Actualisation indirecte par les profils exp´ erimentaux

L’int´erˆet de travailler sur des r´eseaux bay´esiens r´eside ´egalement dans l’actualisation indi- recte des donn´ees `a laquelle l’utilisateur peut s’adonner comme expos´e dans la partie 1.5.2.3du chapitre bibliographique. En effet, le mod`ele de comportement du syst`eme ´etant jug´e satisfai- sant pour la p´en´etration des chlorures dans un b´eton immerg´e, des observations sur les profils en chlorures peuvent ˆetre port´ees sur le r´eseau bay´esien et permettre alors une actualisation des erreurs des mod`eles ´el´ementaires.

Un exemple est propos´e `a partir de r´esultats de profils en chlorures ´etablis sur des blocs massifs prismatiques en b´eton mis en contact avec de l’eau sal´ee dans des containers. Le b´eton ´

etudi´e est compos´e de CEM I dont la formulation est reprise dans le tableau3.22. La composition min´eralogique du ciment est mentionn´ee dans le tableau 3.23.

Une partie des ´el´ements en b´eton ´etait immerg´ee en permanence, une autre soumise `a des cycles d’humidification-s´echage grˆace `a un syst`eme de pompe et la partie sup´erieure ´etait en zone atmosph´erique. Les containers ´etant stock´es sur la ville maritime de Fiskeb¨ack en Su`ede, la solution a ´et´e renouvel´ee en continu par l’eau de la mer Baltique (condition a1) dont la

salinit´e en chlorures est estim´ee `a 10,5 g/l. Pour d’autres containers, l’eau de mer utilis´ee ´etait artificielle (condition a3) avec une concentration en chlorures mesur´ee `a 10,3 g/l. Les cycles d’humidification-s´echage ont ´egalement ´et´e modifi´es suivant les containers (condition b11 et b14) avec de l’eau de mer artificielle, sans cons´equence pour cet exemple qui s’appuie uniquement sur les zones immerg´ees en permanence.

Formulation Ciment (kg/m3) Granulats (kg/m3) E/C vp

1-40L 420 1692 0,40 0,36

Tab. 3.22 – Composition du b´eton 1-40L expos´e `a l’eau de mer [Tang, 1997]

Composant C3S C2S C3A C4AF

% en masse de ciment 59 17 2 15

Tab. 3.23 – Composition min´eralogique du ciment CEM I du b´eton 1-40L [Tang, 1997]

Apr`es un an d’exposition, des carottages ont ´et´e effectu´es sur les blocs en b´eton suivant les trois ambiances d’exposition et les conditions de l’essai. Les profils en chlorures ont ´et´e ´etablis par grignotage, attaque `a l’acide nitrique et dosage potentiom´etrique au nitrate d’argent. Les r´esultats de quatre profils sont indiqu´es sur la figure3.19ainsi que la pr´ediction obtenue avec le mod`ele de diffusion simplifi´e utilis´e pour le r´eseau bay´esien.

Fig. 3.19 – Profils exp´erimentaux du b´eton 1-40L expos´e `a l’eau de mer [Tang, 1997] et pr´ediction du mod`ele simplifi´e

Les param`etres utilis´es pour la pr´ediction sont report´es dans le tableau3.24. La porosit´e du b´eton n’ayant pas ´et´e mesur´ee, elle est d´eduite de la porosit´e de la pˆate, elle-mˆeme calcul´ee par le mod`ele de Powers, par simple dilution.

tnrc CSH AFm vp ppate p ms x t cref

(kg/m3) (kg/kgciment) (%) (%) (kg/m3) (cm) (ann´ees) (g/l)

420 0,45 0,15 0,36 38,3 13 2650 1,5 1 10,5

Tab. 3.24 – Constantes du r´eseau bay´esien associ´ees au b´eton 1-40L

Condition a1 a3 b11 b14

Chlorures totaux `a 1,5 cm (% masse de b´eton) 0,026 0,102 0,07 0,129

Tab. 3.25 – Chlorures totaux mesur´es dans le b´eton 1-40L `a 1,5 cm apr`es un an d’exposition

Toutes ces informations permettent de renseigner le r´eseau bay´esien illustr´e sur la figure3.20

qui fournit l’histogramme du coefficient de diffusion effectif et celui de la concentration en chlorures totaux `a la profondeur 1,5 cm pour un temps d’exposition d’une ann´ee.

Pour cet exemple, seule la profondeur 1,5 cm, repr´esentative de la dispersion observ´ee sur les profils, est ´etudi´ee, mˆeme si la mˆeme d´emarche `a toutes les profondeurs disponibles devrait ˆetre effectu´ee. Les r´esultats exp´erimentaux `a cette abscisse sont repris dans le tableau3.25.

Ces quatre r´esultats sont ajout´es sur le r´eseau sous forme d’un histogramme sur la variable Cxt. Chaque valeur appartenant `a un intervalle unique, la fr´equence 25 % est syst´ematiquement report´ee sur l’histogramme. La vraisemblance associ´ee `a ces observations est illustr´ee sur la figure3.21.

Fig. 3.21 – Vraisemblance des observations sur les profils en chlorures `a l’abscisse 1,5 cm

Une confiance de 1 est apport´ee `a chaque concentration mesur´ee, soit une confiance de 4 apport´ee `a l’histogramme des observations. Pour les erreurs de mod`ele ErrD et ErrC, la

confiance retenue correspond aux nombres de r´esultats initiaux, respectivement 40 et 23. Les histogrammes actualis´es de ErrD et ErrC sont pr´esent´es sur la figure 3.22 et compar´es avec

ceux initialement disponibles.

