Formulation variationnelle

En utilisant le principe de d’Alembert, la formulation variationnelle de la poutre sandwich peut ˆetre exprim´ee par

δT−δH+δW =0, ∀δu,¯ δu,˜ δw,δVi i=a,b,c (2.24) o`uδT ,δH etδW sont les travaux virtuels des efforts d’inertie, ´electrom´ecaniques internes et externes, respectivement. Ces trois quantit´es seront exprim´ees en termes des trois va-riables principales ¯u, ˜u et w et des diff´erences de potentiels ´electriques V_ide chaque couche pi´ezo´electrique, dans les sous-sections suivantes.

Travail virtuel des efforts ´electrom´ecaniques internes

Le travail virtuel des efforts ´electrom´ecaniques internes d’un milieu pi´ezo´electrique de volumeΩest d´efinie par

δH=

Z

Ω(δεσ−δED)dΩ (2.25)

Il peut aussi s’´ecrire comme la somme des contributions de chaque couche δH=

∑

i

δHi, i=a,b,c (2.26)

D’apr`es les hypoth`eses consid´er´ees, les contributions correspondantes `a chaque peau δHk(k=a,b)et au cœurδHc se r´eduisent `a

δHk=

Z

Ωk

(δε1kσ1k−δE3kD_3k)dΩk

δH_c=

Z

Ωc

(δε1cσ1c+δε5cσ5c−δE_3cD_3c)dΩc

qui, d’apr`es les lois de comportement (2.11) et (2.13), s’´ecrivent δHk=

Z

Ωk

δε1kc^∗k₁₁ε1k−δε1ke^∗k₃₁E_3k−δE3ke^∗k₃₁ε1k−δE3kǫ^∗k

33E_3k dΩk

δHc=

Z

Ωc

(δε1cc^∗c₃₃ε1c+δε5cc^c₅₅ε5c−δε5ce^c₁₅E_3c−δE3ce^c₁₅ε5c−δE3cǫ^c

11E_3c)dΩc

En remplac¸ant les expressions des champs de d´eformations (2.6) et des champs ´electriques (2.18) et (2.23), et en supposant les couches a, b et c sym´etriques par rapport `a leurs lignes moyennes(z−z_a), (z−z_b)et z, les termes correspondant aux peaux, peuvent ˆetre d´ecompos´es en sous-termes repr´esentant les parties m´ecaniquesδHkm, pi´ezo´electriques δHkmeetδHkem, et di´electriquesδHke,

La constante ¯c^k₁₁ introduite dans l’expression deδHkmest la modification de c^∗k₁₁ de (2.11) due cette fois-ci `a l’effet du potentiel induit quadratique, qui augmente la rigidit´e de flexion des peaux. Cette constante est d´efinie par

¯

c^k₁₁=c^∗k₁₁+e^∗k₃₁² ǫ^∗k

33

(2.28) Egalement, pour le cœur,´ δHc s’´ecrit

δH_c=δH_cm−δH_cme−δH_cem+δH_ce (2.29)

Pour tenir compte du fait que le cisaillement est distribu´e paraboliquement dans la section transversale, nous avons introduit un facteur de r´eduction de la section transversale k_c, g´en´eralement, d´enomm´e facteur de correction de cisaillement.

Les termes de δHk repr´esentent les travaux virtuels des efforts de d´eformation (membrane et flexion), pi´ezo´electriques et di´electrique. En effectuant la mˆeme d´ecomposition pourδHc, on note que la contribution m´ecanique contient cette fois trois termes (d´eformations de membrane, flexion et cisaillement). On observe alors que les couplages ´electrom´ecaniques sont entreε^m_k et V_k/hk pour les peaux (extension - champ

´electrique transversal) et entreε^c_c et V_c/hc pour le cœur (cisaillement transversal - champ

´electrique transversal), comme pr´evu par les lois de comportement.

Notons que, lorsque les diff´erences de potentiel V_i sont impos´ees aux couches pi´ezo´electriques (cas actionneur), les variations δVi sont nulles car les ´electrodes cou-vrent enti`erement les surfaces des couches actives. Dans ce cas, les variations δHkem, δH_ke,δH_cem,δH_cesont nulles.

Remarque 2.1 Pour le cas d’action pi´ezo´electrique, il est int´eressant d’analyser les termes pi´ezo´electriques des peaux δH_pme = ∑kδH_kme et du cœur δH_cme. D’apr`es les d´efinitions des d´eformations g´en´eralis´ees (2.7),δHpme etδHcmes’´ecrivent

δHpme=−

Pour le cas sym´etrique de peaux identiques, la variationδHpme est δHpme=−

Ainsi, deux cas particuliers peuvent ˆetre consid´er´es : potentiels ´electriques impos´es aux peaux ´egaux ou oppos´es.

