Champs ´electriques dans les sous-couches des peaux

On consid`ere que chaque sous-couche d’une peau peut-ˆetre pi´ezo´electrique dont l’´etat ´electrique est ind´ependant des sous-couches adjacentes. On peut, donc, imposer des potentiels ´electriques ϕ<sup>+</sup><sub>kj</sub> et ϕ<sup>−</sup><sub>kj</sub> sur la j-i`eme sous-couche de la k-i`eme peau. Comme montr´e auparavant, l’effet du potentiel induit peut ˆetre n´eglig´e pour les probl`emes trait´es dans ce qui suit, c’est-`a-dire, pour des pastilles pi´ezo´electriques coll´ees sur une structure.

Ainsi, on suppose un potentiel ´electrique lin´eaire de la forme ϕkj =ϕ¯kj+ (z−z_kj)V_kj

h_kj (2.87)

o`u les quantit´es z<sub>kj</sub> sont les distances entre la ligne moyenne de la k<sub>j</sub>-i`eme sous-couche et la ligne moyenne de la poutre sandwich. Elles s’´ecrivent

z_kj=±h_kj+h_c

2 ±

j−1

∑

r=1

h_kr ; k=a(+),b(−) (2.88)

Le potentiel ´electrique de chaque couche ´etant lin´eaire en z, le champ ´electrique est donc constant dans l’´epaisseur

E_3kj =−V_kj

h_kj (2.89)

2.5.2 Formulation variationnelle

Comme pour le mod`ele pr´ec´edent, la formulation variationnelle de la poutre sand-wich peut ˆetre exprim´ee par (2.24). Puisque les champs de d´eplacements sont les mˆemes, les quantit´esδT ,δH etδW peuvent ˆetre exprim´ees en termes des trois variables princi-pales ¯u, ˜u et w et des potentiels ´electriques de chaque sous-couche pi´ezo´electrique V_kj et du cœur V_c.

Travail virtuel des efforts ´electrom´ecaniques internes

Consid´erant les expressions (2.25) et (2.26), le travail virtuel des efforts

´electrom´ecaniques internes de la poutre sandwich peut s’´ecrire comme la somme des contributions de chaque couche, o`u dans ce cas-ci, les contributions des peaux sont, elles-mˆemes, compos´ees des contributions de leurs sous-couches,

δHk=

n,m

∑

j=1

δHk_j (2.90)

La contribution du cœur n’´etant pas chang´e (2.29), on ne r´e´ecrit, dans cette sous-section, que les expressions correspondantes aux peaux. D’apr`es les lois de comportement (2.11), appliqu´ees `a la k_j-i`eme sous-couche pi´ezo´electrique, et en tenant compte de (2.90), la contribution de la k<sub>j</sub>-i`eme sous-couche au travail virtuel des efforts internes est

δHkj =

Z

Ω_{k j}

δε1kc^∗k₁₁^jε1k−δε1ke^∗k₃₁^jE_3kj−δE3kje^∗k₃₁^jε1k−δE3kjǫ^∗kj

33 E_3kj dΩkj

avec k=a,b et j=1, . . . ,(n,m). On rappelle que le champ de d´eformation est uniforme par peau et celui ´electrique l’est par sous-couche des peaux.

Contrairement au mod`ele pr´ec´edent, les couches a et b ne sont pas n´ecessairement sym´etriques par rapport `a (z−z_a) et (z−z_b) `a cause de leur caract`ere stratifi´e. En remplac¸ant les expressions des champs de d´eformations (2.6) et des champs ´electriques (2.89) dansδH_kj et apr`es son int´egration dans l’´epaisseur, ce travail peut ˆetre d´ecompos´ee en sous-termes repr´esentant les contributions m´ecaniquesδHkjm, pi´ezo´electriquesδHkjme

etδHkjemet di´electriquesδHkje,

δH_kj=δH_kjm−δH_kjme−δH_kjem+δH_kje (2.91)

