R´ esultats de l’algorithme GPACE pour le cylindre nervur´ e

Les r´esultats obtenus par l’algorithme GPACE sont similaires aux r´esultats de r´ef´erence. Les trois exemples ´etudi´es ont permis de valider l’algorithme GPACE et sa programmation en FORTRAN. Il reste `a proposer un mod`ele de durabilit´e et `a le coupler avec ce programme pour ´etablir une pr´ediction probabiliste de la durabilit´e.

2.3

Mod`ele d´eterministe

Les mod`eles de diffusion existants ont ´et´e pr´esent´es dans la revue bibliographique. Ils se classent en trois grandes cat´egories :

– les mod`eles empiriques,

– les mod`eles physiques en diffusion mol´eculaire fond´es sur la loi de Fick,

– les mod`eles physiques en diffusion ionique fond´es sur la relation de Nernst-Planck. Dans l’approche probabiliste et le couplage avec l’algorithme du GPACE, le mod`ele de dif- fusion des chlorures choisi se r´ev`ele ˆetre un compromis entre trois crit`eres :

– Robustesse du mod`ele. Le mod`ele retenu doit pouvoir d´ecrire correctement les ph´enom`enes physiques mis en jeu et proposer des pr´edictions avec une pr´ecision suffisante.

– Complexit´e du mod`ele. Les temps de calcul ont souvent ´et´e un frein `a l’utilisation des m´ethodes probabilistes. Malgr´e les moyens de calcul actuels, le mod`ele ne doit pas ˆetre chronophage et utiliser trop de param`etres d’entr´ee. Les dur´ees de vie sp´ecifi´ees en dura- bilit´e restent souvent tr`es longues et les algorithmes probabilistes, mˆeme optimis´es comme celui du GPACE, font souvent appel au mod`ele d´eterministe.

– Signification physique des param`etres d’entr´ee du mod`ele. Les param`etres associ´es au mod`ele doivent ˆetre quantifiables `a partir d’essais en laboratoire pour pr´etendre proposer des lois de distribution r´ealistes des variables al´eatoires retenues dans le probl`eme.

2.3.1 Immersion

2.3.1.1 Pr´esentation

Les mod`eles empiriques n´ecessitent des donn´ees in situ pour calibrer la solution analytique de la seconde loi et obtenir les param`etres n´ecessaires `a la pr´ediction du profil en chlorures dans le mat´eriau. Ces mod`eles sont simples mais ne sont pas retenus dans la m´ethodologie probabiliste car ils demandent une calibration pour chaque nouveau cas ´etudi´e, rendant la port´ee du d´eveloppement limit´ee. Les mod`eles physiques fond´es sur la loi de Fick sont les plus complets. Cependant, la quantit´e de donn´ees d’entr´ee qu’ils requi`erent rend l’analyse statistique associ´ee fastidieuse. De plus, les sch´emas num´eriques sont trop longs pour que ces mod`eles puissent ˆetre appel´es r´eguli`erement par l’algorithme probabiliste sans engendrer un temps de calcul global exorbitant.

La m´ethodologie est d´evelopp´ee dans le cas d’un b´eton immerg´e dans l’eau de mer. Le mod`ele propos´e est un mod`ele physique non lin´eaire qui utilise l’´equation de conservation des chlorures dans un milieu poreux satur´e. La description du flux de chlorures est unidimensionnelle et se fait par l’interm´ediaire de la premi`ere loi de Fick. L’´equation 1.19, ´etablie dans le premier chapitre, et cit´ee `a nouveau ici, permet de calculer la concentration en chlorures c (mol/m3) pour une abcisse x (m) et un temps d’exposition t (s) :

∂c ∂t = De p + ρd∂C_∂cb ∂2c ∂x2 = Da ∂2c ∂x2 (2.43)

Les param`etres physico-chimiques associ´es sont le coefficient de diffusion effectif De (m2/s),

la porosit´e p, la masse volumique s`eche ρd (kg/m3), et l’isotherme d’interaction des chlorures

Cb(c) (mol/kg de solide). L’´equation diff´erentielle `a r´esoudre est non lin´eaire car la forme de l’iso-

therme de fixation est prise en compte explicitement, contrairement aux mod`eles empiriques o`u l’isotherme est consid´er´e lin´eaire (c’est-`a-dire que Da est constant, ce qui permet une r´esolution

analytique par la seconde loi de Fick). Ce mod`ele permet de prendre en compte de fa¸con compl`ete les param`etres mesurables qui influencent directement la p´en´etration des chlorures : la porosit´e, le coefficient de diffusion et l’isotherme de fixation des chlorures.

