Observation

Calcul de K_g(LQR)

?

Calcul de la r´eponse forc´ee x(t)

?

Calcul de u(t) =−Kgx(t)

?

Test de l’erreur e

->0,5%

γ=γ(1+ζ)

-≤0,5%

Fin e=|u^max−V^max|/V^max

ζ= (u^max−V^max)(u^max+V^max)⁻¹

Figure 4.2: Algorithme it´eratif pour calculer le gain de contrˆole optimal avec limitation de l’entr´ee.

4. On compare u^max =max(u) avec la tension maximale sp´ecifi´ee pour le mat´eriau pi´ezo´electrique en question et on corrige le facteurγen fonction de cette comparai-son (Figure 4.2), jusqu’`a la convergence u^max≈V^max;

5. On retient la valeur de K_g `a la convergence.

Cette strat´egie est n´ecessaire afin de concevoir une loi de contrˆole optimal faisable.

La Figure 4.3 montre la variation typique des facteurs d’amortissement modal (%) des trois premiers modes propres induite par une augmentation du facteur de pond´eration d’entr´eeγ(o`u dans ce cas R=γI). La fonction coˆut minimis´ee J<sub>min</sub>et la tension maximale V<sup>max</sup>, n´ecessaire pour obtenir cette performance, pour chaque pond´eration d’entr´ee sont aussi montr´es dans la Figure 4.3. Comme pr´evu, l’amortissement diminue, tout comme la tension maximale, pour des grandes valeurs de pond´eration d’entr´ee, car l’effort de contrˆole est p´enalis´e davantage. Cependant, le coˆut optimal augmente, puisque la per-formance diminue. La r´egion encadr´ee par des traits interrompus, dans la Figure 4.3, d´etermine la r´egion de faisabilit´e du contrˆole, o`u la tension maximale correspond `a un champ ´electrique plus petit que celui de saturation du mat´eriau pi´ezo´electrique (dans ce cas, 250 V). L’algorithme it´eratif propos´e (Figure 4.2) consiste `a trouver la performance maximale dans la r´egion de faisabilit´e.

Pour les exemples ´etudi´es dans ce travail, cet algorithme converge assez rapidement.

Cependant, comme la relation entreγet u^maxn’est pas lin´eaire, c’est-`a-dire, une augmen-tation deγn’induit pas forcement une diminution de u<sup>max</sup>, la convergence de l’algorithme peut ˆetre d´estabilis´e par certaines conditions initiales. Pour rem´edier `a ce probl`eme, des strat´egies de diminution du pas(1+ζ)ont ´et´e utilis´ees.

4.2.5 Observation

Dans les sections pr´ec´edentes, on a consid´er´e que toutes les variables d’´etat ´etaient disponibles pour la r´etroaction. Cependant, il serait plus r´ealiste de consid´erer que seule la sortie y est connue et non tout l’´etat ˆx. En effet, mesurer tout l’´etat n´ecessiterait un nombre trop grand de capteurs et, mˆeme, quelques variables d’´etat pourraient encore ˆetre

10^-9 10^-8 10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-4

10^-2 10⁰ 10² 10

Facteur γ

Tension maximale, amortissement modal

V^max ζ¹ ζ² ζ³ J^min

Figure 4.3: Tension maximale et amortissements modaux en fonction du facteur de pond´eration d’entr´eeγ.

inaccessibles aux mesures. Dans ce cas, pour pouvoir fournir l’´etat au syst`eme de contrˆole pour la r´etroaction, il est n´ecessaire de le reconstruire `a partir d’un mod`ele du syst`eme et de la sortie y. Cette reconstruction est, g´en´eralement, r´ealis´ee par un observateur.

Observateurs d’´etat

Un observateur d’´etat complet reconstruit toutes les variables d’´etat, mˆeme celles qui ont ´et´e mesur´ees, `a partir de la sortie y. Consid´erons l’observateur suivant, dit de Luenberger, [75]

˙˜x=A ˜xˆ +Buˆ +ˆp+K_e(y−C˜x)ˆ ; ˜x(0) =0 (4.29) o`u le vecteur ˜x est l’´etat reconstruit et K<sub>e</sub>le gain de l’observateur. Cette derni`ere ´equation, d’une part, simule le syst`eme r´eel et, d’autre part, p´enalise la diff´erence entre la mesure y et la sortie reconstruite ˆC˜x. Soustrayant cette ´equation de la premi`ere ´equation de (3.48) et substituant y=Cˆx dans (4.29), on obtientˆ

