Interprétation des mesures numériques et identification d’un signal de défor- défor-mation

Discussion du formalisme utilisé pour interpréter les mesures de CWI

Soulignons pour commencer la particularité du modèle numérique proposé : dans l’approche suivie dans cette partie du manuscrit, nous fixons la vitesse des ondes propagées dans le milieu, depuis la discrétisation du modèle numérique jusqu’à la dernière étape de la procédure de char-gement. Dans le modèle proposé, la vitesses des ondes n’est pas impactée par le chargement ap-pliqué au système : nous ne modélisons pas l’influence de la déformation sur les paramètres phy-siques du matériau (p. ex., ses coefficients d’élasticités, son module d’Young, son coefficient de Poisson ou sa densité). Ici, seule la grille de maillage, c’est-à-dire la forme des multiples éléments de discrétisation constituant le milieu de propagation, évolue au cours du processus de déforma-tion. En effet, les contraintes normales appliquées à l’échantillon induisent des changements de volume, quantifiés à partir de la déformation volumétrique e_vol, qui constituent une contribution géométrique aux délais quantifiés par CWI.

En poursuivant une telle approche, notre étude contribue à la compréhension des proces-sus physiques à l’origine des mesures de CWI. Dans la section 2.1.3, nous avons en effet discuté de l’interprétation des retards de temps de parcours quantifiés par CWI. Le formalisme le plus communément utilisé conduit à négliger les effets de la déformation géométrique du milieu de propagation sur les délais observés par CWI : les effets directs de la déformation du milieu de pro-pagation sont généralement considérés comme étant de quelques ordres de grandeur inférieurs à ceux causés par les variations de vitesse.

Néanmoins, ce formalisme n’est pas adapté à l’interprétation des mesures présentées ici, dans la mesure où nous ne modélisons pas l’impact de la déformation du système sur la vitesse des ondes propagées. Le modèle numérique proposé permet de quantifier les effets directs de la dé-formation du milieu de propagation et du changement de forme du système sur les mesures de CWI, ce qui se traduit par une une relation quasi linéaire entre les délais relatifs mesurés et la dé-formation volumétrique.

Nous analysons néanmoins les mesures présentées dans la figure 2.20 au regard de deux for-malismes permettant de prédire l’impact de la déformation du système sur la vitesse des ondes propagées (et donc sur les mesures de CWI).

Considérons en premier lieu le modèle de dilatation/contraction temporelle : cette contribu-tion aux mesures de CWI est décrite dans la seccontribu-tion 2.1.3. Comme le démontre l’équacontribu-tion 2.26, la compression du milieu et les variations volumétriques engendrées conduisent à une augmen-tation de la densité du matériau. La déformation du système engendre donc une variation de la vitesse des ondes. Nous proposions, dans la partie introductive de ce chapitre, de relier les me-sures de CWI à la déformation volumétrique, en partant de l’hypothèse de faibles déformations et de l’invariance des modules élastiques du matériau. Cette hypothèse est acceptable puisque le milieu de propagation se déforme de manière réversible et élastique, et n’est pas endommagé au cours du chargement : ce constat a en particulier été délivré en appliquant un critère d’élasti-cité de Von Mises. Afin d’évaluer la contribution liée aux changements de densité, nous utilisons l’équation 2.5 dérivée dans la section 2.1.3. Nous rappelons que cette équation décrit une rela-tion de proporrela-tionnalité entre les variarela-tions relatives de volume (e_vol) et les variations relatives de vitesses. Compte tenu des valeurs observées pour la déformation volumétrique, nous adaptons les mesures de CWI prédites par ce modèle par une relation linéaire de pente +0.5 (Fig. 2.20, ligne noire continue). Nous montrons que les mesures numériques représentées en rouge dans la figure 2.20 ne sont pas consistantes avec le modèle de contraction/dilatation, pour lequel la pente est de signe opposé.

Considérons ensuite le formalisme défini par la théorie de l’acousto-élasticité (section 2.1.3). Nous rappelons que l’acousto-élasticité est un domaine de la physique des matériaux étudiant les effets d’un chargement élastique et statique du milieu sur les vitesses des ondes propagées dans celui-ci. Une telle rhéologie n’est toutefois pas prise en compte dans le modèle numérique décrit dans cette partie du manuscrit. Notons néanmoins que l’étude de la contribution aux mesures de CWI de tels processus est le sujet central de l’analyse décrite dans le chapitre 3.

