Prise en compte d’un observateur d’´etat

Dans cette section, on applique la th´eorie d’observateurs d’´etat pr´esent´ee pr´ec´edemment (cf.§4.2.5) `a la configuration optimale de la Figure 4.5, c’est-`a-dire, pour h_v=0,1 mm et a=70 mm. L’int´erˆet de l’observateur est de pouvoir effectuer un contrˆole optimal, plus robuste que celui par DVF pr´esent´e pr´ec´edemment, tout en mesurant seu-lement la sortie y, qui repr´esente dans ce cas-ci la tension du capteur. Ainsi, en utilisant le principe de s´eparation (cf. §4.2.5), le contrˆole LQR it´eratif est d’abord ´evalu´e puis coupl´e `a l’observateur d’´etat, aboutissant `a un algorithme LQG. La principale difficult´e introduite par l’observateur est le couplage de sa propre dynamique avec celle du syst`eme m´ecanique. Puisque, l’observateur ne connaˆıt pas, `a priori, les conditions initiales, l’erreur d’observation initiale est e(0) = ˆx(0). Par cons´equent, il est clair que tant que l’erreur de l’observateur ne s’annule pas, le contrˆoleur ne pourra pas contrˆoler parfaitement la struc-ture. Tandis que, si les conditions initiales sont connues par l’observateur (e(0) =0), la r´eponse en boucle-ferm´ee est strictement ´egale `a celle avec un contrˆole LQR supposant toutes les variables mesurables.

Consid´erant le cas r´ealiste o`u les conditions initiales sont inconnues, les r´eponses du syst`eme contrˆol´e par LQG sont compar´ees avec celles du syst`eme contrˆol´e par LQR et non contrˆol´e, pour plusieurs vitesses de l’observateur d’´etat. La covariance du bruit d’entr´ee est fix´ee `a W=10⁻⁵et on fait varier celle du bruit de sortie V entre 1 et 10⁻¹⁰. Pour V=1, les Figures 4.20 et 4.21 montrent que l’erreur de l’observateur s’amortie plus lentement que le syst`eme en boucle-ferm´ee. Donc, le contrˆoleur ne peut pas suivre la r´eponse du syst`eme et, par cons´equent, le contrˆole n’est pas possible. Cela est dˆu `a la valeur relativement ´elev´ee de V, correspondant `a une mesure bruiteuse, qui induit un gain d’observation faible. En effet, puisque u=−Kg˜x=−Kg(ˆx−e), o`u Kg est le gain de contrˆole optimal calcul´e par l’algorithme LQR it´eratif, et que l’estimation de l’´etat n’est pas possible, la tension de contrˆole est nulle (Figure 4.21) et la r´eponse du syst`eme en boucle ferm´ee co¨ıncide avec celle en boucle ouverte (Figure 4.20).

En r´eduisant la covariance du bruit de sortie `a V=10<sup>−8</sup>, l’erreur de l’observateur converge rapidement vers z´ero et le syst`eme est estim´e avant d’ˆetre amorti, comme le montre la Figure 4.22. Cependant, pour une performance assez similaire, la tension de contrˆole du syst`eme contrˆoleur-observateur est moins ´elev´ee `a l’´etat initial et plus ´elev´ee pour les autres instants de temps, que celle obtenue en consid´erant connues toutes les va-riables d’´etat (Figure 4.23). Cela est dˆu au fait que l’estimation de la r´eponse transitoire de la poutre contrˆol´ee faite par l’observateur converge moins rapidement que l’augmentation de la tension (Figure 4.22).

Afin d’acc´el´erer encore l’estimation de l’´etat, la covariance du bruit de sortie est r´eduite `a V=10⁻¹⁰. Pourtant, comme le montrent les Figures 4.24 et 4.25, bien que l’estimation soit plus rapide, la performance du contrˆoleur se d´egrade et la tension

li-0 0.05 0.1 0.15 0.2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Temps (sec)

Amplitude (mm)

Passif Hybride LQR Hybride LQG

Figure 4.20: R´eponse transitoire en boucle ferm´ee de la poutre sandwich contrˆol´ee avec observateur d’´etat de covariance du bruit de sortie V=1.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

−250

−200

−150

−100

−50 0 50 100 150 200 250

Temps (sec)

Tension de contrôle (V)

LQR LQG

Figure 4.21: Tension maximale dans l’actionneur pour le contrˆoleur optimal avec obser-vateur d’´etat de covariance du bruit de sortie V=1.

