Vérification des hypothèses relatives au cadre de l’étude

Caractérisation des propriétés acoustiques des milieux

L’étude proposée ici, de la même manière que celle décrite au chapitre 2, concerne le domaine de l’acoustique de laboratoire : nous analysons un champ d’onde diffracté par un ensemble d’hé-térogénéités réparties dans un échantillon décimétrique, et la fréquence centrale de la source est de l’ordre de la centaine de kilohertz (voir Tab. 1.1).

En poursuivant une procédure identique à celle appliquée dans le chapitre précédent, nous caractérisons les propriétés de diffusion des deux échantillons. Pour une description détaillée des méthodes utilisées, nous renvoyons à la section 2.2.2 du chapitre 2. La comparaison des caracté-ristiques acoustiques vise à vérifier que le milieu fictif bidimensionnel reproduit le comportement de l’échantillon de Duraluminium des expériences. L’étude cherche aussi à vérifier que les deux échantillons sont propices à l’établissement d’un régime de forte diffusion, ce qui constitue une condition nécessaire à l’application des méthodes de CWI.

La caractérisation se base sur l’évaluation de deux grandeurs physiques : à partir de la forme d’onde enregistrée au moyen d’un milieu non sollicité, nous mesurons la variation temporelle de l’énergie sismique W(t) et nous estimons ensuite le libre parcours moyen ℓ en appliquant une procédure d’inversion (Dainty and Toksöz, 1981; Olivier et al., 2015). L’analyse de chacune de ces mesures apporte des arguments pour valider les hypothèses relatives au cadre de l’étude.

FIGURE3.5 – Moyennes des fonctions ln U(t) calculées à partir de la réponse enregistrée aux 32 capteurs. La moyenne est calculée à partir des enregistrements des expériences de laboratoire (courbe noire continue) ou bien à partir des formes d’ondes synthétiques (courbe rouge continue), lorsque le milieu de propagation n’est pas sollicité. La fonction lnU(t) est la variation temporelle de l’expression logarithmique de la densité énergétique normalisée U(t). Les meilleurs ajustements du modèle de diffusion proposé, aux mesures en laboratoire (en noir) et aux mesures numériques (en rouge), déterminés par la méthode des moindres carrés (voir le texte pour plus de détails), sont tracés sous forme de courbes en pointillé.

l’expression logarithmique et normalisée de la densité d’énergie W (t). Il s’agit donc de la moyenne spatiale des fonctions ln U(t) calculées à partir de la réponse enregistrée en chacun des 32 récep-teurs du réseau. Les fonctions moyennes, calculées à partir des enregistrements synthétiques ou bien à partir des mesures des expériences, sont représentées sous forme de courbes continues, respectivement de couleur rouge et de couleur noire. Sur la période de 0 à 0.4 ms, nous calculons un coefficient de corrélation croisé de 0.94 entre les deux fonctions temporelles. La valeur du co-efficient prouve que les mesures numériques sont consistantes avec celles issues des expériences de laboratoire.

Nous apercevons dans les deux courbes une première phase de fortes augmentations de l’éner-gie sismique. Le niveau d’énerl’éner-gie atteint un maximum à environ 0.2 ms. Ce maximum est suivi par une stabilisation progressive du niveau d’énergie (pour le modèle numérique) ou bien par une lente diminution du niveau d’énergie (pour les expériences en laboratoire). Nous proposons d’expliquer la différence de comportement observée au-delà de 0.2 ms, par le fait que l’atténua-tion intrinsèque du matériau, qui existe dans l’échantillon expérimental, n’est pas prise en compte lorsque nous modélisons la propagation du champ d’ondes. Au moment d’analyser les enregistre-ments par CWI, nous limitons donc notre fenêtre de signal aux 0.1 ms définis après les premières arrivées. En limitant ainsi la fenêtre d’analyse, nous nous focalisons sur l’étude d’un régime où l’atténuation intrinsèque est négligeable. La stabilisation progressive de l’énergie sismique obser-vée dans la figure 3.5 constitue néanmoins une preuve de l’établissement d’un régime de forte diffusion.

La figure 3.5 présente également le meilleur ajustement, déterminé par la méthode des moindres carrés, entre le modèle de diffusion décrit par les équations 2.13 et les observations. Cet ajuste-ment est obtenu à partir des enregistreajuste-ments des expériences de laboratoire (courbe en pointillés noire) ou bien à l’aide des mesures du modèle numérique (courbe en pointillés rouge). En appli-quant la méthode d’inversion décrite dans la section 2.2.2 aux enregistrements des 32 récepteurs du réseau, nous obtenons un ensemble de 32 estimations distinctes du libre parcours moyen ℓ. La variabilité au sein de cet ensemble d’estimations caractérise la sensibilité de la mesure vis-à-vis

de la position du récepteur. Ainsi, en analysant les enregistrements de laboratoire, la moyenne et l’écart-type sont < ℓ > = 11.5 mm ± 2 mm. Lorsque nous utilisons les enregistrements du modèle numérique, nous calculons < ℓ > = 11.0 mm ± 0.5 mm. Les libres parcours moyens inversés à partir des enregistrements de laboratoire et des mesures synthétiques sont similaires, compte tenu de la variabilité spatiale observée. Les propriétés de diffusion de l’échantillon numérique reproduisent bien celles de l’échantillon de laboratoire.

