Exemple 1 : durabilit´ e en milieu marin

Consid´erons le probl`eme d’une structure en b´eton arm´e semi-infinie au contact d’une solution de chlorures. Pour le cas o`u le b´eton est satur´e, la diffusion des chlorures dans le b´eton peut s’exprimer par l’´equation 1.20, solution de la seconde loi de Fick comme nous l’avons vu dans le chapitre pr´ec´edent.

Si, de plus, le b´eton est initialement sain, la concentration en chlorures totaux dans le b´eton pour une dur´ee d’exposition T s’exprime (´equation 1.71) :

C(x, t) = Cs· erf c  x 2√Da· T  (2.17)

Les donn´ees utilis´ees dans cet exemple sont les suivantes : – Cs = 2 % par kg de ciment,

– dur´ee de l’exposition T = 50 ans,

– concentration critique en chlorures Cr = 0,4 % par kg de ciment.

On note xr, profondeur critique, la profondeur dans le b´eton `a laquelle C = Crpour un temps

d’exposition T = tdv = 50 ans. Cette « dur´ee de vie » correspond `a une p´eriode o`u l’apparition

de la corrosion n’est pas souhait´ee. L’´equation pr´ec´edente peut s’´ecrire :

Cr Cs = erf c  xr 2√Da· tdv  (2.18)

xr s’exprime alors par l’inverse de la fonction erreur compl´ementaire erf c−1 :

xr= 2 · erf c−1  Cr Cs  ·pDa· tdv (2.19) En posant C0= 2 · erf c−1  Cr Cs 

·√tdv, la profondeur critique xr se formule :

xr= C0·

p

Da (2.20)

Enfin, l’enrobage des aciers est not´e e. Afin d’´etudier le probl`eme de corrosion du point de vue probabiliste, il reste `a d´efinir les variables al´eatoires et la fonction d’´etat limite associ´ee. Sa d´efinition peut ˆetre :

G = e − xr= e − C0·

p

Da (2.21)

L’´etat du b´eton est dit d´efaillant si la profondeur critique est sup´erieure `a l’enrobage, c’est- `

a-dire si G ≤ 0. Supposons maintenant que les variables al´eatoires du probl`eme sont l’enrobage e et le coefficient de diffusion Da et que ces deux variables suivent des lois de distribution log-

´ecart-types σ, et calcul´es selon le syst`eme d’´equations 1.53et1.54 d’o`u l’on tire : λ = ln (µ) − 0, 5 · ln 1 + σ µ 2! (2.22) η = v u u tln 1 +  σ µ 2! (2.23)

L’enrobage e est caract´eris´e par une valeur moyenne de 50 mm et un ´ecart-type 10 mm. Le b´eton de la structure est un B´eton Haute Performance dont le coefficient de diffusion apparent a une moyenne de 7 mm2/an (≈ 0, 25.10−12m2/s) et un ´ecart-type de 2,5 mm2/an. Les donn´ees correspondantes pour les variables al´eatoires sont r´ecapitul´ees dans le tableau2.1.

Variable al´eatoire Type de loi µ σ λ η

Da Log-normale 7 mm2/an 2,5 mm2/an 1,89 0,35

e Log-normale 50 mm 10 mm 3,89 0,20

Tab. 2.1 – Param`etres des variables al´eatoires du probl`eme de durabilit´e pour la validation de la m´ethode GPACE

Le param`etre C0 est une constante qui d´epend de la concentration critique Cr, de la concen-

tration Cs de la solution de chlorures et de la dur´ee de vie tdv. Les valeurs correspondantes

pr´ec´edemment d´efinies donnent C0 = 12,73 ans1/2. La fonction d’´etat limite, les param`etres

du probl`eme et les variables al´eatoires sont coupl´es `a l’algorithme du GPACE pour d´eterminer l’indice de fiabilit´e du b´eton `a 50 ans. La fonction d’´etat limite ´etant explicite, la pr´ecision num´erique dans cet exemple est donc choisie fine, m = 10−7. La valeur obtenue est β = 1, 5411.

Le probl`eme ainsi pos´e permet de calculer la valeur exacte de l’indice de fiabilit´e. En effet, posons une variable interm´ediaire γ = e/xr, le domaine de d´efaillance est d´efini par :

G ≤ 0 ⇐⇒ e − xr≤ 0 ⇐⇒ γ ≤ 1 (2.24)

La probabilit´e de d´efaillance Pf se calcule par :

Pf = P (γ ≤ 1) (2.25)

normales, ce qui implique que ln(Da) et ln(e) suivent des lois normales. En calculant le loga-

rithme, on obtient :

ln (γ) = ln (e) − ln (xr) = ln (e) −

1

2ln (Da) − ln (C0) (2.26) ln(γ) ´etant une combinaison lin´eaire de lois normales, ln(γ) est une loi normale, donc γ suit une loi log-normale. Pour toute combinaison lin´eaire de n variables al´eatoires Xi ind´ependantes,

qui suivent des lois normales, la variable Z = P ai· Xi est une loi normale de moyenne µZ et

d’´ecart-type σZ tels que :

µZ = n X i=1 ai· µXi (2.27) σZ2= n X i=1 ai2· σXi 2 _(2.28)

λDa, ηDa, λeet ηe´etant respectivement les moyennes et ´ecarts-types des lois normales ln(Da)

et ln(e), λγ et ηγ sont d´efinis par :

λγ= λe− 1 2 · λDa− λC0 (2.29) ηγ= r ηe2+ 1 4· ηDa2 (2.30)

Les valeurs obtenues sont pr´esent´ees dans le tableau 2.2o`u la moyenne et l’´ecart-type sont calcul´es selon les relations1.53 et1.54.

Variable al´eatoire Type de loi µ σ λ η

γ Log-normale 1,55 0,42 0,41 0,26

Tab. 2.2 – Param`etres de la variable interm´ediaire pour le probl`eme de durabilit´e pour la vali- dation de la m´ethode GPACE

Compte tenu de ces r´esultats, la fonction de r´epartition de γ est enti`erement d´etermin´ee. La valeur de la probabilit´e de d´efaillance calcul´ee selon l’´equation2.25vaut Pf = 6,164 %. L’indice

l’´equation 1.64, est β = 1,5411. L’algorithme du GPACE permet donc de retrouver la valeur exacte de l’indice de fiabilit´e, `a la pr´ecision num´erique sur β prˆet.

Des comparaisons similaires sont effectu´ees pour des dur´ees de vie tdv de 25 et 100 ans qui

correspondent respectivement `a des valeurs de C0 de 9 et 18 ans1/2. Tous les r´esultats obtenus

par la m´ethode GPACE sont r´ecapitul´es dans le tableau2.3. La valeur de β issue du calcul exact de la probabilit´e de d´efaillance Pf est retrouv´ee dans les trois cas.

tdv (ans) β GPACE β par Pf exacte

25 2,8590 2,8590

50 1,5411 1,5411

100 0,2246 0,2246

Tab. 2.3 – R´esultats de l’algorithme GPACE pour le probl`eme de durabilit´e

Cet exemple reste malgr´e tout simple car le nombre de variables al´eatoires est limit´e et la fonction d’´etat limite G est relativement lin´eaire. La m´ethode GPACE sera donc test´ee avec des exemples de fiabilit´e non lin´eaires et comportant plus de variables al´eatoires, issus de probl`emes m´ecaniques de r´ef´erence pour la litt´erature fiabiliste.