Sélection du milieu numérique et vérification des hypothèses relatives au cadre de l’étude

Afin d’imiter le comportement acoustique et mécanique de la roche granitique de la figure 2.11 (a), nous avons précédemment décrit notre stratégie consistant à inclure un ensemble d’hé-térogénéités dans le bloc fictif de granite. Les coordonnées des inclusions circulaires sont choisies au hasard dans le plan (X, Y ) défini par le bloc. Ayant au préalable fixé les paramètres physiques des matériaux, l’objectif est d’optimiser la distribution des trous afin de sélectionner un milieu fictif qui permet de reproduire au mieux les caractéristiques de l’échantillon de laboratoire. En va-riant le nombre, la taille et l’emplacement des trous, nous sommes en effet en mesure de contrôler le caractère diffusif du milieu fictif du modèle numérique. La caractérisation des milieux étudiés nous conduit donc à vérifier un certain nombre d’hypothèses relatives au cadre de l’étude.

— Notre approche nécessite de choisir un milieu qui soit en capacité de reproduire les proprié-tés acoustiques et mécaniques de l’échantillon de laboratoire choisi pour référence.

— Nous devons nous assurer que les conditions nécessaires à l’application des techniques d’in-terférométrie soient vérifiées. Les milieux étudiés doivent en particulier permettre l’établis-sement d’un régime de forte diffusion.

— Finalement, nous souhaitons nous concentrer sur la déformation élastique du milieu de propagation et vérifions donc que la déformation du milieu est régie par des lois élastiques.

Caractérisation des propriétés de diffusion des milieux

Nous commençons par définir les mesures à partir desquelles seront évaluées une partie de ces conditions. Les méthodes employées pour caractériser les propriétés de diffusion du milieu sont décrites dans la section 2.2.2.

La variation temporelle de la fonction lnU(t), c’est à dire la représentation logarithmique et normalisée de l’évolution temporelle de l’énergie sismique W (t), est représentée dans la figure 2.13. La courbe rouge est calculée à partir des enregistrements synthétiques obtenus en simulant la propagation des ondes de polarisation P−SV dans un échantillon comprenant 70 trous de rayon 3 mm. La courbe noire est obtenue en analysant les signaux enregistrés au laboratoire, en propa-geant un champ d’ondes à travers l’échantillon de granite de la figure 2.11 (a). Les enregistrements

numériques et expérimentaux sont produits en un unique capteur, faisant face à la source. Nous considérons de plus que les milieux sont non contraints.

FIGURE2.13 – La diffusion dans le milieu numérique et dans le milieu granitique réel est caractérisée par la variation temporelle de la densité d’énergie, représentée sous forme d’une fonction logarithmique et normalisée lnU(t). Nous représentons ici la fonction calculée au moyen des enregistrements numériques (courbes rouges) ou bien à partir des enregistrements obtenus au laboratoire (courbes noires) en propa-geant une source impulsive de même fréquence dans un échantillon de granite non sollicité. Le récepteur fait ici face à la source. La comparaison entre les fonctions mesurées dans les deux cas montre l’efficacité du milieu numérique pour décrire la diffusion se produisant dans l’échantillon de granite. La régression des moindres carrés appliquée aux observations à partir d’un modèle de diffusion (courbes discontinues) permet de vérifier que les propriétés de diffusion sont pertinentes en inversant notamment la valeur du libre parcours moyen ℓ. La partie droite de la figure montre un histogramme des valeurs calculées numé-riquement en utilisant les enregistrements synthétiques de 32 récepteurs répartis également le long de la face opposée à la source.

Pour produire les enregistrements expérimentaux, nous avons employé deux transducteurs piézoélectriques que nous avons placés de part et d’autre de l’échantillon photographié dans la fi-gure 2.11. Ces capteurs piézoélectriques ont une fréquence de résonance de 500 kHz (voir fiche ca-ractéristique en Annexe A.2). Pour assurer un couplage acoustique efficace et réduire le contraste d’impédance acoustique entre les capteurs et l’échantillon, nous utilisons un gel à haute viscosité SWC. Une impulsion électrique est générée à l’un des transducteurs sous la forme d’une ondelette de Ricker standard (c.-à-d. la deuxième dérivée d’une gaussienne) dont l’amplitude est définie par l’équation 2.11. Cette émission acoustique déclenche simultanément l’acquisition des formes d’ondes au second transducteur.

En employant la méthode de régression aux moindres carrés décrite dans la section 2.2.2, nous ajustons les observations et le modèle de diffusion défini à partir des équations 2.14. Les courbes discontinues de la figure 2.13 représentent donc le meilleur ajustement aux fonctions temporelles représentées sous forme de courbes continues. La qualité de l’ajustement est caractérisée par le coefficient de détermination r2. D’une valeur de 0.89, ce coefficient démontre que les observations sont bien ajustées par le modèle de diffusion proposé.

