Dans la section pr´ec´edente, il a ´et´e montr´e que les actionneurs pi´ezo´electriques par cisaillement peuvent ˆetre efficaces pour fl´echir une poutre encastr´ee-libre. Par cons´equent, dans cette section, ce m´ecanisme d’action est appliqu´e au contrˆole de vibrations d’une telle poutre. Consid´erons, donc, une poutre sandwich encastr´ee-libre, `a peaux actives ou `a cœur actif, dont les propri´et´es g´eom´etriques et mat´erielles sont pr´esent´ees dans les Figure 5.8 et Annexe A, respectivement.
30
30 30 (a) (b)
Aluminium 6 0,5
3 3
200 20 200
20 40 20 30 20
20 0,5 20
40
Mousse PZT5H
Figure 5.8: Configurations d’action par extension (a) et par cisaillement (b) d’une poutre encastr´ee-libre.
On s’int´eresse `a l’amortissement actif des vibrations induit par les actionneurs par extension et par cisaillement, lorsqu’ils sont coupl´es `a une loi de contrˆole optimale. Trois actionneurs de mˆeme longueur sont positionn´es `a 40 mm de l’encastrement et avec un espacement de 30 mm entre eux. Ils sont soit coll´es `a la surface d’une poutre soit pris en sandwich entre deux peaux, comme pr´esent´e dans la Figure 5.8. Les deux configu-rations sont diff´erentes par construction, n´eanmoins, les performances d’amortissement actif qu’elles fournissent sont compar´ees afin d’analyser les applications optimales pour le m´ecanisme d’action par cisaillement.
L’amortissement modal actif fournit par les deux m´ecanismes est ´evalu´e `a partir des valeurs propres complexes d’un mod`ele r´eduit compos´e des quinze premiers modes propres de flexion des deux configurations de poutre. Les poutres sont excit´ees par une force de perturbation transversale ponctuelle positionn´ee en x=L/3. La fl`eche de ce mˆeme point est mesur´ee. La fonction de r´eponse en fr´equence entre ces force de pertur-bation et fl`eche est pr´esent´ee dans la Figure 5.9. Tous les modes ont ´et´e suppos´es uni-form´ement amortis par un amortissement visqueux de 1%. On note que quelques modes sont tr`es peu observables, comme les quatri`eme et septi`eme, pour les deux configura-tions. D’autre part, un certain d´ecalage des modes est aussi notable du fait des diff´erences des deux configurations (rigidit´e, masse,...). Les mod`eles modaux r´esultants sont ensuite utilis´es pour la conception du contrˆole actif optimal. L’algorithme it´eratif pr´esent´e au chapitre 4 (Figure 4.2) est utilis´e avec une tension maximale de 250 V (soit un champ
´electrique maximum de 500 V/mm dans chaque actionneur) et une fl`eche maximale de 0,1 mm. Les pond´erations de sortie et d’entr´ee sont Q=diag(ω31, . . . ,ω315,0, . . . ,0) et R=γI, afin de bien contrˆoler les modes propres `a fr´equences plus ´elev´ees.
Afin d’´etudier les r´egions d’optimalit´e des actionneurs par cisaillement, par rapport
`a ceux par extension, ont fait varier plusieurs param`etres. Dans un premier temps, on consid`ere un actionneur unique dont le centre co¨ıncide avec celui de la poutre (corres-pondant au deuxi`eme actionneur de la Figure 5.8) et la longueur varie dans l’intervalle [20–140] mm. Les amortissements relatifs ˜ζsamet ˜ζeamdu contrˆole actif sont calcul´es par
101 102 103 104
−180
−160
−140
−120
−100
−80
Amplitude (dB)
101 102 103 104
−200
−150
−100
−50 0
Fréquence (Hz)
Phase (deg)
Figure 5.9: Fonction de r´eponse en fr´equence en boucle-ouverte de la fl`eche en x=L/3 des poutres sandwich (trait continu : SAM, trait discontinu : EAM).
le pourcentage d’amortissement additionnel fourni `a la structure(100ζ−1). Pour compa-rer les performances des deux m´ecanismes, le rapport entre leurs amortissements relatifs est ´evalu´e, pour chaque longueur de l’actionneur et mode propre. Il est pr´esent´e dans la Figure 5.10, o`u les carreaux clairs repr´esentent les rapports ´elev´es et les carreaux fonc´es sont pour les rapports faibles. Un facteur additif d’´echelle de 5 a ´et´e consid´er´e pour une meilleure visualisation. On observe que l’avantage des actionneurs par cisaillement, par rapport `a ceux par extension, est plus notable pour les modes plus ´elev´es, notamment les modes 5, 7, 11, 13 et 15. De plus, pour la majorit´e des modes, ces actionneurs sont plus efficaces lorsqu’ils sont courts except´e le treizi`eme mode qui est plus amorti par un ac-tionneur long. Puisqu’il est connu que les acac-tionneurs par extension sont beaucoup moins efficaces pour des actionneurs courts, ces r´esultats signifient que l’action par cisaillement est pr´ef´erable quand la longueur des actionneurs est limit´ee.