mite de l’actionneur est d´epass´ee. En effet, l’amplitude maximale est plus faible dans ce cas (ymax =1,40 mm contre ymax =1,43 mm pour V=10⁻⁸), bien qu’elle est en-core plus ´elev´ee que celle du LQR (y_max =1,10 mm). Cependant, le temps de r´eponse t_s=0,14 secondes est plus ´elev´e que celui pour V=10⁻⁸ et pour le LQR (t_s=0,12 se-condes). En plus, d’apr`es la Figure 4.25, l’observateur excite la structure apr`es estimation.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Temps (sec)

Amplitude (mm)

Passif Hybride LQR Hybride LQG

Figure 4.22: R´eponse transitoire en boucle ferm´ee de la poutre sandwich contrˆol´ee avec observateur d’´etat de covariance du bruit de sortie V=10⁻⁸.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

−250

−200

−150

−100

−50 0 50 100 150 200 250

Temps (sec)

Tension de contrôle (V)

LQR LQG

Figure 4.23: Tension maximale dans l’actionneur pour le contrˆoleur optimal avec obser-vateur d’´etat de covariance du bruit de sortie V=10⁻⁸.

Ce qui explique que la tension de contrˆole est plus ´elev´ee et qu’elle s’att´enue moins rapi-dement. Ses oscillations, pr´esentes dans la Figure 4.25, pourraient ˆetre dues `a l’excitation du troisi`eme mode. On peut conclure qu’`a cause de l’augmentation excessive du gain de l’observateur, le syst`eme de contrˆole devient sensible aux modes peu contrˆol´es, en par-ticulier au troisi`eme dans ce cas. De plus, davantage de diminution de la covariance du

0 0.05 0.1 0.15 0.2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Temps (sec)

Amplitude (mm)

Passif Hybride LQR Hybride LQG

Figure 4.24: R´eponse transitoire en boucle ferm´ee de la poutre sandwich contrˆol´ee avec observateur d’´etat de covariance du bruit de sortie V=10⁻¹⁰.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

−250

−200

−150

−100

−50 0 50 100 150 200 250

Temps (sec)

Tension de contrôle (V)

LQR LQG

Figure 4.25: Tension maximale dans l’actionneur pour le contrˆoleur optimal avec obser-vateur d’´etat de covariance du bruit de sortie V=10⁻¹⁰.

bruit de sortie n’am´eliore ni la performance du contrˆoleur ni l’att´enuation de la tension dans l’actionneur.

Il est clair que la prise en compte d’un observateur d’´etat augmente la dimension des matrices du syst`eme coupl´e contrˆoleur-observateur r´esultant. Cependant, grˆace au principe de s´eparation, la conception de l’observateur n’affecte pas celle du contrˆoleur,

`a moins qu’il est tenu compte de la modification de la performance ou de la tension de contrˆole n´ecessaire. Un des avantages du syst`eme coupl´e contrˆoleur-observateur, pour le cas ´etudi´e, est le fait que la tension de contrˆole ne croˆıt qu’apr`es que la r´eponse de la structure soit un peu amortie passivement et, par cons´equent, la tension maximale pour le meilleur cas du LQG (avec V=10<sup>−8</sup>) est inf´erieure `a celle du LQR correspondant pour une performance de contrˆole presque aussi satisfaisante. N´eanmoins, comme la co-variance du bruit de sortie n’est pas un param`etre du syst`eme mais plutˆot une quantit´e li´ee au traitement des signaux, elle ne peut donc ˆetre choisie librement.

4.6 Conclusion

Les mod`eles r´eduits d´evelopp´es dans le chapitre pr´ec´edent ont ´et´e appliqu´es `a la th´eorie du contrˆole optimal quadratique du type LQR. Un algorithme it´eratif a ´et´e propos´e pour r´egler automatiquement la pond´eration de contrˆole afin de respecter les limitations de tension, impos´ees par le champ ´electrique maximum supportable par les actionneurs pi´ezo´electriques. La prise en compte d’un observateur d’´etat, aboutissant `a un contrˆoleur du type LQG, a ´et´e pr´esent´ee. Les syst`emes de contrˆole ont ´et´e ensuite appliqu´es `a l’´etude du contrˆole actif d’une poutre sandwich d´ej`a amortie par son cœur visco´elastique, `a tra-vers deux pastilles coll´ees sym´etriquement sur ses surfaces sup´erieure et inf´erieure. Les r´esultats montrent que, pour des couches visco´elastiques minces, le contrˆole actif LQR amorti fortement les r´esonances de quelques modes propres tout en gardant l’amortisse-ment passif des autres modes. Cependant, vu que l’algorithme LQR suppose que toutes les variables d’´etat sont mesur´ees, ce qui n’est pas r´ealiste, d’autres contrˆoleurs ont ´et´e analys´es. Ainsi, il a ´et´e propos´e d’utiliser la pastille pi´ezo´electrique coll´ee sur la sur-face inf´erieure de la poutre comme capteur. Dans un premier temps, un algorithme de contrˆole tr`es simple a ´et´e utilis´e, consistant `a envoyer la d´eriv´ee du signal du capteur amplifi´e `a l’actionneur. Les r´esultats ont montr´e que ce contrˆoleur d´erivatif est assez per-formant pour amortir quelques modes, mais, en mˆeme temps, il excite d’autres modes et, en plus, sa performance est limit´ee par les positions relatives des actionneurs et capteurs.