˙e= (Aˆ −KeC)eˆ (4.30)

o`u e=ˆx−˜x est la diff´erence entre l’´etat r´eel et celui reconstruit, d´enomm´e erreur de re-construction, ayant comme valeur initiale e(0) = ˆx(0). On observe, de l’´equation (4.30), que l’erreur est asymptotiquement stable si les valeurs propres de ˆA−KeC, dit pˆoles deˆ l’observateur, ont des parties r´eelles n´egatives, c’est-`a-dire, si ˆA−K_eC est asymptoti-ˆ quement stable. Si le syst`eme est compl`etement observable, les pˆoles de l’observateur peuvent ˆetre choisis librement et, en g´en´eral, on doit les placer bien `a gauche des pˆoles du

syst`eme dans le mi-plan complexe, pour que l’erreur de l’observateur disparaisse rapide-ment. Pour cela, les ´el´ements de K<sub>e</sub> doivent avoir des valeurs ´elev´ees. Cependant, (4.29) indique que si la mesure de sortie y est bruyante, des gains K<sub>e</sub> ´elev´es amplifieront le bruit de la mesure. Par cons´equent, il faut ´etablir un compromis entre le bruit ins´er´e dans le syst`eme et la vitesse `a laquelle l’observation doit suivre l’´etat r´eel.

Un observateur qui minimise la variance de l’erreur des mesures d’un syst`eme dont le bruit d’entr´ee et de sortie sont des bruits blancs, c’est-`a-dire, dont la puissance est uniform´ement distribu´ee dans la bande de fr´equences, est d´enomm´e Filtre de Kalman-Bucy [75].

Filtre de Kalman-Bucy

Consid´erons l’´equation de l’erreur d’observation (4.30), augment´ee par des termes relatifs aux bruits d’entr´ee w et de sortie v

˙e= (Aˆ −K_eC)eˆ +w−K_ev (4.31) o`u w et v sont suppos´es ˆetre des bruits blancs, avec E[w] =0 et E[v] =0 et dont les matrices de covariance sont W et V. On cherche, donc, le gain optimal K_e qui minimise la fonction coˆut quadratique suivante [75]

J_e=h^TP_eh (4.32)

o`u P_e =E[ee^T] et h est un vecteur arbitraire. Le gain K_e qui minimise J_e pour tout h s’´ecrit [75]

K_e=P_eCˆ^TV⁻¹ (4.33)

P_e, d´enomm´e aussi matrice de covariance de l’observateur optimal, est solution de l’´equation de Riccati suivante

APˆ _e+P_eAˆ^T +W−P_eCˆ^TV⁻¹CPˆ _e=0 (4.34) Cet observateur est d´enomm´e Filtre de Kalman-Bucy. En comparant l’´equation de Riccati pour l’observateur (4.34) et celle pour le contrˆoleur (4.19), on s’aperc¸oit que les matrices de covariance W et V sont ´equivalentes aux matrices de pond´eration Q et R. Par ailleurs, la matrice V p´enalise le gain de l’observateur de mani`ere `a limiter l’amplification, `a travers le terme K_ev, du bruit de sortie v. Tandis que, pour des entr´ees bruyantes, la matrice W augmente le gain de l’observateur afin d’amortir rapidement l’erreur produite par ce bruit.

Contrˆoleur lin´eaire quadratique gaussien

L’algorithme lin´eaire quadratique gaussien (LQG) est obtenue `a travers la combi-naison d’un contrˆole optimal LQR et d’un observateur optimal. Ainsi, de (3.48), augment´e par le bruit d’entr´ee w et avec u=−Kg˜x, et (4.31), on a le syst`eme coupl´e suivant

˙ˆx Grˆace au fait que ce syst`eme coupl´e est sous une forme triangulaire par blocs, les va-leurs propres des sous-syst`emes en boucle-ferm´ee sont d´ecoupl´ees. Cela constitue le prin-cipe de s´eparation [75], qui permet d’ex´ecuter, s´epar´ement, la conception du syst`eme de contrˆole et de l’observateur en deux ´etapes diff´erentes. Cependant, la stabilit´e de la boucle-ferm´ee du syst`eme coupl´e (4.35) est fonction de la stabilit´e des deux sous-syst`emes. Des techniques pour augmenter la marge de stabilit´e du syst`eme coupl´e (4.35) sont pr´esent´ees en [71] et une discussion sur les caract´eristiques du contrˆole LQG peut ˆetre trouv´ee dans [43].