De plus, l’inégalité nécessaire à l’évaluation d’un régime de multi-diffusion est satisfaite à la fois dans le cas numérique et dans le cas des expériences de laboratoire. Cette condition, qui est nécessaire à l’application des méthodes de CWI, porte sur le diamètre des trous d (ici de 6 mm), sur le libre parcours moyen ℓ, sur la distance entre la source et le récepteur D (au minimum de 95 mm) et sur la longueur d’onde λ des signaux. La longueur d’onde est calculée à partir des vitesses des ondes et de la fréquence des signaux de Specfem2D. La longueur d’onde λ est ici de 5.8 mm. Les libres parcours moyens inversés satisfont à la condition nécessaire à l’évaluation d’un régime de forte diffusion : λ < d 6ℓ < D (Planes and Larose, 2013). Ce résultat contribue à vérifier que nous étudions ici un champ d’onde multi-diffusé. Il étaye les conclusions tirées de l’analyse de la figure 3.5, où nous observons la stabilisation progressive du niveau d’énergie.

Caractérisation des propriétés mécaniques des milieux

Comportement mécaniques à l’échelle de la longueur caractéristique des éléments Afin de

ca-ractériser le comportement mécanique de l’échantillon numérique, nous utilisons le déplacement calculé par Code Aster en chaque nœud de la grille de maillage. Le champ de déplacement a donc une résolution spatiale fine, dont l’ordre de grandeur est déterminé par la longueur caractéristique

lc, d’une valeur de 0.5 mm. Le code de déformation permet également de calculer le tenseur de

déformation en chaque nœud du maillage, par dérivation du champ de déplacement. Il est alors possible d’en calculer la trace avec le même échantillonnage.

La figure 3.1 représente cette grandeur physique sous forme de carte, lorsqu’un déplacement δ de 60 µm est appliqué au milieu de propagation. Considérant un chargement identique, la fi-gure 3.6 représente la variabilité spatiale de la composante verticale du déplacement, notée UY(X,

Y). Dans la sous-figure de droite, cette grandeur est évaluée au moyen de Code Aster. La figure

montre une faible influence des trous et un effet limité des conditions aux limites. Nous compa-rons le champ de déplacement à celui mesuré au cours des expériences de laboratoire (calculé en appliquant la méthode de DPIV aux photographies de l’échantillon de Duraluminium). Pour confronter (a) et (b), nous produisons les deux cartes en imposant un déplacement δ de 60 µm, et nous utilisons la même palette de couleurs dans les deux sous-figures.

Malgré les fluctuations locales du champ de déplacement expérimental, la figure 3.6 montre une certaine similarité entre le champ de déplacement simulé et celui calculé au moyen des enre-gistrements des expériences : ils partagent des amplitudes identiques et une distribution spatiale comparable. Le champ de déplacement expérimental montre néanmoins des fluctuations locales significatives. Ces variations sont dues à la méthode utilisée pour son évaluation et toute déri-vée spatiale de celui-ci amplifiera ce bruit de mesure. Par conséquent, le champ de déformation calculé à partir d’images expérimentales est trop bruité pour qu’il soit comparé à celui estimé au moyen du code de déformation. La comparaison des comportements mécaniques des deux échantillons se limite donc à l’analyse du champ de déplacement.

Afin d’analyser ces mesures de manière plus quantitative, nous comparons l’amplitude du dé-placement vertical UY(X=0, Y) extrait le long de la ligne verticale traversant les échantillons de bas en haut, et passant par le point de coordonnées (X=0, Y=0) (Fig. 3.7). Les déplacements verticaux sont donc extraits dans une bande verticale dont la largeur est égale à la longueur caractéristique des éléments, soit lc = 0.5 mm. La comparaison montre que l’amplitude des déplacements calcu-lés par Code Aster (points rouges) et ceux issus de l’approche expérimentale (points noirs) sont consistants. À cette échelle, la variation spatiale des déplacements expérimentaux et simulés s’ac-cordent en moyenne, ce qui permet de vérifier la concordance entre les deux approches.

FIGURE3.6 – À gauche : champ de déplacement expérimental UY(X, Y) calculé en comparant l’image de l’échantillon non sollicité à celle capturée après avoir imposé un déplacement de δ = 60 µm en haut de l’échantillon, par corrélation croisée (correspondant à une force appliquée de F = 75 kN). À droite : champ de déplacement U_Y(X, Y) calculé numériquement par Code Aster en appliquant la même charge et en uti-lisant la même échelle de couleurs. Les trous introduits dans l’échantillon sont représentés par des cercles noirs de la taille des inclusions et dont l’emplacement spatial est identique. La barre rouge indique l’éten-due de la zone de contact entre l’échantillon et le piston.