Pour des propri´et´es homog`enes du mat´eriau dans la direction longitudinale,

δH¯_pme=−2e^∗p₃₁A_pVp

hp

[δu]¯^L₀ (2.32)

Dans ce cas,δH¯pmepeut ˆetre interpr´et´e comme le travail virtuel de forces d’action d’amplitude 2e^∗p₃₁A_pV_p/hp, aux bords de la pastille pi´ezo´electrique, induites par les potentiels ´electriques appliqu´es aux surfaces des peaux. Seuls des d´eplacements ou d´eformations longitudinaux peuvent ˆetre produits.

– Dans le cas de potentiels impos´es oppos´es Va=−V_b=Vp,δHpmes’´ecrit

Par cons´equent, une analyse similaire `a celle du cas pr´ec´edent conduit `a δH˜_pme=−e^∗p₃₁A_pV_p

h_p[δu]˜^L₀ (2.33)

Dans ce cas, δH˜_pme correspond au travail virtuel de forces d’action e^∗p₃₁A_pV_p/hp

dans les peaux, induisant un d´eplacement relatif ˜u des peaux aux bords des pastilles, ce qui permettra de fl´echir la poutre.

En comparant les expressions deδHcme(2.31) avec celles deδH¯_pme(2.32) etδH˜_pme (2.33), on observe que le m´ecanisme d’action par extension ne produit que des forces de traction ou de compression aux bords, tandis que celui par cisaillement induit des moments r´epartis. Cela signifie que le m´ecanisme d’action par cisaillement peut-ˆetre plus avantageux pour r´eduire les probl`emes de d´elaminage aux bords, caract´eristiques des actionneurs par extension. Cela dit, il faut noter aussi que les actionneurs par cisaillement ne peuvent produire qu’une flexion/cisaillement.

Pour exprimer le travail virtuel des efforts ´electrom´ecaniques internes, des peaux (2.27) et du cœur (2.29), en fonction des variables ¯u, ˜u et w, on y substitue les d´efinitions des d´eformations g´en´eralis´ees (2.7), ce qui conduit `a

δHk=

En int´egrant par parties une fois sur les termes enδu¯^′,δu˜^′ et deux fois sur les termes en Egalement, pour le cœur,´

δHc=δH_c^lm+δH_c^vl (2.37)

Travail virtuel des efforts d’inertie

Le travail virtuel des efforts d’inertie de la poutre sandwich de volume Ω `a trois couches est

o`uρiest la densit´e volumique de masse de la i-i`eme couche. Remplac¸ant les expressions des champs de d´eplacements (2.1) et supposant les couches a, b et c sym´etriques par rapport `a(z−z_a),(z−z_b)et z, respectivement, on obtient

En tenant compte des ´equations (2.3) et (2.4), on exprime le travail virtuel des efforts d’inertie en fonction de ¯u, ˜u et w seulement

δTk=− En int´egrant par parties les termes enδw^′,δTkpeut ˆetre ´ecrite sous la forme

δTk=δT_k^lm+δT_k^vl (2.43)

avec Travail virtuel des efforts ext´erieurs

Des forces axiales et transversales, surfaciques (F_xⁱ,F_zⁱ) et volumiques ( f_xⁱ, f_zⁱ), sont consid´er´ees pour chaque couche de la poutre sandwich. Le travail virtuel r´ealis´e pour ces forces est d´efini par En remplac¸ant les expressions des champs de d´eplacements (2.1), on obtient

δWk= o`u les forces et moments concentr´es et distribu´es sont d´efinies par

N_i=

En tenant compte des ´equations (2.3) et (2.4), le travail virtuel des efforts ext´erieurs peut ˆetre exprim´e en fonction des variables ¯u, ˜u et w seulement

δW = qu’on peut r´earranger de la fac¸on suivante

δW = A travers une int´egration par parties des termes en` δw^′sous l’int´egrale,δW peut s’´ecrire sous la forme

On peut en conclure que les forces axiales Na, na et N_b, n_b, appliqu´ees aux peaux sup´erieure et inf´erieure respectivement, cisaillent le cœur par leurs diff´erences. En ´etant

´egales, elles ne peuvent induire que des d´eplacements de membrane. Par contre, en ´etant

´egales mais oppos´ees, elles induisent une flexion.