Mod`ele avec degr´es de libert´e ´electriques

Dans cette section la discr´etisation par ´el´ements finis de la poutre sandwich (´el´ement fini PSAP) pr´esent´ee dans la section pr´ec´edente est ´etendue, en consid´erant que les couches pi´ezo´electriques peuvent aussi ˆetre des capteurs (´el´ement fini PSEP). Pour cela, la matrice d’interpolation d´efinie en (2.61) est augment´ee pour tenir compte des ddls

´electriques V_i(i=a,b,c), consid´er´es constants par ´el´ement V_i=V_ie, de telle fac¸on que le vecteur de d´eplacements g´en´eralis´es d s’´ecrit

d=Nˆ_dˆq_e (2.75)

o`u

Nˆ_d=





N₁ 0 0 0 N₂ 0 0 0 0 0 0

0 N3 N4 0 0 N5 N6 0 0 0 0

0 0 0 N₁ 0 0 0 N₂ 0 0 0





Le nouveau vecteur des degr´es de libert´e ´el´ementaires augment´e ˆq_eaboutit `a un ´el´ement fini `a onze ddls (huit m´ecaniques et trois ´electriques) et s’´ecrit

ˆq_e=col(u¯₁,w₁,w^′₁,u˜₁,u¯₂,w₂,w^′₂,u˜₂,Vae,V_be,Vce) (2.76)

b

¯

u₁, ˜u₁,w₁,w^′₁

b

¯

u₂, ˜u₂,w₂,w^′₂ (V_ae,V_be,V_ce)

Figure 2.3: Degr´es de libert´e de l’´el´ement fini PSEP.

La discr´etisation des d´eplacements et des d´eformations de chaque couche n’est pas chang´ee. Les nouvelles matrices N_xi, N_z, N_ri, B_mi, B_{f i}et B_ccsont obtenues par l’introduc-tion de z´eros pour tenir compte du changement du vecteur de ddls. Les relal’introduc-tions (2.65) restent valables. Les potentiels ´electriques sont discr´etis´es par,

Vi=Nˆviˆq_e ; i=a,b,c (2.77) o`u

Nˆ_va=

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Nˆ_vb=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Nˆ_vc=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Dans le cas o`u les potentiels sont inconnus, les termesδHkemetδHke, dans (2.27), et δHcemetδHce, dans (2.29), ne sont pas nuls, contrairement `a l’´el´ement pr´ec´edent. Ainsi, la discr´etisation de (2.27) et (2.29) conduit `a

δH_i^e=δH_im^e −δH_ime^e −δH_iem^e +δH_ie^e ; i=a,b,c (2.78) avec

δH_im^e =δˆq^T_eK^e_imˆq_e , δH_ime^e =δˆq^T_eK^e_imeˆq_e , δH_iem^e =δˆq^T_eK^{e T}_imeˆq_e , δH_ie^e =δˆq^T_eK^e_ieˆq_e K¯^e_kmet K^e_cms’´ecrivent comme dans (2.67) et (2.68), mais avec l’ajout de z´eros correspon-dant au nouveau vecteur de ddls. K^e_kmeet K^e_cmesont les matrices ´el´ementaires de rigidit´e pi´ezo´electrique

K^e_kme=−

Z Le

0

e^∗k₃₁A_k

h_kBˆ^T_mkNˆ_vkdx ; K^e_cme=−

Z Le

0

e^c₁₅Ac

h_cBˆ^T_ccNˆ_vcdx (2.79) et, K^e_keet K^e_cesont les matrices ´el´ementaires de rigidit´e di´electrique

K^e_ke=−

Z Le

0

ǫ^∗k

33

A_k

h²_kN^T_vkN_vkdx ; K^e_ce=−

Z Le

0

ǫ^c

11

A_c

h²_cN^T_vcN_vcdx (2.80) Le travail des efforts d’inertie et ext´erieurs n’´etant pas chang´es, les expressions de Mˆ^e_i et ˆF^e_msont donn´ees par (2.71) et (2.73), respectivement, mais augment´ees par les z´eros correspondant aux ddls ´electriques.

Utilisant les expressions (2.70), (2.72) augment´ees et (2.78), la discr´etisation de la formulation variationnelle (2.24), r´eduite au niveau ´el´ementaire, fournit les ´equations de mouvement exprim´ees sous la forme matricielle suivante

∑

Mˆ ^e_i¨ˆq_e+

∑

i

K^e_im+K^e_ime+K^{e T}_ime+K^e_ie

ˆq_e=Fˆ^e_m; i=a,b,c (2.81) Comme pour l’´el´ement pr´ec´edent, les matrices ont ´et´e int´egr´ees analytiquement.

Elles sont aussi pr´esent´ees dans l’annexe B.