Discussion de la relation entre retards relatifs et déformation volumétrique

Nous souhaitons ensuite discuter de la valeur de la pente de la régression linéaire traduisant le lien entre la moyenne des variations relatives de délais, <d t/t>, et la déformation volumétrique,

e_vol, estimée d’un point de vue macroscopique(voir Fig.2.20).

Une pente inférieure à l’unité Dans le cas d’un changement de volume isotrope et en l’absence

de variation de vitesse, on peut en effet s’attendre à mettre en évidence une relation linéaire de pente unitaire entre ces deux paramètres physiques. Quels sont donc les effets qui conduisent à mesurer une pente plus faible, alors même que la vitesse des ondes propagées dans le milieu déformé est maintenue constante? Notons en premier lieu que la valeur de la pente diffère de celle mesurée lorsque nous appliquons un chargement thermique à un échantillon homogène et isotrope. Lorsque nous appliquons un tel chargement, le modèle conduit à la dilatation thermique quasi-isotrope de l’échantillon (voir section 3.4), ce qui constitue une situation plus proche de celle où l’échantillon est soumis à une compression / dilatation isostatique. Nous mesurons alors une pente de 1.08 entre les deux grandeurs physiques précédemment mentionnés, e_vol et <d t/t>.

Ces observations laissent à penser que la valeur plus faible de la pente de la figure 2.20 est liée à l’introduction d’hétérogénéités et aux conditions de chargement appliquées dans l’expérience analysée ici. En effet, notre approche nous conduit à mesurer un champ de déformation haute-ment hétérogène. La figure 2.21 permet à cet effet d’analyser la répartition spatiale de la trace du tenseur de déformation, mesurée à l’aide de Code_Aster lorsque nous appliquons un déplacement de 80 µm sur la face du haut de l’échantillon. Du fait de l’introduction de nombreux trous dans un milieu homogène environnant et du fait du chargement uniaxial appliqué, nous observons de fortes fluctuations de la trace du tenseur de déformation, ce qui suggère l’hétérogénéité spatiale du tenseur de déformation. L’échantillonnage répété du milieu de propagation, du fait de la forte diffusion du champ d’ondes propagé, devrait cependant se traduire par des mesures de CWI qui puissent refléter l’ensemble des changements volumétrique subis par le milieu de propagation.

FIGURE2.21 – Variations spatiales de la trace du tenseur de déformation mesurée à l’aide de Code_ Aster lorsque nous appliquons un déplacement de 80 µm sur le haut du système.

Bien que la figure 2.20 démontre clairement la sensibilité du champ d’ondes diffus vis-à-vis de ce champ de déformation, la pente observée peut être interprétée comme une sensibilité préfé-rentielle du champ d’ondes à l’encontre d’une composante donnée du tenseur de déformation. La prise en compte d’une fenêtre de coda restreinte et la mise en place de capteurs sur les faces laté-rales de l’échantillon peuvent induire une sensibilité préférentielle du champ d’ondes vis-à-vis de la composante horizontale du tenseur de déformation.

Identification d’un effet spécifique et montages expérimentaux Bien que nous discutions dans

la section suivante de l’influence de différents paramètres de la simulation sur les mesures de CWI, il aurait été instructif, dans le cadre de cette discussion, de comparer la valeur de la pente avec celle obtenue pour des expériences similaires. La mise en évidence d’un effet particulier, permet-tant d’expliquer la valeur de la pente observée dans la figure 2.20, nécessiterait donc des analyses plus poussées et nous ne mentionnons ici que certaines pistes d’étude.

Pour tester la sensibilité du champ d’onde diffus propagé vis-à-vis d’une composante spéci-fique du tenseur de déformation, il aurait été intéressant de varier la position des capteurs, en les plaçant par exemple en haut et en bas de l’échantillon (au lieu de les disposer sur les faces latérales).

Aussi, une analyse plus poussée de l’influence du nombre et de la disposition des hétérogé-néités, voir des conditions de bords appliquées (bords absorbants ou libres), permettrait de juger de l’impact de ces paramètres sur les conditions de diffusion et en conséquence sur la pente de la relation linéaire observée.

