Validation du mod`ele sans ddls ´electriques

Consid´erons deux configurations de poutre sandwich encastr´ee-libre, repr´esent´ees dans la Figure 2.4, pouvant ˆetre actionn´ees par des actionneurs par extension ou par cisail-lement. Afin de valider le mod`ele propos´e, nous comparons nos r´esultats num´eriques avec ceux trouv´es dans la litt´erature. Des r´esultats analytiques et num´eriques pour une action statique au moyen d’actionneurs par cisaillement continus [98] et segment´es [84] ont ´et´e pr´esent´es par Sun et Zhang [84, 98]. L’analyse modale d’une poutre avec des actionneurs par extension a ´et´e pr´esent´ee par Lin et al. [63].

10 (a)

10 1

16

8 8 2 Aluminium

PZT5H

Mousse

100 100

PZT5H

10 10

(b)

Figure 2.4: Poutres actionn´ees par extension (a) et par cisaillement (b) (dimensions en mm et pas `a l’´echelle).

Analyse statique

Les configurations g´eom´etriques segment´ees des deux m´ecanismes sont pr´esent´ees dans la Figure 2.4 et les propri´et´es des mat´eriaux sont donn´ees dans l’annexe A. Les poutres sont encastr´ees en x=0 et libres `a x=L. Afin de fl´echir la poutre, des tensions sont appliqu´ees sur les surfaces sup´erieures et inf´erieures des couches pi´ezo´electriques, induisant des efforts ´electriques de flexion. Pour le m´ecanisme d’action par cisaillement, la tension appliqu´ee `a la couche pi´ezo´electrique a une valeur de V_c =20 V, et pour le m´ecanisme d’action par extension, la tension appliqu´ee aux actionneurs est Vp=10 V.

Comme premi`ere analyse, la fl`eche des deux poutres pour le cas continu, c’est-`a-dire, avec des actionneurs ayant la longueur de la poutre, a ´et´e ´evalu´ee et compar´ee aux r´esultats analytiques de Zhang et Sun [98], afin d’examiner la convergence de l’´el´ement fini propos´e. Dans ce cas-ci, pour le m´ecanisme d’action par cisaillement, il n’y a aucune mousse rigide puisque l’actionneur pi´ezo´electrique occupe tout le cœur du sandwich.

Pour les deux m´ecanismes, la d´eformation de la poutre actionn´ee a ´et´e calcul´ee avec seulement quatre ´el´ements finis PSAP 2. Les comparaisons de ces r´esultats avec la solution analytique [98] sont pr´esent´ees dans les Figures 2.5 et 2.6, indiquant qu’ils co¨ıncident tr`es bien.

La convergence des ´el´ements PSAP 1 et PSAP 2 par rapport `a la fl`eche de r´ef´erence de l’extr´emit´e libre de la poutre [98] est montr´ee dans la Figure 2.7 pour le m´ecanisme d’action par cisaillement. Il est clair que le pr´esent ´el´ement (PSAP 2) est tr`es pr´ecis mˆeme avec un faible nombre d’´el´ements (moins de 2% d’erreur pour 2 ´el´ements). En plus, il converge de fac¸on monotone et rapidement vers la fl`eche de r´ef´erence de la poutre. Tandis que l’´el´ement d´ecrit en [16] (PSAP 1) pr´esente des erreurs beaucoup plus ´elev´es (12%

d’erreur pour 2 ´el´ements) et converge plus lentement et de fac¸on non-monotone. La mˆeme analyse pour le m´ecanisme d’action par extension, conduit `a des erreurs des mod`eles

´el´ements finis de moins de 0,1% pour la fl`eche de la poutre (Figure 2.8), mˆeme si l’´el´ement PSAP 2 est encore plus pr´ecis.