D’ailleurs, une comparaison de ce contrˆoleur avec un autre utilisant la r´etroaction des mesures d’un capteur de d´eplacement de l’extr´emit´e libre de la poutre, au lieu du capteur pi´ezo´electrique, a montr´e que de bonnes performances peuvent ˆetre obtenues pour cer-tains modes, mais au prix de la d´estabilisation d’autres modes. Dans un deuxi`eme temps, en utilisant un observateur d’´etat optimal, le contrˆoleur du type LQG a aussi ´et´e construit afin d’estimer l’influence de ses param`etres dans la performance de contrˆole par rapport au contrˆoleur LQR. Les r´esultats ont montr´e que, pour le cas ´etudi´e, une performance de contrˆole presque aussi satisfaisante que celle du LQR a pu ˆetre obtenue par le contrˆoleur LQG avec une tension de contrˆole inf´erieure.

Application aux contrˆoles actif et hybride actif-passif des vibrations

5.1 Introduction

Ce chapitre consiste, dans un premier temps, `a pr´esenter une analyse num´erique des m´ecanismes d’action pi´ezo´electrique, pour le cas statique, suivie de quelques r´esultats de performance du contrˆole actif en utilisant le m´ecanisme d’action par cisaillement, et, dans un deuxi`eme temps, utiliser les trois mod`eles visco´elastiques pr´esent´es pr´ec´edemment, `a savoir ADF, GHM et MSE, associ´es `a une strat´egie de contrˆole actif pi´ezo´electrique, pour traiter quelques exemples de poutre partiellement couverte par des revˆetements hybride passif (visco´elastique) - actif (pi´ezo´electrique) avec et sans d´ependance en temp´erature.

Les m´ecanismes d’action pi´ezo´electrique, par extension et par cisaillement, sont compar´es `a travers une analyse statique, c’est-`a-dire, pour les cas de d´eformation de la poutre sous l’action d’un champ ´electrique impos´e aux actionneurs pi´ezo´electriques. Il est clair, que dans ce cas, les potentiels ´electriques dans chaque couche pi´ezo´electrique sont connus ; par cons´equent, l’´el´ement fini PSAP, sans degr´es de libert´e ´electriques (cf.

§2.3.1), est utilis´e. Cette ´etude est une application aux probl`emes pratiques de contrˆole de forme `a travers la conception de structures intelligentes. L’application de ces m´ecanismes d’action au contrˆole actif de vibrations est ensuite ´etudi´ee. En effet, bien que les ac-tionneurs par extension sont d´ej`a largement utilis´es pour cela, aucune r´ef´erence quant `a l’utilisation des actionneurs par cisaillement n’a ´et´e trouv´ee dans la litt´erature. Pourtant, l’´etude de ces derniers montre qu’ils sont tout aussi efficaces pour le contrˆole de vibra-tions structurales. Les actionneurs pi´ezo´electriques par extension sont ensuite associ´es `a des revˆetements visco´elastiques contraints pour ´etudier des traitements amortissants hy-bride actif-passif. Ainsi, la performance des revˆetements contraints actifs est analys´ee et compar´ee `a celle des revˆetements passifs pour plusieurs variations de param`etres. Puis, d’autres traitements hybrides, comme ceux des revˆetements contraints passifs associ´es `a un contrˆole purement actif, sont ´etudi´es. Afin de trouver les conditions d’optimalit´e de chaque traitement, des ´el´ements de comparaison entre les traitements hybrides sont ainsi pr´esent´es. Enfin, les effets de la temp´erature sur les performances d’amortissement hy-bride sont ´etudi´es.

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5.2 Analyse statique des m´ecanismes d’action