L’expression (2.81) permet de calculer `a la fois les variables m´ecaniques et

´electriques. N´eanmoins, sous cette forme, l’´equation ne peut ˆetre r´esolue directement que pour le cas statique, puisque les ddls ´electriques n’ont pas d’inertie et, ainsi, les matrices Mˆ^e_i sont singuli`eres. En plus, mˆeme pour ce cas, le syst`eme (2.81) est, en g´en´eral, mal conditionn´e, puisque les constantes de rigidit´e ´elastique sont beaucoup plus ´elev´ees que celles pi´ezo´electrique et di´electrique. Afin de rem´edier `a ce probl`eme, il est possible de r´esoudre le syst`eme (2.81) en remplac¸ant les ddls ´electriques V<sub>ie</sub>par V<sub>ie</sub>/Co, o`u C_oest un coefficient de conditionnement. Cela est ´equivalent `a multiplier les constantes de rigidit´e pi´ezo´electriques (e^∗k₃₁A_k/h_k,e^c₁₅A_c/hc) et di´electriques (ǫ^∗k

33A_k/h²_k,ǫ^c

11A_c/h²_c) par C_o et C_o², respectivement. Il est clair que C_o est fonction des rapports entre les constantes de rigi-dit´e ´elastique et pi´ezo´electrique/di´electrique. C’est pourquoi il est int´eressant de r´e´ecrire l’´equation (2.81) sous la forme suivante



o`u le vecteur ´el´ementaire des ddls ´electriques a ´et´e d´ecompos´e en deux vecteurs compos´es des diff´erences de potentiel impos´ees V<sup>e</sup><sub>A</sub>, correspondant aux actionneurs pi´ezo´electriques, et mesur´ees V<sup>e</sup><sub>S</sub>, correspondant aux capteurs pi´ezo´electriques. Puisque les ddls ´electriques V<sup>e</sup><sub>A</sub> sont impos´es, leurs variations virtuelles δV<sup>e</sup><sub>A</sub> sont nulles. Par cons´equent, leur sous-syst`eme correspondant en (2.82) (derni`ere ligne) est satisfait automatiquement et peut ˆetre ´elimin´e. En plus, le terme r´ef´erant aux tensions V<sup>e</sup><sub>A</sub> appliqu´ees au sous-syst`eme m´ecanique, correspondant `a qe (premi`ere ligne de (2.82)), peut ˆetre consid´er´e comme une force pi´ezo´electrique ´equivalente sous la forme

F^e_e=K^e_meAV^e_A (2.83)

De mˆeme, la deuxi`eme ligne de (2.82) peut ˆetre utilis´ee pour ´ecrire le vecteur des tensions inconnues V^e_Sen fonction des ddls m´ecaniques q_e,

V^e_S=K^e_eS⁻¹K^{e T}_meSq_e (2.84) Ainsi, utilisant les ´equations (2.83) et (2.84), le sous-syst`eme correspondant aux ddls m´ecaniques en (2.82) (premi`ere ligne) repr´esente les ´equations du mouvement

´el´ementaires condens´ees

M^e¨q_e+

K^e_m−K^e_meSK^e_eS⁻¹K^{e T}_meS

q_e=F^e_m+F^e_e (2.85) Par cons´equent, cette ´ecriture permet de calculer les ddls m´ecaniques, `a travers (2.85), soumis `a des chargements m´ecaniques F^e_m et/ou pi´ezo´electriques ´equivalents F^e_e, en te-nant compte de la modification de la rigidit´e due aux champs ´electriques induits dans les couches pi´ezo´electriques. Ensuite, les ddls ´electriques correspondants peuvent-ˆetre cal-cul´es `a travers l’expression (2.84).

Les matrices du syst`eme m´ecanique (2.85) peuvent ainsi ˆetre assembl´ees pour tous les ´el´ements afin de trouver les ´equations de mouvement de la poutre

M ¨q+D ˙q+Kq=F_m+F_e (2.86)

o`u les matrices M et D sont les matrices de masse et d’amortissement visqueux as-sembl´ees pour toute la poutre et F<sub>m</sub> et F<sub>e</sub> sont les vecteurs globaux de chargement m´ecanique et pi´ezo´electrique ´equivalent. K est la matrice de rigidit´e de la poutre, com-pos´ee des contributions des peaux et du cœur, tenant compte de la rigidit´e additionnelle induite par le champ ´electrique induit dans les couches pi´ezo´electriques. Pour un cœur visco´elastique, les matrices relatives aux ddls ´electriques dans (2.85) n’ont que des cont-ributions des peaux et, donc, la d´ecomposition de K=K<sub>p</sub>+K<sub>c</sub> sera faite pour obtenir une ´equation identique `a (2.74).