Dans un deuxi`eme temps, la fl`eche de la poutre est analys´ee pour les deux m´ecanismes, par les deux mod`eles et pour plusieurs ´epaisseurs d’actionneur. Cette ana-lyse permet d’´evaluer `a la fois deux caract´eristiques des mod`eles. En effet, d’une part, la variation de l’´epaisseur de l’actionneur permet d’analyser, pour le m´ecanisme d’action par cisaillement, le blocage par cisaillement des mod`eles. D’autre part, elle permet d’´evaluer, pour le m´ecanisme d’action par extension, les limitations impos´ees par les hypoth`eses d’Euler-Bernoulli. La Figure 2.9 montre que les deux mod`eles sont assez pr´ecis avec 10

´el´ements pour tout l’intervalle d’´epaisseurs [0,02–10] mm. N´eanmoins, on observe que

0 20 40 60 80 100 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10⁻⁴

Position dans la direction x (mm)

Flèche de la poutre (mm)

Analytique (Zhang & Sun, 1996) Elément fini PSAP 2

Figure 2.5: Fl`eche de la poutre actionn´ee par cisaillement (PSAP 2 vs. analytique).

0 20 40 60 80 100

0 1 2 3 4 5 6x 10⁻⁴

Position dans la direction x (mm)

Flèche de la poutre (mm)

Analytique (Zhang & Sun, 1996) Elément fini PSAP 2

Figure 2.6: Fl`eche de la poutre actionn´ee par extension (PSAP 2 vs. analytique).

le mod`ele PSAP 1, mˆeme avec une int´egration r´eduite, s’´ecarte du r´esultat analytique ra-pidement pour des cœurs minces, tandis que l’erreur du mod`ele PSAP 2, bien que sans int´egration r´eduite, est rapidement stabilis´e autour de 1%.

Pour le m´ecanisme d’action par extension, le probl`eme s’inverse puisque les peaux

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−2 0 2 4 6 8 10 12

Nombre d’éléments

Erreur de la flèche du bout (%)

PSAP 1 PSAP 2

Figure 2.7: Convergence de la fl`eche du bout de la poutre actionn´ee par cisaillement.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Nombre d’éléments

Erreur de la flèche du bout (%)

PSAP 1 PSAP 2

Figure 2.8: Convergence de la fl`eche du bout de la poutre actionn´ee par extension.

sont mod´elis´ees avec l’hypoth`ese d’Euler-Bernoulli, c’est-`a-dire, pour des peaux relati-vement ´epaisses (t/L>5% ou t >5 mm) les mod`eles ne seront plus capables de bien repr´esenter les actionneurs par extension. Afin d’analyser ce probl`eme, la Figure 2.10 montre la variation de l’erreur de la fl`eche de l’extr´emit´e libre de la poutre avec l’´epaisseur de l’actionneur variant dans l’intervalle [0,01–5] mm. On observe que, effectivement, les deux mod`eles sont assez pr´ecis pour des ´epaisseurs inf´erieures `a 0,2 mm, mais

diver-10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Epaisseur de l’actionneur (mm)

Erreur de la flèche du bout (%)

PSAP 1 PSAP 2

Figure 2.9: Effet de l’´epaisseur de l’actionneur sur la pr´ecision des ´el´ements finis pour l’action par cisaillement.

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Epaisseur de l’actionneur (mm)

Erreur de la flèche du bout (%)

PSAP 1 PSAP 2

Figure 2.10: Effet de l’´epaisseur de l’actionneur sur la pr´ecision des ´el´ements finis pour l’action par extension.

gent tr`es rapidement au-del`a de cette valeur. N´eanmoins, l’erreur reste tr`es faible sur tout l’intervalle ´etudi´ee.

Le cas d’actionneurs constitu´es de pastilles pi´ezo´electriques a aussi ´et´e ´etudi´e par Sun et Zhang [84]. Dans ce cas, comme le montre la Figure 2.4, les actionneurs sont moins longs que la poutre d’aluminium. Afin de valider le mod`ele pour ce cas pratique, on fait

10 20 30 40 50 60 70 80 90 6.5

7 7.5 8 8.5 9 9.5x 10⁻⁵

Position de l’actionneur (mm)

Flèche du bout de la poutre (mm)

PSAP 2 Sun & Zhang, 1995

Figure 2.11: Variation de la fl`eche du bout de la poutre avec la position de l’actionneur.

varier la position du centre de l’actionneur dans l’intervalle [10–90] mm. Les r´esultats pour la fl`eche maximale de la poutre (`a l’extr´emit´e libre), pr´esent´es dans la Figure 2.11 indiquent que ceux de l’´el´ement fini PSAP 2 concordent bien avec ceux pr´esent´es par Sun et Zhang [84], utilisant un code ´el´ement fini commercial.