Les interactions varient en fonction de la concentration en chlorures libres dans la solu- tion interstitielle suivant la somme de deux fonctions, l’isotherme type Langmuir corrig´e par

une fonction puissance type Freundlich, d´ej`a explicit´ees dans le premier chapitre. L’expression math´ematique est rappel´ee ici :

Cb=

α1β1c

1 + β1c

+ α2cβ2 (2.44)

o`u Cb(mol/kg de solide) est la quantit´e de chlorures fix´es sur la matrice cimentaire, c (mol/m3

de solution interstitielle) est la quantit´e de chlorures libres, et α1, α2, β1, β2 sont des coefficients

d´etermin´es par calage aux r´esultats exp´erimentaux d’isotherme de fixation.

L’´equation de continuit´e2.43pr´esent´ee est une ´equation aux d´eriv´ees partielles. La solution analytique ne peut plus ˆetre appliqu´ee au vu de l’hypoth`ese pr´esent´ee pour l’isotherme de fixation et une r´esolution num´erique est propos´ee. La m´ethode par diff´erences finies est retenue pour le calcul des d´eriv´ees partielles. Le d´eveloppement en s´erie de Taylor permet d’´ecrire, sous conditions de d´erivabilit´e, les approximations des d´eriv´ees au premier et au deuxi`eme ordre d’une fonction u(x) lorsque h tend vers 0 :

du (x) dx ≈ u (x + h) − u (x) h (2.45) d2_{u (x)} dx2 ≈ u (x + h) − 2u (x) + u (x − h) h2 (2.46)

Le sch´ema num´erique utilis´e est une formulation en diff´erences finies semi-implicite, selon une θ-m´ethode. Pour une ´equation `a r´esoudre de type du_dt = f (u, t), l’approximation est la suivante :

f 

un+θ, tn+θ 

= (1 − θ) · f (un, tn) + θ · f un+1, tn+1
(2.47)

o`u un est la valeur (connue) de u `a la date tn et un+1 la valeur (encore inconnue) de u `a la date tn+1. Pour le mod`ele Immersion, l’´evaluation est faite au temps t+1/2dt selon la m´ethode de Cranck Nicolson [Crank et Nicolson, 1947], c’est-`a-dire θ = 1/2.

Ainsi, en combinant ces approximations, l’´equation 2.43 discr´etis´ee en temps et en espace s’´ecrit, avec τ le pas en temps, h le pas d’espace, n l’indice de temps et i l’indice d’espace :

cn+1_i − cn i τ = 1 2 Da cn+1_i+1 − 2cn+1_i + cn+1_i−1 h2 + Da cn_i+1− 2cn i + cni−1 h2 ! (2.48)

Les inconnues sont les concentrations aux temps n+1 en chaque noeud i. L’isotherme de fixation d´epend du temps puisque la quantit´e de chlorures fix´es d´epend de la concentration en chlorures libres. Le coefficient de diffusion apparent Da d´epend donc du temps ainsi que le

coefficient λ. Une hypoth`ese est retenue dans l’´equation2.48 : Da est exprim´e au temps n dans

les deux termes du sch´ema de Cranck Nicolson alors qu’il devrait ˆetre exprim´e au temps n+1 dans le premier terme.

Le sch´ema obtenu n’est plus tout `a fait conforme `a la formulation semi-implicite compl`ete, mais cette simplification permet d’obtenir le r´esultat sans avoir `a it´erer `a chaque pas de temps pour converger vers la solution cn+1. En effectuant des calculs avec diff´erents pas de temps, il apparaˆıt que l’erreur commise par l’approximation explicite sur l’isotherme n’a pas d’incidence sur le profil en chlorures [Deby, 2005]. Ceci permet un gain de temps de calcul compatible avec la m´ethode probabiliste.

Enfin, il est montr´e [Nougier, 1987] que le sch´ema num´erique de Cranck Nicolson est incondi- tionnellement stable pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles de type diffusion comme la nˆotre. Cependant, ce crit`ere n’est pas des plus importants puisque la forme des profils en chlorures n’est pas sujette `a l’instabilit´e.