FIGURE3.7 – Les déplacements verticaux U_Y(X=0, Y) mesurés par Code Aster (points rouges) le long d’une ligne verticale passant par le point de coordonnée (X=0, Y=0) sont comparés aux mesures de laboratoire. La perturbation appliquée au système consiste en un déplacement δ de 60 µm, ce qui correspond à une force de F = 75 kN.

Comportements mécaniques à l’échelle des dimensions de l’échantillon Nous comparons

en-suite les comportements à l’échelle décimétrique. Les croix colorées de la figure 3.8 représentent la force F (kN) mesurée par le capteur de force, en fonction de la variation de hauteur de l’échan-tillon (µm). Notons d’ailleurs que ce sont les deux grandeurs physiques directement évaluées aux moyen du dispositif expérimental. Ces mesures sont représentées pour les trois expériences dis-tinctes appliquées à l’échantillon de Duraluminium. Les mesures expérimentales sont adaptées par une régression linéaire dont la pente est de 1.31 · 109N.m−1et pour laquelle le coefficient de détermination r²est de 0.96. Cette statistique prouve que les mesures observées sont bien repro-duites par une relation linéaire entre la force appliquée et le raccourcissement mesuré.

La relation force - déplacement obtenue avec le modèle numérique est représentée par une ligne noire (Fig. 3.8). La force appliquée à l’échantillon est calculée à chaque incrément de 10 µm du déplacement δ. Compte tenu de la loi élastique utilisée pour simuler la déformation de l’échan-tillon, la force varie linéairement avec le déplacement appliqué. La pente mesurée en adaptant les résultats numériques par une régression linéaire est de 1.29 · 10⁹N.m−1. Celle-ci est très proche de la pente calculée au moyen des mesures expérimentales : nous mesurons une différence de 1.3 % entre les deux pentes. Les comportements très similaires observés dans les deux approches montrent que le milieu numérique reproduit le comportement élastique et linéaire de l’échan-tillon de laboratoire.

FIGURE3.8 – Force (kN) appliquée par le piston sur l’échantillon, en fonction de la variation de hauteur (µm) mesurée par corrélation d’images (croix colorées) pendant trois essais de chargements distincts et successifs. Les mesures de laboratoire sont comparées aux mesures simulées par Code Aster (points noirs) qui sont ajustées par une régression linéaire (ligne noire continue).

Nous rappelons que le même échantillon de Duraluminium est soumis à trois chargements successifs et identiques. Les expériences répétitives visent à tester la réversibilité de la déforma-tion. La superposition des mesures des trois expériences montre qu’il n’y a pas de déformation résiduelle. Elle démontre la réversibilité de la déformation de l’échantillon de laboratoire et sug-gère l’absence d’endommagement irréversible.

Nous proposons donc ici une comparaison multi-échelle des comportements mécaniques. Celle-ci est basée sur l’analyse des champs de déplacement : nous analysons la distribution spa-tiale du champ de déplacement de manière locale, à l’échelle de la taille des éléments de la grille (Fig. 3.6 et Fig. 3.7), et nous évaluons ensuite le comportement macroscopique des échantillons (Fig. 3.8). Malgré la résolution limitée des mesures expérimentales, les similitudes constatées sont essentielles afin de vérifier que l’échantillon numérique reproduit le comportement mécanique de l’échantillon expérimental.

Critère de plasticité de Von Mises Enfin, nous appliquons un critère de Von Mises afin de vérifier

numériquement que le milieu se déforme de manière élastique. Les contraintes équivalentes de Von Mises (voir Eq. 2.15) sont calculées en chaque nœud des éléments du maillage et permettent d’étudier le critère proposé dans la section 2.2.2. Ce critère s’avère bien adapté à l’étude de mi-lieux métalliques comme le Duraluminium (Ford and Alexander, 1963). Dans la figure 3.9, nous représentons le rapport entre la contrainte équivalente de Von Mises et la limite d’élasticité R_edu matériau, pour un déplacement de δ = 80 µm. Il s’agit d’une borne supérieure pour les déplace-ments appliqués au laboratoire. La figure montre que le critère est vérifié dans la majeure partie de l’échantillon. Globalement, le rapport entre les contraintes de Von Mises mesurées et la limite élastique R_eest inférieur à 0.75. Nous notons que le critère est dépassé très localement, au niveau de la zone de poinçonnement. En effet, le critère n’est pas respecté au niveau d’un ensemble de nœuds localisés sur les quatre éléments aux extrémités de la ligne de chargement (voir Fig. 3.9).

FIGURE3.9 – L’arrière-plan représente le rapport entre les contraintes équivalentes de Von Mises, mesuré numériquement lorsqu’un déplacement de δ = 80 µm est appliqué à l’échantillon, et la limite d’élasticité R_e du matériau. Les lignes colorées représentent les courbes de niveau du champ de déplacement vertical.