δHkjm=

o`u A<sub>kj</sub>, ¯I<sub>kj</sub> et I<sub>kj</sub>sont, respectivement, l’aire, le moment statique et le moment quadratique de la section transversale de la k<sub>j</sub>-i`eme sous-couche. Ils s’´ecrivent

A_kj=

Remarque 2.3 Dans le cas de peaux pi´ezo´electriques multicouches, on observe que les couplages ´electrom´ecaniques sont entre le champ ´electrique transversal V_kj/hkj et les d´eformations de membraneε^m_k et de flexionε_k^f. Ainsi, si l’on effectue l’analyse d’action pi´ezo´electrique par extension comme pour le mod`ele pr´ec´edent,δHpme s’´ecrit

δHpme=−

∑

ou, en tenant compte des d´efinitions des d´eformations g´en´eralis´ees (2.7),

δHpme=−

∑

Pour des propri´et´es des mat´eriaux des peaux homog`enes dans la direction longitudinale, l’int´egration de cette expression conduit `a

δHpme=−

∑

On observe, de (2.93), que dans ce cas, contrairement au mod`ele pr´ec´edent, les action-neurs pi´ezo´electriques peuvent aussi fl´echir la poutre sandwich par le couplage mem-brane - flexion dans chaque peau dˆu au moment statique ¯I_kj.

Le travail virtuel des efforts ´electrom´ecaniques (2.91) peut ˆetre exprim´ee en fonc-tion des variables ¯u, ˜u et w en utilisant les d´efinitions des d´eformations g´en´eralis´ees (2.7),

δHk_j = peut ´ecrireδHkj sous la forme

δHk_j =δH_k^lm_j +δH_k^vl_j (2.95)

−δVkj

Travail virtuel des efforts d’inertie

En utilisant l’expression (2.38) du travail virtuel des efforts d’inertie de la poutre sandwich et en y remplac¸ant les expressions des champs de d´eplacements (2.1), on obtient

δTk_j =−

Comme auparavant, la contribution du cœur reste inchang´e et n’est donc pas r´ep´et´ee ici. Pour ce qui est des peaux multicouches a et b, elles ne sont pas n´ecessairement sym´etriques par rapport `a(z−z<sub>a</sub>)et(z−z<sub>b</sub>). Par cons´equent, en int´egrant dans l’´epaisseur la contribution correspondante `a la k_j-i`eme sous-couche des peaux, on a

δTk_j=− En tenant compte de la d´efinition des d´eplacements (2.3) et (2.4), on exprimeδTkj en fonction de ¯u, ˜u et w seulement Faisant une int´egration par parties sur le terme de δw^′, la variation δTk_j peut ˆetre ´ecrite sous la forme

Travail virtuel des efforts ext´erieurs

L’expression du travail virtuel des efforts ext´erieurs (2.49) peut ˆetre ´etendue au cas des peaux multicouches en consid´erant des forces axiales et transversales, surfaciques (F_x^kj,F_z^kj) et volumiques ( f_x^kj, f_z^kj), pour chaque sous-couche des peaux de la poutre sand-wich. La contribution du cœur reste inchang´e et n’est donc pas r´ep´et´ee ici.

Puisque le mˆeme champ de d´eplacements est consid´er´e dans les sous-couches d’une peau, l’´equation (2.46) reste valable, mais avec les nouvelles d´efinitions des forces et moments concentr´es et distribu´es

On observe que l’aspect multicouche des peaux ne change pas les forces axiales N_k et transversales Q_k, qui peuvent ˆetre obtenues par la somme des forces correspondantes appliqu´ees `a chaque sous-couche. Cependant, la diff´erence entre les forces axiales Fx^kj

( j=1, . . . ,(n,m)) des sous-couches de la peau k peut induire un moment Mk. De mˆeme, les forces distribu´ees f_x^kj ( j=1, . . . ,(n,m)) peuvent induire un moment distribu´e mkpar leurs diff´erences. Ce couplage membrane - flexion est ´equivalent `a celui observ´e pour l’action pi´ezo´electrique due au moment statique ¯I_kj.

