Pr´ esentation du r´ eseau bay´ esien

3.3.1.1 Construction du r´eseau

Un r´eseau bay´esien permet de repr´esenter de mani`ere simple et concise les liens entre les diff´erentes variables, al´eatoires ou non, du probl`eme. Toutes les informations concernant les lois

pr´ec´edemment ´etablies, les erreurs des mod`eles, les param`etres de composition du b´eton et les r´esultats de pr´ediction sont synth´etis´es sur un mˆeme graphique. La figure 3.13 repr´esente le r´eseau bay´esien associ´e `a un b´eton de CEM I.

Le logiciel Netica [Netica, 2008] est utilis´e pour construire ce r´eseau. Deux types de variables sont implant´es :

– les param`etres constants, repr´esent´es par leur d´enomination entour´ee par un cercle, – les variables al´eatoires, repr´esent´ees par leur d´enomination et l’histogramme correspon-

dant.

Fig. 3.13 – R´eseau bay´esien associ´e `a la durabilit´e des b´etons en environnement marin

Les constantes peuvent ˆetre modifi´ees en fonction de chaque cas d’´etude. Par exemple, pour un b´eton dont la composition chimique et la formulation sont donn´ees, les valeurs calcul´ees des hydrates CSH et AFm, la fraction volumique de pˆate, la teneur en ciment et la porosit´e de la pˆate de ciment de CEM I sont introduites. La mesure de porosit´e accessible `a l’eau permet de

renseigner la porosit´e du b´eton et sa masse volumique sp´ecifique.

Trois variables repr´esentent les erreurs multiplicatives al´eatoires : ErrD, ErrC et Errp. Les

constantes correspondent `a des valeurs particuli`eres pour un b´eton donn´e, mais ErrD, ErrC et

Errp , « normalis´ees » pour ˆetre g´en´erales, sont communes `a tous les cas ´etudi´es. La d´efinition

propos´ee des erreurs multiplicatives permet donc de d´evelopper un r´eseau bay´esien unique par type de b´etons (CEM I ou CEM I avec fum´ees de silice).

Deux autres variables al´eatoires sont ´egalement utilis´ees : le coefficient de diffusion effectif De et la concentration en chlorures Cxt `a l’abscisse x et au temps d’exposition t. Une fois les

constantes introduites dans le r´eseau pour le b´eton ´etudi´e, les densit´es de probabilit´e de ces deux variables al´eatoires sont automatiquement recalcul´ees.

Les variables al´eatoires ne pouvant pas ˆetre d´efinies de fa¸con continue dans Netica, elles sont discr´etis´ees. La discr´etisation de ErrD et ErrC est effectu´ee avec un pas constant de fa¸con `a

introduire directement les histogrammes d´ej`a obtenus (figure3.5et3.10). Les plages de valeurs possibles sont ´etendues pour permettre un ´eventuel d´ecalage au fur et `a mesure des nouvelles observations.

L’histogramme de Errp est d´efini avec un pas constant afin de suivre une loi normale centr´ee

sur 1 avec le coefficient de variation de 10 % retenu pour int´egrer la variabilit´e `a l’´echelle de l’ouvrage.

La discr´etisation du coefficient de diffusion Delabo et de la concentration en chlorures Cxt

s’effectue avec un pas constant suivant une plage estim´ee en vue de couvrir l’ensemble des valeurs qui peuvent ˆetre observ´ees. Le travail d’expertise intervient `a cette ´etape en proposant des bornes de calcul coh´erentes et un pas adapt´e `a la pr´ecision des mesures.

Les bornes de l’histogramme de Cxt (% en masse de b´eton) sont comprises entre 0 (abscence de chlorures) et 0,5 (valeur calcul´ee `a la surface du b´eton pour la concentration moyenne en chlorures dans l’eau de mer, un ciment permettant une fixation importante et une porosit´e ´

elev´ee). Les bornes de Delabo sont d´efinies entre 0 et 4.10−12 m2/s, couvrant ainsi les b´etons

dont la durabilit´e peut ˆetre qualifi´ee d’´elev´ee `a faible.

