´etant la variable al´eatoire enrobage e = Erre· cnom.

La sollicitation S est la profondeur critique dCritiquedans le b´eton pour laquelle la concentration

en chlorures totaux est sup´erieure `a la concentration critique.