Finalement, il aurait été instructif de faire varier la taille et la concentration de l’ensemble de récepteurs. En localisant les capteurs sur une partie restreinte du système, il aurait été possible de vérifier si les moyennes <d t/t> sont sensibles à la déformation volumétrique localisée sur une surface restreinte de l’échantillon. Dans la section 2.4, nous présentons trois noyaux de sensibi-lités afin de discuter de la localisation de changements survenant dans le milieu (Fig. 2.22). Ces figures montrent d’ailleurs que si les récepteurs sont localisés aux extrémités de la ligne de cap-teurs, le milieu est échantillonné de manière limité (figures de droite et de gauche). Même si nous moyennons les mesures obtenues le long du réseau déployé sur la face latérale de l’échantillon, ces observations suggèrent que le champ diffus n’est pas en mesure d’échantillonner l’ensemble des régions isolées du système de manière équitable.

Il est donc légitime de se demander si la trace du tenseur de déformation est la grandeur phy-sique adaptée pour caractériser la sensibilité des mesures de CWI vis-à-vis de l’évolution méca-nique du système, dans le cadre de l’expérience proposée. Notons également à ce sujet qu’il est va-lide d’estimer les variations volumétriques à partir de la trace du tenseur de déformation unique-ment lorsque les déformations demeurent faibles. Bien que les termes ajoutés dans le cas général contribuent ici à la déformation volumétrique de manière négligeable (produits de deux compo-santes du tenseur), la variation volumétrique s’exprime dans un contexte plus générale sous la forme suivante :

e_{vol= e}XX+ eYY+ eXXeYY− e²XY (2.27)

Impact des paramètres de la simulation sur les résultats numériques

Nous cherchons enfin à vérifier que les délais relatifs mesurés ne sont pas influencés par les paramètres de la simulation tels que les caractéristiques de la source ou le taux d’échantillonnage des signaux enregistrés.

Nous commençons par tester l’influence des paramètres de la source en comparant les déca-lages temporels relatifs mesurés pour deux valeurs distinctes de la fréquence centrale f0, soit 400 kHz et 100 kHz. Dans les deux cas, les délais relatifs sont mesurés pour des déplacements variables, de 0 à 150 µm. La méthode discrète est sensible au contenu fréquentiel des signaux comparés (voir les résultats décrits dans la section 2.3.3). Par conséquent, les signaux fenêtrés sont filtrés dans la gamme de fréquences [250 - 350] kHz pour la source de fréquence centrale 100 kHz et dans la gamme [1000 - 1100 ] kHz lorsque f₀= 400 kHz. Considérons le cas où nous appliquons un dépla-cement δ d’une valeur de 75 µm, et notons ε = <d t/t> le décalage temporel relatif moyen.

— Lorsque f₀= 400 kHz, nous mesurons ε(f₀= 400 kHz, δ = 75 µm) = 3.1 · 10−4. — Pour f₀= 100 kHz, nous mesurons ε(f₀= 100 kHz, δ = 75 µm) = 2.8 · 10−4.

Pour cet état de chargement, la différence entre les mesures, ∆ε_f0, vaut 0.3 · 10−4. Un ordre de grandeur sépare donc la moyenne de la différence de ces mesures. Nous reproduisons un tel résultat lorsque nous faisons évoluer le déplacement δ appliqué dans la simulation, soit pour δ ∈ [0, 25, 50, 75, 100, 125, 125, 150] µm. Ce résultat est traduit quantitativement par la relation 2.28. La différence entre les délais relatifs mesurés à 400 kHz et à 100 kHz est du même ordre de grandeur que l’incertitude sur ces mesures : nous concluons donc que le changement dans le paramètre de la source a un effet statiquement insignifiant sur les mesures.

X δ

2∆ε_f0(δ)

De manière similaire, nous testons l’influence d’un changement dans le taux d’échantillon-nage des formes d’ondes. Deux taux d’échantillond’échantillon-nage sont considérés : la valeur utilisée précé-demment, T_s = 0.1 ns, et un taux d’échantillonnage plus faible de 0.8 ns. Considérons à nouveau la situation dans laquelle nous appliquons un déplacement de 75 µm. Les délais relatifs moyens sont alors de ε(Ts= 0.1 ns) = 3.1 · 10−4et de ε(Ts= 0.8 ns) = 3.0 · 10−4.

La différence entre les délais relatifs moyens, ∆εTs, est à nouveau faible devant l’incertitude sur ces mesures. De la même manière qu’avec l’équation 2.28, nous vérifions que pour chaque état de contrainte, la différence entre les délais relatifs est faible devant leur valeur moyenne (Eq. 2.29) ainsi que devant l’incertitude sur les mesures. Nous concluons que ces paramètre ont une in-fluence statistiquement insignifiante sur les mesures délivrées par le modèle numérique.