Pour des consid´erations pratiques, la longueur de l’actionneur est fix´ee `a 30 mm.
Pour choisir sa position optimale pour cette longueur, on fait varier la position de l’extr´emit´e gauche de l’actionneur dans l’intervalle [30–150] mm. Le rapport correspon-dant entre les amortissements relatifs des m´ecanismes d’action par cisaillement et par extension est pr´esent´e dans la Figure 5.11. On remarque que ce rapport est beaucoup moins d´ependant de la position des actionneurs que de leur longueur. Cependant, pour les modes plus ´elev´es, les actionneurs par cisaillement sont plus efficaces que ceux par extension lorsqu’ils sont positionn´es loin de l’encastrement. Ce r´esultat est, en fait, dˆu `a la perte de performance des actionneurs par extension pour ces cas. On note aussi que le m´ecanisme d’action par cisaillement est beaucoup moins d´ependant de la position, comme dans le cas statique de la section pr´ec´edente.
Dans un deuxi`eme temps, pour la configuration `a trois actionneurs de la Figure 5.8,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20
40 60 80 100 120 140
Mode
Longueur de l’actionneur (mm)
Figure 5.10: Variation de l’amortissement relatif (log10(ζ˜sam/ζ˜eam) +5) avec la longueur d’un actionneur unique.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30
50 70 90 110 130 150
Mode
Position de l’actionneur (mm)
Figure 5.11: Variation de l’amortissement relatif (log10(ζ˜sam/ζ˜eam) +6) avec la position d’un actionneur unique.
l’influence de la rigidit´e de la structure sur la performance du contrˆole actif est analys´ee.
Ainsi, le rapport entre les amortissements relatifs ˜ζsamet ˜ζeam est calcul´e pour les quinze premiers modes de flexion et pour des valeurs de la rigidit´e relative entre la poutre et l’actionneur variant dans l’intervalle [1–100]. D’apr`es la Figure 5.12, pour des structures rigides, tous les modes sont mieux contrˆol´es par l’action par cisaillement. Dans ce cas, cette diff´erence est visible mˆeme pour les trois premiers modes qui sont, g´en´eralement, mieux contrˆol´es par l’action par extension. Cela s’explique, d’une part, par la perte de performance des actionneurs par extension pour des poutres rigides. En effet, ils induisent une force constante dans tous ces cas, qui, ´evidemment, d´eforme moins bien une poutre
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0
0.5 1 1.5 2
Mode log 10(E b/E p)
Figure 5.12: Variation de l’amortissement relatif (log10(ζ˜sam/ζ˜eam) +2) avec la rigidit´e relative de la structure (Eb/Ep).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Mode Rigidité de la mousse, log 10(E m/35,3e6)
Figure 5.13: Variation de l’amortissement relatif (log10(ζ˜sam) +3) avec la rigidit´e de la mousse (Em/35,3e6).
plus rigide. D’autre part, la meilleure performance de l’actionneur par cisaillement est due
`a l’augmentation de la force qu’il induit, puisque sa capacit´e de fl´echir la poutre augmente avec la rigidit´e de celle-ci.
En outre, l’efficacit´e d’action des actionneurs par cisaillement est aussi li´ee `a la rigidit´e de la mousse, puisque cette derni`ere consiste en une r´esistance `a la production
de cisaillement par l’actionneur. En effet, l’amortissement relatif ˜ζsam induit par l’ac-tion par cisaillement est assez d´ependant de ce facteur, comme le montre la Figure 5.13.
Pour une rigidit´e variant dans l’intervalle 35,3×[0,1–100] MPa, cette figure indique que cette influence varie selon le mode consid´er´e. Ainsi, des mousses plus souples am´eliorent l’amortissement des trois premiers et du treizi`eme modes, mais d´et´eriore ceux du sixi`eme au douzi`eme mode. Les modes 4, 5, 14 et 15 sont, quant `a eux, mieux amortis au milieu de l’intervalle.