Analyse modale

Les modes et fr´equences propres ont ´et´e ´evalu´es pour les m´ecanismes d’action par cisaillement et par extension. Les donn´ees mat´erielles sont identiques `a celles pr´esent´ees par Lin et al. [63] (voir Annexe A) et les propri´et´es g´eom´etriques sont donn´ees dans la Figure 2.12. Les cinq premi`eres fr´equences propres sont indiqu´ees dans le Tableau 2.1 pour les deux m´ecanismes. Les r´esultats num´eriques correspondent assez bien avec ceux analytiques pr´esent´es par Lin et al. [63].

(a)

20 20 50

2

Mousse 1

0,5 50 PZT5H Aluminium

1

1 1 1 (b)

Figure 2.12: Propri´et´es g´eom´etriques des poutres pour l’analyse modale (dimensions en mm et pas `a l’´echelle).

Il est clair, d’apr`es le Tableau 2.1, que les fr´equences propres de la poutre actionn´ee par cisaillement sont inf´erieures `a celles de l’action par extension. Ceci peut ˆetre expliqu´e

par le fait que la configuration sandwich soit moins rigide que celle d’extension en raison de la pr´esence de la mousse dans le cœur. Cette diff´erence augmente avec la fr´equence parce que la mousse devient plus d´eform´ee (Figure 2.13). On peut voir que dans les trois premiers modes de flexion, l’actionneur est moins d´eform´e pour le m´ecanisme d’action par cisaillement. Des fr´equences analytiques n’ont pu ˆetre trouv´ees dans la litt´erature pour ce m´ecanisme.

Tableau 2.1: Les cinq premi`eres fr´equences (Hz) propres de flexion de la poutre de Lin et al., pour les configurations d’action par cisaillement et par extension.

1 2 3 4 5

M´ecanisme d’action par cisaillement 985 3912 8305 17273 25980 M´ecanisme d’action par extension 1084 4787 12422 24547 38599 R´esultats analytiques [63] 1030 4230 12000 23500 38500

Erreur (%) 4,98 13,17 3,52 4,46 0,26

Mode #1: 989 Hz Mode #2: 3915 Hz Mode #3: 8374 Hz

Mode #1: 1084 Hz Mode #2: 4430 Hz Mode #3: 12422 Hz

Figure 2.13: Premiers modes propres de flexion pour les m´ecanismes d’action par cisail-lement et par extension

Effet du potentiel quadratique induit

Auparavant, il a ´et´e montr´e que l’´equilibre ´electrique (2.14) n’est respect´e dans les pastilles pi´ezo´electriques actionn´ees par extension que si un potentiel ´electrique quadra-tique (2.17) est consid´er´e. En plus, il a aussi ´et´e observ´e (cf. (2.28)) que cette contribution induit une augmentation de la rigidit´e des pastilles pi´ezo´electriques (mˆeme pour le cas ac-tionneur). N´eanmoins, il est int´eressant d’´etudier l’importance de cette contribution pour les applications consid´er´ees. Ainsi, dans cette section, on analyse l’importance du poten-tiel induit pour diff´erentes longueurs et ´epaisseurs des pastilles. Pour ce faire, consid´erons une poutre d’aluminium encastr´ee-libre avec deux pastilles pi´ezo´electriques coll´ees sur ses surfaces sup´erieure et inf´erieure, comme pr´esent´e dans la Figure 2.14.

Sachant que le mat´eriau pi´ezo-c´eramique PZT5H pr´esente une constante de rigidit´e

´elastique tr`es proche de celle de d’aluminium, le rapport entre la rigidit´e globale de la poutre sandwich et celle des pastilles sera d´ependant des longueurs et ´epaisseurs des pas-tilles pi´ezo´electriques. Ainsi, on fait varier leur longueur dans l’intervalle [10–190] mm et, leur ´epaisseur, entre 0,25 et 1 mm. Afin d’´etudier l’influence de la rigidit´e suppl´ementaire induite par le potentiel quadratique, la fl`eche statique due `a une force m´ecanique transver-sale appliqu´ee `a l’extr´emit´e libre de la poutre est calcul´ee avec et sans le terme de rigidit´e