Les densit´es de probabilit´es sont calcul´ees en fonction des variables causes grˆace aux tables de probabilit´es conditionnelles obtenues par simulation de Monte-Carlo.

Une remarque importante concerne le coefficient de diffusion effectif. De, not´e dans le r´eseau

n’est ainsi appliqu´ee `a la porosit´e de la pˆate ppate dans le calcul de Delabo. Seule la variabilit´e

due `a ErrD est introduite. En revanche, dans le calcul de Cxt, la variabilit´e spatiale de la

porosit´e sur ouvrage est prise en compte dans le calcul du coefficient de diffusion effectif comme mentionn´e dans l’´equation3.27. Ce calcul interm´ediaire n’apparaˆıt pas sur le r´eseau tel qu’il est pr´esent´e car le nombre de noeuds disponibles dans Netica en version libre est atteint (15 noeuds maximum).

L’organisation de ce r´eseau est fond´ee sur les deux m´ethodes d’actualisation suivantes : – l’actualisation directe de ErrD qui porte sur des observations issues d’essais de diffusion-

migration en laboratoire,

– l’actualisation indirecte de ErrDet de ErrCqui s’effectue `a partir de profils exp´erimentaux

en chlorures totaux issus de b´etons in situ.

Dans la cas d’un b´eton de CEM I avec fum´ees de silice, le r´eseau bay´esien poss`ede exactement la mˆeme structure. Les histogrammes de ErrD et ErrC sont remplac´es par ceux de ErrDf s et

ErrCf s (figures 3.7 et 3.11). Le terme correctif Rf s pour le coefficient de diffusion n’apparaˆıt

pas sur le graphique car le nombre maximum de noeuds est atteint. Il est introduit directement dans les noeuds associ´es `a Delabo et Cxt. L’utilisateur doit ˆetre vigilant et ne pas oublier de le modifier suivant le b´eton ´etudi´e.

3.3.1.2 Mod`ele de diffusion associ´e

Dans la construction du r´eseau bay´esien, le mod`ele de diffusion utilis´e n’est pas le mod`ele num´erique Immersion, mais un mod`ele simplifi´e fond´ee sur la fonction erreur erf . Deux raisons principales sont `a l’origine de ce choix.

Le logiciel Netica ne permet pas actuellement le couplage avec un mod`ele num´erique. Seules des ´equations analytiques peuvent ˆetre utilis´ees pour traiter les liens de d´ependance. La fonction erreur erf , `a la base de tous les mod`eles analytiques de p´en´etration des chlorures, est cependant disponible.

Si l’actualisation d’un seul param`etre discret est relativement ais´ee, le passage `a plusieurs param`etres d’un syst`eme requiert l’utilisation d’outils num´eriques coˆuteux en temps de calcul (nombreuses simulations n´ecessaires pour calculer les tables de probabilit´es conditionn´ees). Si chaque it´eration fait appel `a un mod`ele de durabilit´e lui mˆeme coˆuteux, les temps de calcul peuvent devenir prohibitifs.

Le d´eveloppement et la validation du mod`ele analytique simplifi´e sont d´evelopp´es dans le chapitre suivant dans la partie4.4.1. N´eanmoins, deux points importants peuvent ˆetre retenus : – ce mod`ele est d´evelopp´e autour de la synth`ese de connaissance effectu´ee et int`egre tout les

param`etres fondamentaux de la m´ethodologie,

– la pr´ecision du mod`ele est suffisante pour que l’actualisation ne soit pas perturb´ee en comparaison de l’utilisation du mod`ele num´erique.

L’utilisation des r´eseaux bay´esiens ne peut pas s’affranchir du mod`ele de comportement du syst`eme : l’application de ces m´ethodes n’a de sens que si le mod`ele est suffisamment robuste pour appliquer les techniques d’actualisation.