X δ

2∆ε_Ts(δ)

ε(T_{S= 0.1 ns, δ) + ε(TS= 0.8 ns, δ)}^{≈ 0.01} (2.29)

Interprétation des signaux et résumé de l’approche

Les tests décrits dans le paragraphe précédent montrent que les paramètres de la source et des récepteurs n’ont pas une influence significative sur les mesures, ce qui suggère que les me-sures présentées dans les figures 2.19 et 2.20 sont porteuses d’un signal de déformation et ne sont pas le produit d’un artefact numérique du modèle. Il s’agit du résultat central de l’étude numé-rique présentée dans la section 2.3 du manuscrit. Cette étude permet de surcroit de donner un cadre concret aux méthodes évoquées dans la section introductive du chapitre (2.2). La démarche entreprise dans cette section sera à nouveau mise à profit afin de développer les modèles numé-riques présentés dans les chapitres 3 et 4. Nous revenons donc, afin de conclure cette étude, sur les différentes étapes de cette approche.

Nous développons, à partir du schéma numérique décrit dans la section 2.2.1, un modèle nu-mérique analogique qui permet d’étudier la signature sur les mesures de CWI de la déformation élastique et réversible de l’échantillon fortement diffusif proposé. La flexibilité du modèle numé-rique nous a permis d’étudier un cas spécifique où la vitesse des ondes est fixée depuis la dis-crétisation du milieu jusqu’à la dernière étape de déformation. Il est de ce fait possible d’isoler la contribution aux délais mesurés par CWI, du changement de forme du milieu et de la déforma-tion géométrique de celui-ci. Rappelons qu’une analyse standard des variadéforma-tions relatives de délais

d t/t conduit usuellement à négliger cette contribution, puisqu’elle attribue les observations à la

modification de la vitesse des ondes causée par la perturbation appliquée. Dans le chapitre 3, nous chercherons à quantifier la contribution propre à chacun de ces phénomènes.

Une simplification non triviale du modèle numérique consiste à définir un milieu fictif bi-dimensionnel demeurant représentatif d’un échantillon de granite de réservoir profond et per-mettant de répliquer son comportement acoustique et mécanique. Les méthodes évoquées dans les sections 2.2.3 et 2.2.2 sont ainsi employées afin de caractériser le comportement acoustique et mécanique du milieu numérique et de l’échantillon réel dont il réplique les propriétés. Une pre-mière étape consiste à sélectionner le milieu fictif le plus propice à représenter l’échantillon de granite : celui-ci comporte un assemblage de 70 trous de rayon 3 mm. Ces mêmes méthodes nous permettent ensuite de vérifier les hypothèses relatives au cadre de notre étude : le milieu est pro-pice à propager un champ d’ondes diffus à partir duquel nous appliquons les méthodes de CWI afin de surveiller la déformation élastique du système.

Afin de comparer les couples de formes d’onde enregistrés à chaque étape du chargement, nous appliquons enfin deux méthodes d’interférométrie distinctes : une méthode discrète basée sur la corrélation croisée de signaux fenêtrés et une méthode d’étirement. Nous présentons ces méthodes au regard des signaux enregistrés, et nous conduisons un ensemble de tests afin d’amé-liorer la qualité des mesures délivrées par la méthode discrète. Ce calibrage nous amène en parti-culier à utiliser une méthode de corrélation divisée en deux étapes, et à discuter de l’influence de la durée des fenêtres de discrétisation et du filtre passe-bande appliqué aux signaux. C’est donc à

partir de ces tests et aidé des critères évoqués dans la section 2.2.4, que nous fixons les paramètres temporels et géométriques du modèle numérique (durée et échantillonnage des signaux, distance caractéristique entre éléments de maillage) ainsi que les paramètres des méthodes de CWI (fré-quence du filtre passe-bande, durée des fenêtres de discrétisation).

L’utilisation de l’ensemble de ces méthodes nous permet de mettre en évidence la relation quasi linéaire entre la variation relative de volume (e_vol) et les délais relatifs mesurés, et ce, bien que la vitesse des ondes élastiques ne varie pas au cours de l’expérience. En effet, les mesures re-présentées dans la figure 2.20 témoignent d’une relation de proportionnalité entre la déformation volumétrique moyenne et les retards relatifs moyens. Au travers de ces résultats et de leurs analyse, nous montrons que les mesures de CWI sont sensibles à la déformation volumétrique isotrope du milieu de propagation, mais aussi à l’hétérogénéité spatiale du champ de déformation.

2.4 Localisation du changement intervenant dans le milieu de