Selection du milieu numérique descriptif du comportement de l’échantillon de laboratoire

Une première étape dans l’analyse consiste donc à trouver le milieu fictif qui permet de repro-duire le régime de propagation s’établissant dans l’échantillon de granite réel. Nous utilisons une recherche sur grille permettant de tester plusieurs configurations. Nous nous intéressons à des inclusions circulaires dont le rayon varie de 2.5 mm à 5 mm. Ce sont des tailles réalistes pour des inclusions de grains dans une masse rocheuse. Nous limitons l’étude à des trous de rayon 2.5 mm

de manière à ce que la discrétisation de la grille de maillage à proximité des trous soit suffisante afin de vérifier le critère portant sur l’asymétrie des éléments du maillage. Le nombre d’hétérogé-néités varie lui de 25 à 110.

Pour chacune de ces configurations, les formes d’onde synthétiques obtenues au moyen de Specfem2D permettent de calculer un ajustement optimal entre les observations et le modèle de diffusion (courbes discontinues de la figure 2.13, p.ex.). Pour un échantillon de typologique don-née, nous jugeons au moyen d’une fonction de ressemblance, de la similitude entre la courbe obtenue et celle calculée en utilisant les enregistrements de laboratoire (voir Fig. 2.14).

Cette fonction de coût est définie par l’erreur quadratique moyenne normalisée r², ou coef-ficient de détermination multiple, communément appelé « r-square » (Eq. 2.22). Cette statistique mesure à quel point la courbe calculée avec les enregistrements synthétiques permet d’expliquer la variabilité des mesures relatives à l’échantillon de granite réel. Soit y un ensemble de n observa-tions (ici, les mesures relatives à l’échantillon de laboratoire) et ey les réalisaobserva-tions correspondantes (ici, les mesures du modèle numérique). L’opérateur ¯y représente la moyenne des observations y. L’équation 2.22 définit la statistique étudiée.

r²₌

Pn

i =1( ey_{i− y)}2 P_n

i =1(yi− y)² (2.22) Les résultats de la recherche sur grille sont présentés dans la figure 2.14. Pour chaque configu-ration testée, la palette de couleurs quantifie l’ajustement, défini à partir de l’équation 2.22, entre les deux variations temporelles d’énergie sismique. En augmentant le pourcentage de surface per-cée, les trous sont nécessairement rapprochés. La recherche sur grille est ainsi limitée de manière à ce que les trous ne se chevauchent pas, ce qui se traduit par la limite noire de la figure 2.14.

La recherche sur grille montre que l’ajustement est optimal lorsque l’on étudie un milieu fictif comportant 70 trous de rayon 3 mm, ce qui conduit à sélectionner le système étudié. Ce résultat explique en particulier pourquoi nous choisissons de caractériser les propriétés acoustiques de ce milieu dans la figure 2.13.

Signalons cependant un certain nombre de limitations, liées à notre approche et à nos choix de paramètres de modélisation. Afin de satisfaire aux critères numériques et géométriques liés à Specfem2D (voir section 2.3.1), nous utilisons une source de fréquence centrale 400 kHz, lorsque les capteurs piézoélectriques employés en laboratoire ont une fréquence de résonance de 500 kHz. Afin de considérer une situation analogue à celle où une masse rocheuse serait comprimée au sein du réservoir, nous modélisons la propagation des ondes en imposant des conditions absorbantes aux bords du milieu numérique, alors que les limites de l’échantillon de laboratoire se comporte-raient plutôt comme des bords réfléchissants. Bien que les récepteurs piézoélectriques recouvrent la hauteur de l’échantillon de laboratoire et que le milieu environnant utilisé dans le milieu numé-rique ne soit pas atténuant (ce qui pourrait concourir à justifier ces choix de modélisation) nous ne pouvons réfuter l’hypothèse que la similarité entre les courbes expérimentales et numériques (voir Fig. 2.13) soit liée aux réfections aux bords de l’échantillon de granite du laboratoire plutôt qu’à la forte diffusion du champ d’onde, causée par les nombreuses inclusions minérales du gra-nite.

Caractérisation acoustique des propriétés du milieu retenu

Après avoir choisi le milieu numérique de façon à ce qu’il reproduise les conditions de propa-gation propres à l’échantillon de laboratoire, nous cherchons à prouver que ce milieu est propice à l’établissement d’un régime de forte diffusion.

Les deux courbes représentées dans la figure 2.13 mettent en évidence une première phase de forte augmentation de l’énergie sismique. Les rapports d’énergie se stabilisent progressivement, un maximum étant observé à environ 6.0 · 10−5s. L’énergie sismique diminue ensuite peu à peu. La variation temporelle observée est caractéristique d’un phénomène de diffusion.