2.3.1.2 Mise en oeuvre et r´esultats

La diffusion est consid´er´ee unidirectionnelle. La r´esolution ´etant effectu´ee num´eriquement, l’´el´ement de b´eton, d’´epaisseur L, est d´ecompos´e en N +2 noeuds, d’espacement h constant (h=L/N +1), comme repr´esent´e sur la figure 2.5.

A chaque noeud i, pour un temps d’exposition donn´e, les concentrations en chlorures libres et totaux sont d´etermin´ees. Les noeuds 1 `a N sont les noeuds internes au maillage, pour lesquels les concentrations sont obtenues par r´esolution d’un sch´ema num´erique. Les noeuds 0 et N +1 sont les noeuds o`u interviennent les conditions aux limites et leurs concentrations seront not´ees par la suite respectivement camont et caval.

La r´eorganisation de l’´equation2.48fait apparaˆıtre un sch´ema explicite pour lequel le syst`eme matriciel `a r´esoudre est repris dans l’´equation 2.49, o`u λ = Da·τ

2·h2. A chaque pas de temps,

l’inversion du syst`eme est effectu´ee et les inconnues des noeuds au temps n+1 sont d´eduites en fonction des valeurs des concentrations en chaque noeud au temps pr´ec´edent n.

                  1 + 2λ1 −λ1 0 · · · 0 −λ2 1 + 2λ2 −λ2 0 · · · 0 0 . .. . .. . .. 0 · · · 0 0 0 −λi 1 + 2λi −λi 0 0 0 · · · 0 . .. . .. . .. 0 0 · · · 0 −λ_{N −1} 1 + 2λN −1 −λN −1 0 · · · 0 −λ_N 1 + 2λN                   ·                   cn+1₁ cn+1₂ .. . cn+1_i .. . cn+1_{N −1} cn+1_N                   =                   b1 = 2λ1camont+ (1 − 2λ1) cn1 + λ1cn2 b2 = λ2cn1 + (1 − 2λ2) cn2 + λ2cn3 .. . bi = λicni−1+ (1 − 2λi) cni + λicni+1 .. . bN −1= λN −1cnN −2+ (1 − 2λN −1) cnN −1+ λN −1cnN bN = λNcnN −1+ (1 − 2λN) cnN+ λNcaval                   (2.49)

Le probl`eme a ´et´e adimensionnalis´e pour limiter les erreurs num´eriques compte tenu de l’ordre de grandeur des diff´erents param`etres du probl`eme (coefficient de diffusion environ de 10−12 m2/s et porosit´e 10−2 par exemple). Les transformations suivantes sont utilis´ees :

( cmax= max (cinter, cmer)

DT = L2_/D e

Les variables adimensionnelles, not´ees par un exposant0, s’´ecrivent alors :        T0 = T /DT τ0 = τ /DT L0 _{= L/L h}0_{= h/L} c0 = c/cmax D0 = De/De (2.51)

o`u T , τ , L, h, c et Desont respectivement le temps d’immersion, le pas de temps du sch´ema

num´erique, l’´epaisseur de l’´el´ement en b´eton, le pas d’espace du sch´ema num´erique, la concen- tration en chlorures dans le b´eton et le coefficient de diffusion effectif des chlorures.

Toutes les r´esolutions num´eriques sont effectu´ees avec ces variables. A la fin du temps d’im- mersion, suite au calcul en tout point du maillage des concentrations en chlorures, le r´esultat est ramen´e en variables r´eelles.

La gestion des conditions aux limites est de deux types : une condition sur la concentration en amont, cˆot´e face expos´e du b´eton, et une condition sur le flux des esp`eces en aval.

En amont, les conditions aux limites sont ind´ependantes du temps : la concentration camonten

chlorures est d´etermin´ee en fonction de la salinit´e moyenne du milieu cmer(conditions aux limites

de type Dirichlet ). Cependant, le programme peut facilement ´evoluer pour que les conditions aux limites `a l’amont soient d´ependantes du temps en introduisant une loi, de type sinuso¨ıde par exemple, pour prendre en compte la variation annuelle de la salinit´e.

A l’aval, deux cas sont envisageables :

– la surface est ´egalement expos´ee aux chlorures `a la mˆeme concentration qu’en amont. L’´el´ement de b´eton est alors divis´e en deux parties et le profil complet est obtenu par sym´etrie. Sur le demi-´el´ement, la sym´etrie impose le flux sortant nul `a l’extr´emit´e non expos´ee, d´efinie comme le noeud aval.

– La surface est consid´er´ee non-expos´ee `a une solution. Le maillage est effectu´e sur l’´el´ement complet et le flux sortant est nul.

