4.5 Contrˆole actif d’une poutre sandwich `a cœur visco´elastique
4.5.1 Contrˆole optimal lin´eaire quadratique
Afin d’am´eliorer activement l’amortissement des trois premiers modes, la pastille pi´ezo´electrique coll´ee sur la surface sup´erieure de la poutre sandwich est associ´ee `a la strat´egie de contrˆole LQR it´erative pr´esent´ee pr´ec´edemment (Figure 4.2), dont les pa-ram`etres sont Q=diag(1,1,1,0, . . . ,0) et R=γI. La poutre est excit´ee par une force de perturbation transversale concentr´ee, appliqu´ee `a son bout. Son intensit´e est choisie telle qu’elle induit une fl`eche maximale de wL =hb/2=1,5 mm. La tension de contrˆole est limit´ee `a 250 V, soit un champ ´electrique maximum dans l’actionneur de 500 V/mm.
L’autre pastille pi´ezo´electrique, bien que non utilis´ee dans ce cas, est gard´ee pour des comparaisons ult´erieures. Une force de perturbation transversale est appliqu´ee au bout de la poutre et la fl`eche induite en ce mˆeme point est mesur´ee.
Une analyse param´etrique des amortissements passif, fourni par la couche visco´elastique, et hybride, augment´e par le contrˆole actif, a ´et´e r´ealis´ee. On fait varier la longueur de l’actionneur pi´ezo´electrique dans l’intervalle [20–70] mm et l’´epaisseur de la couche visco´elastique dans l’intervalle [0,01–2] mm. La Figure 4.6 montre que l’augmen-tation de la longueur des actionneurs n’affecte pas ´enorm´ement l’amortissement passif, puisque seul un effet de raidissement des peaux est obtenu, aboutissant `a une l´eg`ere aug-mentation de l’amortissement des premier et deuxi`eme modes. Cette figure montre aussi que l’amortissement du premier mode propre augmente pour des couches visco´elastiques
´epaisses, confirmant les r´esultats num´eriques de van Nostrand et Inman [87]. Les amortis-sements modaux des deuxi`eme et troisi`eme modes sont, quant `a eux, optimaux pour des couches relativement mince et tr`es minces respectivement (hv=0,1 mm pour le deuxi`eme et hv=0,06 mm pour le troisi`eme). Ces modes sont, en g´en´eral, beaucoup plus amortis passivement que le premier (amortissements passifs moyens : ¯ζp1=5,3%, ¯ζp2=10,0%, ζ¯p3 =12,0%). Par cons´equent, d’apr`es la Figure 4.6, la somme des trois premiers amor-tissements modaux est optimale pour a=50 mm et hv=0,1 mm.
La somme des trois premiers amortissements modaux de la poutre sandwich en boucle-ferm´ee est pr´esent´ee dans la Figure 4.7 pour les diverses longueur de l’actionneur et ´epaisseur de la couche visco´elastique. D’apr`es cette figure, la performance du syst`eme hybride est optimale pour des actionneurs longs (a=70 mm) et couches relativement minces (hv=0,1 mm), bien que le contrˆole est performant dans toute la r´egion 40<a<
70 mm et 0,1<hv<2 mm. Pourtant, le gain d’amortissement fournit par l’actionneur, calcul´e par ζa = ζh/ζp−1, est optimal pour des couches visco´elastiques tr`es minces comme le montre la Figure 4.8. Cela est dˆu au fait que l’amortissement passif est tr`es peu
10−2
10−1
100 20
40 60
10 20 40 50 60
hv (mm) a (mm)
ζ p (%)
Figure 4.6: La somme des trois premiers amortissements modaux de la poutre sandwich en boucle-ouverte.
efficace dans ce cas.
Les performances optimales du contrˆole de la poutre en ouverte et en boucle-ferm´ee sont pr´esent´ees dans le Tableau 4.1. Il montre, notamment, que l’amortissement du premier mode est augment´e de 400% (ζh1=24,85% contreζp1=5,01%), les deuxi`eme et troisi`eme modes sont tr`es peu amortis alors que les quatri`eme et cinqui`eme modes ne sont pas affect´es par le contrˆoleur. Comme le montre le Tableau 4.1, le contrˆoleur actif r´eduit l’amplitude maximale de la poutre de 1,50 mm (passif) `a 1,07 mm (hybride).
Tableau 4.1: Performances optimales du contrˆole actif d’une poutre sandwich amortie.
ζ1(%) ζ2(%) ζ3(%) ζ4(%) ζ5(%) ts(sec) ymax(mm) Passif 5,01 13,36 16,17 15,94 15,57 0,60 1,50 Hybride 24,85 13,63 16,36 15,94 15,57 0,10 1,07
Les r´eponses en fr´equence, en boucle-ouverte et en boucle-ferm´ee, de la poutre sandwich excit´ee par la force de perturbation transversale sont mesur´ees `a son extr´emit´e libre. Elles sont pr´esent´ees dans la Figure 4.9 pour les valeurs optimales de a et hv, qui montre que le contrˆole hybride permet de diminuer l’amplitude de r´esonance du premier mode de 14dB (par rapport au passif), tout en gardant l’amortissement passif des autres modes. On observe aussi, dans cette figure, que les quatre derniers modes consid´er´es sont tr`es amortis passivement. Cela permet, notamment, de pr´evenir les instabilit´es dues au spillover (renversement des modes).
La r´eponse transversale transitoire de l’extr´emit´e libre de la poutre est pr´esent´ee dans la Figure 4.10. Elle permet, particuli`erement, d’analyser le comportement dyna-mique de la sortie y. Ainsi, on observe que la r´eponse s’att´enue beaucoup plus rapidement
10−2
10−1
100 20
40 60
10 20 40 50 60
hv (mm) a (mm)
ζ h (%)
Figure 4.7: La somme des trois premiers amortissements modaux de la poutre sandwich en boucle-ferm´ee.
10−2
10−1
100 20
40 60
0 500 1000 1500 2000
hv (mm) a (mm)
ζ a (%)
Figure 4.8: La somme des gains d’amortissements des trois premiers modes fournit par l’actionneur pi´ezo´electrique.
en boucle-ferm´ee. En effet, le temps de r´eponse et l’amplitude maximale de la poutre en ferm´ee sont r´eduits de 83% et 29%, respectivement, par rapport `a ceux en boucle-ouverte. La tension fournie `a l’actionneur pi´ezo´electrique pour obtenir cette performance est montr´e dans la Figure 4.11. La tension s’amorti `a la mˆeme vitesse que la r´eponse en boucle-ferm´ee. Par ailleurs, on peut noter que la tension est limit´ee `a 250 V, comme requis
102 103
−180
−160
−140
−120
−100
−80
Amplitude (dB)
Fréquence (Hz)
Passif Hybride
Figure 4.9: Fonction de r´eponse en fr´equence de la poutre sandwich en boucle-ouverte et en boucle-ferm´ee pour a=70 mm et hv=0,1 mm.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Amplitude (mm)
Temps (s)
Passif Hybride
Figure 4.10: R´eponse transitoire de la poutre en boucle-ouverte et ferm´ee pour a=70 mm et hv=0,1 mm.
par l’algorithme de contrˆole.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
−250
−200
−150
−100
−50 0 50 100 150 200 250
Tension (V)
Temps (s)
Figure 4.11: Tension dans l’actionneur pour contrˆoler la r´eponse de la poutre sandwich pour a=70 mm et hv=0,1 mm.