FIGURE2.14 – Recherche sur grille effectuée pour des diffuseurs circulaires non chevauchant, d’un rayon variable (de 2.5 à 5 mm, une gamme de tailles réalistes pour des inclusions de grains dans une masse ro-cheuse) et dont le nombre varie de 25 à 110. La barre de couleur représente la fonction de ressemblance quantifiant la similitude entre la variation temporelle d’énergie sismique calculée avec les enregistrements synthétiques et celle calculée à partir des enregistrements obtenues au laboratoire, sur l’échantillon de gra-nite. La fonction de coût est maximale lorsque le milieu fictif du modèle numérique comporte un ensemble de 70 trous de rayon 3 mm.

Utilisant le milieu précédemment sélectionné, nous produisons un ensemble d’enregistre-ments synthétiques le long d’un réseau de 32 capteurs répartis de manière équidistante sur la face opposée à la source. Nous appliquons la méthode de régression aux moindres carrés précédem-ment décrite aux enregistreprécédem-ments obtenus en chacun des récepteurs. En employant la méthode de la section 2.2.2, nous estimons le libre parcours moyen ℓ pour chacun des enregistrements.

L’inclusion de la figure 2.13 montre l’histogramme de ces mesures. Utilisant la notation < · > afin de référer textuellement à la moyenne d’une variable, nous calculons la moyenne et l’écart-type de ces estimations : < ℓ > = 8.8 mm ± 0.69 mm. La déviation standard caractérise la sensibilité de la mesure vis-à-vis de la position du récepteur. La mesure montre que le libre parcours moyen est faiblement influencé par la position du récepteur : la déviation standard représente environ 8% de la valeur moyenne calculée. Cette mesure témoigne de l’homogénéisation spatiale ayant cours dans l’échantillon numérique du fait de la forte diffusion du champ d’ondes propagé.

Afin que le champ d’ondes émis rencontre les hétérogénéités plusieurs fois avant d’être enre-gistré par le récepteur, la longueur d’onde λ de l’onde incidente doit être de même longueur ou plus courte que la taille des hétérogénéités d. La longueur d’onde λ est estimée au moyen de Spec-fem2D en utilisant la fréquence centrale de la source et la vitesse de l’onde S. Nous mesurons λ = 5.8 mm et d = 6 mm, ce qui permet de vérifier la condition énoncée.

La condition nécessaire à évaluer la forte diffusion du champ d’onde porte sur le libre parcours moyen ℓ, la longueur d’onde λ, la taille des défauts d, et la distance entre la source et les récepteurs

D. Elle concerne l’inégalité suivante : λ < d ≤ ℓ < D (Planes and Larose, 2013). La distance D varie

ici en fonction de la position des 32 capteurs, mais elle est au minimum de 95 mm. Dans nos simulations, nous négligeons les effets d’atténuation et nous ne considérons pas, dans l’inégalité précédente, la longueur caractéristique d’absorption intrinsèque ℓ_a. Ce paramètre est néanmoins inclus dans l’inégalité proposée par Planes and Larose (2013). Le libre parcours moyen inversé au moyen des méthodes précédemment décrites, soit <ℓ> = 8.8 mm ± 0.69 mm, satisfait à l’inégalité. Ce résultat prouve que l’échantillon est propice à l’établissement d’un régime de forte diffusion, et étaye les conclusions tirée de l’analyse visuelle de la figure 2.13.

Le milieu numérique choisi satisfait donc à toutes les conditions relatives au cadre de notre étude.

— Il est analogue à l’échantillon de granite réel.

— Il permet la propagation d’ondes multi-diffusées, condition nécessaire à l’application des méthodes de CWI.

— La variation temporelle de la densité énergétique est bien ajustée en utilisant une forme linéarisée d’un modèle de diffusion.

Caractérisation mécanique du milieu retenu

L’objectif est dans un second temps de vérifier que le modèle numérique permet de repro-duire le comportement mécanique d’une roche de granite typique du réservoir géothermique, comme celle présentée sur la figure 2.11. Il s’agit enfin de démontrer que le milieu se déforme de manière élastique et linéaire. Pour vérifier ces hypothèses, nous caractérisons le comportement mécanique du milieu précédemment sélectionné. Nous commençons par étudier son comporte-ment à l’échelle macroscopique, et analysons ensuite un critère d’élasticité à plus faible échelle.

Utilisant Code Aster pour appliquer des déplacements δ variant de 0 à 150 µm au milieu fic-tif précédemment sélectionné, nous effectuons un ensemble de simulations afin de produire la courbe contrainte-déformation de la figure 2.15. Dans cette figure, la contrainte verticale est re-présentée en fonction de la composante axiale du tenseur de déformation, eYY.