2.5.3 Equations de mouvement et conditions limites ´

Les ´equations de mouvement et les conditions aux limites de la poutre sandwich s’´ecrivent `a partir de la formulation variationnelle (2.24), en utilisant les expressions des travaux virtuels internes (2.37) et (2.95), d’inertie (2.44) et (2.98) et externes (2.49), avec (2.99), tel que l’expression (2.24) peut ˆetre r´e´ecrite par

∑

k

∑

[0,L], l’´equation r´esultante n’a de solutions non-triviales que si ses coefficients sont nuls, ce qui conduit `a

δu :¯

∑

+

∑

Dans le cas o`u les potentiels V_kj et V_c sont inconnus (cas capteur), les expressions (2.104), (2.105) et (2.106), les fournissent en fonction des d´eformations de membrane et de flexion pour les peaux et de cisaillement pour le cœur. C’est pourquoi en substituant ces expressions dans les autres ´equations de mouvement (2.101), (2.102) et (2.103), la rigidit´e des couches pi´ezo´electriques est augment´ee par un effet passif du mat´eriau, que l’on peut repr´esenter par des modifications des constantes ´elastiques,

¯

On v´erifie que, pour des peaux monocouches, les ´equations (2.101–2.106) condui-sent aux ´equations du mod`ele pr´ec´edent (2.50–2.55). D’ailleurs, les observations for-mul´ees pour ces derni`eres sont aussi applicables ici.

Conditions aux limites

En remplac¸ant les ´equations de mouvement (2.101)–(2.106) dans la formulation variationnelle (2.100), on obtient les conditions aux limites x=0,L suivantes

"

"

Comme pour le cas pr´ec´edent, les peaux pi´ezo´electriques ne peuvent actionner la poutre que par les bords. Alors que le cœur pi´ezo´electrique agit `a travers des moments distribu´es (2.102) et des forces transversales concentr´ees aux bords (2.111).

2.5.4 Discr´etisation par ´el´ements finis

L’objectif de cette section est d’´etendre les mod`eles ´el´ements finis de poutre sand-wich (PSAP et PSEP) pr´esent´es dans§2.3 pour le cas de peaux multicouches. Comme pour le mod`ele pr´ec´edent, on peut consid´erer deux mod`eles distincts, sans et avec des ddls

´electriques pour chaque couche pi´ezo´electrique. Le premier mod`ele, d´enomm´e PMAP (Poutre Multicouche avec Actionneurs Pi´ezo´electriques), est extensible `a partir du mod`ele PSAP, puisque seuls des termes de couplage membrane - flexion des peaux sont ajout´es.

Par cons´equent, dans ce qui suit, on ne pr´esente que les termes modifi´es par ce couplage et on se r´ef`ere aux expressions du mod`ele PSAP. Cependant, pour le mod`ele avec ddls

´electriques, l’extension du mod`ele PSEP n’est pas si simple, puisque le nombre de ddls

´electriques, et donc celui global, est d´ependant du nombre de couches pi´ezo´electriques dans chaque peau. Ainsi, le mod`ele ´etendu d´evelopp´e, d´enomm´e PMEP (Poutre Multi-couche avec ´El´ements Pi´ezo´electriques), aura un nombre de ddls variable. Comme pour les cas des peaux simples, une modification de ce dernier mod`ele est possible `a travers une condensation statique au niveau ´el´ementaire.