Dans les deux cas, le flux des chlorures `a l’aval est nul (conditions aux limites de type Neumann). Num´eriquement, la concentration caval est donc ´egale `a la concentration au noeud

N , quel que soit le temps n.

Les conditions initiales sont telles que, en tout point du maillage, la concentration en chlorures est ´egale `a la composition de la solution interstitielle cinter au d´ebut de l’immersion (typiquement

En r´esum´e, les conditions initiales et les conditions aux limites sont reprises par les ´equations2.52et2.53 :

CI : ∀i ∈ [1, N ] , ci = cinter et caval= cinter (2.52)

CL : ( _c

amont = cmer (Dirichlet)

De_∂x∂c

aval= 0 (N eumann)

(2.53) Finalement, les donn´ees d’entr´ee du programme concernent le mat´eriau, sa g´eom´etrie et les conditions d’exposition :

– la porosit´e p du mat´eriau, sa masse volumique sp´ecifique (de solide) ρs,

– le coefficient de diffusion effectif des chlorures De,

– les coefficients de l’isotherme d’interaction des chlorures avec la matrice cimentaire α1, α2,

β1 et β2,

– l’´epaisseur L de b´eton dans la direction de diffusion,

– la concentration initiale en chlorures dans la solution interstitielle, celle dans la solution d’immersion (salinit´e moyenne) et la dur´ee d’immersion.

La programmation a ´et´e effectu´ee en FORTRAN 77 pour les deux crit`eres de rapidit´e et de gratuit´e pr´ec´edemment retenus. Elle permet, en outre, le couplage et la compilation des algorithmes GPACE et Immersion dans un mˆeme ex´ecutable.

2.3.2 Validation

Le mod`ele Immersion n’a pas pour but de se substituer aux mod`eles physiques multi- esp`eces. Leur champ de comp´etences est beaucoup plus large, les r´esultats obtenus plus complets. N´eanmoins Immersion a ´et´e d´evelopp´e pour r´epondre `a une approche probabiliste en limitant les temps de calcul. Dans ce contexte, le mod`ele d´eterministe doit tout de mˆeme rester robuste pour ˆetre implant´e dans la m´ethodologie. C’est pourquoi le champ d’application d’Immersion va ˆetre compar´e, ci-apr`es, `a un mod`ele physique complet MsDiff et `a des r´esultats exp´erimentaux.

2.3.2.1 Comparaison avec un mod`ele physique multi-esp`eces

La premi`ere validation est effectu´ee en comparaison avec un mod`ele physique : MsDiff MsDiff [Truc, 2000] [Khitab et al., 2005]. C’est un outil permettant de d´ecrire le transfert unidi-

mensionnel d’esp`eces ioniques `a travers un milieu poreux satur´e, ´ecrit sous SCILAB, ´equivalent libre de MATLAB.

Le mod`ele est une approche multi-esp`eces fond´ee sur l’´equation 1.9 de Nernst-Planck qui donne l’expression compl`ete du flux des diff´erents ions en solution. L’´equation de conserva- tion 1.18 est r´esolue pour chaque esp`ece ionique en pr´esence. Ces ´equations sont coupl´ees via le champ ´electrique local calcul´e `a partir de l’´equation de courant 1.11. La condition d’´electroneutralit´e est suppos´ee respect´ee en tout point de l’espace. Enfin, la phase solide peut ˆ

etre r´eactive avec les chlorures, les r´eactions ´etant prises en compte au travers de l’isotherme d’interaction 1.14.

MsDiff d´etermine `a chaque pas de temps et en tout point du maillage le champ ´electrique ainsi que les concentrations des diff´erentes esp`eces. Les r´esultats `a l’issue de la simulation sont les profils de concentration et les flux des esp`eces ioniques, ainsi que la distribution de la diff´erence de potentiel dans le milieu poreux.

Pour cette premi`ere validation, le b´eton ´etudi´e est compos´e d’un ciment CEM I 52,5 R avec un rapport E/C de 0,4. Les pr´edictions de concentrations en chlorures libres et totaux obtenues par MsDiff et par Immersion vont ˆetre compar´ees. Les tableaux2.8 et2.9 indiquent respectivement la formulation du b´eton et les caract´eristiques du ciment.

Composant Type Quantit´e (kg/m3₎

Ciment CEM I 52,5 R 560

Sable 0/4 mm 695

Gravier 3/8 mm 825

Eau 224