— La contrainte normale moyenne appliquée sur le haut de l’échantillon est calculée en moyen-nant les composantes σYdu champ de contrainte mesuré le long de la face supérieure de l’échantillon. La contrainte varie de 0 MPa à 70 MPa lorsque le déplacement δ est augmenté pas à pas de 0 à 150 µm.

— La composante axiale eYYdu champ de déformation est calculée à partir de l’allongement relatif de l’échantillon dans l’axe vertical. Pour un déplacement donné δ, notant h la hau-teur courante de l’échantillon et h₀la hauteur initiale de l’échantillon, nous calculons e_YY=

(h−h0)

h0 . La contrainte eYYvarie de 0 à -1.4 · 10−3.

— La composante horizontale e_XXest estimée à partir de la variation relative de la largeur de l’échantillon (c.-à-d. l’allongement relatif de l’échantillon dans l’axe horizontal X).

La composante axiale e_YYdu champ de déformation est négative ce qui est en accord avec le fait que le milieu est comprimé et donc raccourci par la perturbation qui lui est appliquée. La composante horizontale eXXest quant-à elle positive puisque le milieu subit un gonflement. En valeur absolue, l’amplitude moyenne de cette dernière représente environ 38% de la composante verticale e_YYmoyenne. Ces mesures permettent de caractériser l’état de déformation de l’échan-tillon d’un point de vue macroscopique. Elles conduisent aussi à vérifier que la composante axiale du champ de déformation e_YYest dominante par rapport à la composante horizontale e_XX.

Des courbes similaires ont été obtenues expérimentalement par Rummel (1991), en appli-quant des essais tri-axiaux à deux échantillons de granite de Soultz-Sous-Forêts, soumis à une pression de confinement constante de 40 MPa (courbes de couleur, Fig. 2.15). Les courbes sont comparées à celle mesurée numériquement à l’aide de Code Aster en appliquant les mêmes condi-tions expérimentales (points en noirs). La partie de droite de la figure permet de zoomer dans la zone de contraintes et de déformations d’intérêt. Ce zoom montre que la déformation évolue li-néairement avec la contrainte, ce qui est caractéristique de la déformation élastique linéaire de l’échantillon. La pente fournit une estimation du module apparent de l’échantillon. Un module d’Young apparent de 51 GPa est calculé en appliquant une régression linéaire aux points de me-sure.

Notons cependant la différence entre les comportements des deux courbes expérimentales. Elle illustre la variabilité des comportements mécaniques de roches occupant une même couche

FIGURE2.15 – Relations contrainte-déformation pour deux échantillons de granite soumis à une pression de confinement constante de 40 MPa, issue de Rummel (1991). Les courbes se superposent à celle obtenue au moyen du modèle numérique, dans les mêmes conditions. La figure de droite permet de zoomer dans le domaine de contraintes étudié. La réponse mécanique de l’échantillon fictif représente un comportement parfaitement élastique avec un module d’Young effectif de 51 GPa. Le comportement est proche de celui obtenu à partir d’un échantillon de roche de Soultz-Sous-Forêts.

géologique. La superposition de nos résultats numériques avec le comportement expérimental de l’échantillon référencé K20/08 confirme néanmoins la pertinence de l’approche proposée.

À une échelle plus fine, nous utilisons un critère de Von Mises pour vérifier que l’échantillon se déforme de manière élastique. Les contraintes équivalentes de Von Mises σ_eq (voir Eq. 2.15) sont calculées en chaque nœud des éléments du maillage. Elles sont comparées à la limite d’élasticité du matériau, Re, d’une valeur de 150 MPa (Harvey, 2005). Les principes du critère d’élasticité sont décrits dans la section 2.2.2 du chapitre 2.

Pour toutes les étapes de la simulation, le maximum de la contrainte équivalente demeure in-férieur à la limite d’élasticité en compression : max(σ_eq) < R_e. Nous montrons ainsi, compte tenu des chargements appliqués, que le milieu se comporte de manière élastique. Nous ne distinguons pas de concentration significative des contraintes autour des trous insérés dans le milieu de pro-pagation.

Les analyses mécaniques et acoustiques décrites dans cette partie du chapitre permettent donc de vérifier les hypothèses relatives au cadre de notre étude et légitiment notre approche.

— Le milieu sélectionné se déforme de manière élastique compte tenu des contraintes appli-quées.

— Son comportement mécanique (élastique et linéaire) est similaire à celui d’un échantillon de granite du réservoir de Soultz-Sous-Forêts.

— Nous avons démontré que l’échantillon est propice à propager des ondes fortement diffu-sées.

— Son comportement acoustique reproduit celui de l’échantillon de granite pris pour réfé-rence.