Mod`ele sans degr´es de libert´e ´electriques

De (2.91) et (2.97), on peut r´e´ecrire les expressions des matrices de masse M^e_k (2.71) et de rigidit´e K^e_k (2.67) des peaux, et de la force F^e_ke (2.69) ´equivalente `a l’action pi´ezo´electrique des peaux

Les matrices de masse et de rigidit´e de l’´el´ement de poutre sandwich `a peaux mul-ticouches s’´ecrivent

Comme pour le mod`ele pr´ec´edent, en utilisant les expressions (2.26), (2.66), (2.70), (2.72), la discr´etisation de la formulation variationnelle (2.100) fournit les ´equations de mouvement (2.74).

Mod`ele avec degr´es de libert´e ´electriques

Dans cette section la discr´etisation par ´el´ements finis pr´esent´ee dans la section

§2.3.2 est ´etendue, en consid´erant que les peaux sont compos´ees de plusieurs sous-couches pi´ezo´electriques ( ˆn pour la peau a et ˆm pour la peau b), les sous-couches res-tantes ´etant ´elastiques. La matrice d’interpolation d´efinie en (2.61) est augment´ee pour tenir compte des ddls ´electriques V_kr (k=a,b; r=1, . . . ,(n,ˆ m)). Ainsi, le vecteur desˆ

Le vecteur des degr´es de libert´e ´el´ementaires ˆqe, aboutissant `a un ´el´ement fini `a huit ddls m´ecaniques et ˆn+mˆ+1 ´electriques, devient

ˆq_e=col(u¯₁,w₁,w^′₁,u˜₁,u¯₂,w₂,w^′₂,u˜₂,Va₁e, . . . ,Va_nˆe,Vb₁e, . . . ,Vb_mˆe,V_ce) (2.115) La discr´etisation des d´eplacements et des d´eformations n’est pas chang´ee. Les nou-velles matrices Nxi, Nz, Nri, Bmi, Bf iet Bccsont obtenues par l’introduction de z´eros pour tenir compte du changement de taille du vecteur de ddls q_e. Les relations (2.65) restent valables. Les potentiels ´electriques sont discr´etis´ees par,

V_kj=Nˆ_vkjˆq_e; V_c=Nˆ_vcˆq_e (2.116) o`u N_vkj (k=a,b; j=1, . . . ,(n,ˆ m)) et Nˆ vcsont les vecteurs d’interpolation des potentiels

´electriques V_kj, dans les sous-couches des peaux, et V_c, dans le cœur,



La discr´etisation des variationsδH_k^e etδH_c^e(2.78) n’est pas modifi´ee que dans cer-tains termes, de telle fac¸on que les matrices de rigidit´es des peaux deviennent K^e_k=∑jK^e_k

j

et que, de (2.91), les matrices pi´ezo´electriques K^e_kmeet di´electriques K^e_kedeviennent

K^e_kjme=−

∑

j

Z Le

0

e^∗k₃₁^j 1 h_kj

h

A_kjB^T_mk+I¯_kjB^T_{f k}i

Nˆ_vkj dx (2.117)

K^e_kje=−

∑

j

Z Le

0

ǫ^∗kj

33

A_kj h²_k

j

Nˆ^T_vkjNˆ_vkj dx (2.118)

Le travail des efforts d’inertie et ext´erieurs sont obtenus d’apr`es les nouvelles ex-pressions de ˆM<sup>e</sup>et ˆF<sup>e</sup><sub>m</sub>donn´ees par (2.112) et (2.73), respectivement, en faisant attention `a l’ajout des z´eros correspondant aux ddls ´electriques et aux nouvelles d´efinitions de forces et moments concentr´es et distribu´es (2.99) ´evidement.

La discr´etisation de la formulation variationnelle (2.100), r´eduite au niveau

´el´ementaire, fournit les ´equations de mouvement exprim´ees en (2.81), en tenant compte des modifications des matrices pr´esent´ees dans cette section. La condensation statique effectu´ee pour le mod`ele avec ddls ´electriques PSEP (2.82)–(2.85) reste valable pour le pr´esent mod`ele. Ainsi, les ´equations du mouvement de la poutre sandwich `a peaux multi-couches sont toujours repr´esent´ees par (2.86).

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