Dans les deux cas, la moyenne sur le coefficient de diffusion est l´eg`erement augment´ee ainsi que l’´ecart-type sur ErrD pour passer de 0,45 `a 0,46. En revanche, pour la fixation des chlorures

de ErrD. Ceci indique une plus grande sensibilit´e du coefficient de diffusion que de la fixation

des chlorures.

Fig. 3.22 – Comparaison des histogrammes de ErrD et ErrC avant et apr`es actualisation sur

les profils en chlorures du b´eton 1-40L

Cet exemple permet d’illustrer l’actualisation des densit´es de probabilit´e de mani`ere indirecte grˆace au r´eseau bay´esien. L’outil est op´erationnel pour implanter des r´esultats exp´erimentaux de profils en chlorures et parvenir `a enrichir la base de donn´ees.

N´eanmoins, l’utilisation encore un peu fastidieuse du r´eseau ne transparaˆıt pas dans ce d´eveloppement. Netica calcule parfaitement les vraisemblances des observations, mais l’appren- tissage ne s’effectue pas automatiquement si les r´esultats obtenus lors de cette phase ne cor- respondent pas `a une densit´e de probabilit´e unique sur l’histogramme `a actualiser. Il faut alors rentrer « `a la main » les densit´es de probabilit´e pour que l’op´eration d’actualisation ait lieu.

Les limites de Netica sont donc atteintes dans les probl`emes purement physiques pour les- quels les variables al´eatoires ne peuvent pas se r´esumer `a des possibilit´es binaires. Parmi les outils de r´eseaux bay´esiens, une Toolbox MATLAB d´evelopp´ee `a Berkeley, BNT [Murphy, 2001], est disponible librement et semble mieux adapt´ee aux probl`emes physiques notamment car le couplage avec un mod`ele num´erique sur MATLAB est rendu possible. En revanche, aucune in- terface graphique n’est disponible et le r´eseau bay´esien est directement programm´e dans une

page Script de MATLAB. Ce programme s’adresse donc `a des sp´ecialistes et le transfert vers d’autres utilisateurs non initi´es paraˆıt difficile.

Dans la gamme des logiciels libres, Netica reste pour le moment le meilleur outil, en parti- culier pour sa simplicit´e de compr´ehension grˆace `a une interface graphique qui permettra `a la plupart des chercheurs de travailler sur les r´eseaux bay´esiens afin de contribuer `a l’´evolution des bases de donn´ees.

Application probabiliste

4.1

Introduction

Les ´el´ements n´ecessaires `a la mise oeuvre d’une m´ethodologie probabiliste de la durabilit´e des b´etons en environnement marin ont ´et´e pr´esent´es dans les chapitres pr´ec´edents. Les quatre piliers fondamentaux qui ont ´et´e d´evelopp´es sont :

– l’agorithme probabiliste de niveau 2,

– le mod`ele d´eterministe de p´en´etration des chlorures dans le b´eton,

– la d´efinition des variables al´eatoires et l’acquisition r´ealiste des densit´es de probabilit´e, – le r´eseau bay´esien d’actualisation des donn´ees.

Le canevas g´en´eral de la m´ethodologie est repris sur l’organigramme de la figure 4.1. Les variables al´eatoires sont au coeur du probl`eme probabiliste. Elles servent de donn´ees initiales (a priori ) dans le r´eseau bay´esien pour ˆetre actualis´ees (a Posteriori ) par de nouveaux r´esultats exp´erimentaux. Le passage aux r´esultats de fiabilit´e n´ecessite de d´efinir une loi de distribution associ´ee aux densit´es de probabilit´e observ´ees. Le recours `a des tests statistiques permet de valider la pertinence des lois propos´ees.

Au moyen de ces lois, l’algorithme probabiliste permet de se d´eplacer dans l’espace des variables al´eatoires standardis´ees. Coupl´e au mod`ele d´eterministe, l’indice de fiabilit´e et le point le plus probable d’amor¸cage de la corrosion (point de conception) sont obtenus.

La r´eglementation et les crit`eres d’acceptation permettent finalement de conclure de mani`ere objective sur la validit´e du dimensionnement en int´egrant les incertitudes sur les param`etres physiques et g´eom´etriques du probl`eme de durabilit´e.

Fig. 4.1 – Organigramme g´en´eral de la m´ethodologie probabiliste

Ce chapitre est consacr´e `a l’application de la m´ethodologie de dimensionnement probabiliste. La premi`ere partie expose les aspects r´eglementaires des ouvrages en environnement marin. La partie suivante illustre la d´emarche et l’exploitation des r´esultats de fiabilit´e au travers d’un exemple complet d’un ouvrage en b´eton, compos´e de ciment CEM I avec et sans fum´ees de silice, immerg´e dans l’eau de mer et dont la dur´ee de vie pr´econis´ee est de 50 ans.

La derni`ere partie finalise l’´etude en proposant une approche semi-probabiliste destin´ee `a l’ing´enierie. Un mod`ele de durabilit´e simplifi´e fond´e sur la fonction analytique erf est d´evelopp´e. La variabilit´e des param`etres du mod`ele est r´ev´el´ee sous forme de valeurs caract´eristiques et de coefficients de s´ecurit´e utilisables dans le mod`ele. Les coordonn´ees du point de conception obtenues avec la m´ethodologie compl`ete permettent de calibrer ces jeux de donn´ees.