Modélisation analogique des effets de la déformation élastique sur les mesures de
2.4 Localisation du changement intervenant dans le milieu de propa- propa-gation : étude numérique de la sensibilité des mesures vis-à-vis d’une
perturbation locale du milieu de propagation
2.4.1 Localisation du changement : noyaux de sensibilité et proposition d’une approche directe
Dans la section précédente, nous nous sommes concentrés sur l’étude de l’évolution tempo-relle/avec le niveau de chargement, des temps de parcours des ondes diffuses. Dans la figure 2.22, les observations étaient quantifiées au moyen de moyennes spatiales définies sur l’ensemble du milieu de propagation. L’analyse menée dans la section précédente nous a notamment permis de discerner la sensibilité des retards de temps de parcours mesurés par CWI vis-à-vis de la déforma-tion du système, en observant une dépendance quasi linéaire entre la déformadéforma-tion volumétrique et les mesures de CWI. Une telle approche s’est donc montrée adaptée au développement du mo-dèle numérique analogique et à l’étude des processus physiques à l’origine des observations.
Fixons maintenant l’état de chargement du système. Compte tenu de la sensibilité de ces me-sures de CWI, un exercice complémentaire consiste à se demander quelles sont les informations relatives à la variabilité spatiale de la déformation qu’il est possible de tirer d’une telle analyse.
Une approche consisterait à appliquer les éléments théoriques décrits dans la section 2.1.4. Il s’agirait en premier lieu de calculer le noyau de sensibilité pour chaque fenêtre de discrétisation définie, et pour chaque configuration source/récepteur8. Ces noyaux seraient ensuite utilisés afin de poser un problème inverse linéaire. En effet, l’équation 2.9 décrit la relation entre le retards de temps de parcours observés dans une fenêtre de discrétisation donnée, et la variation de vitesse localisée en un point du milieu. L’inversion du système linéaire ainsi formulé permettrait d’estimer la distribution spatiale des changements survenant dans le milieu de propagation, pour chaque configuration étudiée.
Considérons à titre d’exemple le modèle numérique proposé dans la section précédente et le milieu de propagation comportant 70 trous de rayons 3 mm. La figure 2.22 représente trois noyaux de sensibilités que nous avons calculé au moyen de Specfem2D pour trois couples source/récepteur différents. Le code de propagation permet, au moyen de deux simulations auxiliaires, de calculer des noyaux de sensibilité pour la densité ρ, pour VPou encore VS: les champs de déplacement produit lors de la première simulation sont utilisé pour déduire la source adjointe de la seconde simulation. Nous considérons pour ce calcul la propagation d’une onde SH, nous utilisons les ré-sultats calculés dans la fenêtre de discrétisation d’une durée de 6.5 µm centrée en t = 10 · 10−5 s, et nous employons trois configurations source/récepteur distinctes. Les noyaux Ker(x, y, t) re-présentées pour VSdans la figure 2.22 décrivent la sensibilité des temps de parcours des ondes vis-à-vis de changements qui surviennent dans le milieu de propagation, par exemple ceux cau-sés par l’application d’un déplacement δ sur sa face supérieure. Chacune des figures reflète donc la sensibilité des arrivées d’une fenêtre donnée de coda, et des signaux enregistrés à un capteur donné du réseau.
Il est intéressant de comparer les structures observées à la variation spatiale des changements mécaniques induits dans le milieu de propagation. Nous appliquons pour cela un déplacement de 80 µm sur le haut du système et représentons les variations spatiales de la trace du tenseur de déformation (Fig. 2.23). Cette figure montre notamment que la variabilité verticale de la mesure de déformation, c’est-à-dire dans la direction du réseau de capteurs, est globalement homogène. Ces observations expliquent que la variabilité spatiale parmi les retards relatifs d t/t observés aux 32 capteurs du réseau est faible (voir section 2.3.4).
FIGURE2.22 – Noyaux de sensibilité calculés pour VSau moyen du modèle numérique de la section 2.3 en considérant une fenêtre de coda centrée en t = 10−4s et en utilisant trois configurations source/récepteurs différentes. La position de la source est représentée par un cercle rouge et la position du récepteur actif sous forme d’un cercle bleu.
Afin d’étudier la variabilité spatiale des changements qui surviennent dans le milieu, nous sou-haitons évaluer ici l’efficacité d’une approche plus directe. Nous employons pour cela un modèle légèrement différent de celui présenté dans la section précédente. Nous appliquons en particulier un champ de déformation de manière plus localisée, à l’échelle du système, de manière à induire une variabilité spatiale plus importante dans les mesures de CWI. Nous employons également un réseau plus dense de capteurs, ce qui permet d’évaluer plus précisément la variabilité spatiale9 des mesures de CWI.
Nous nous demanderons d’abord si cette variabilité spatiale révèle une structure indiquant que les mesures de CWI obtenues en un capteur donné du réseau sont sensibles à la déformation locale du milieu.
Si les retards de temps de parcours accumulés en chaque capteur du réseau sont empreints de l’évolution locale du milieu de propagation, nous nous demanderons si la mesure directe de retards de temps de parcours ainsi que l’analyse de leur variabilité spatiale, permettent de nous renseigner sur la structure du champ de déformation, voir d’inférer la localisation de la perturba-tion appliquée.
2.4.2 Présentation du principe de l’étude
Par rapport au modèle présenté dans la section 2.3, nous modifions essentiellement le char-gement appliqué au système. Nous considérons donc le même milieu de propagation que dans la section précédente : un système bi-dimensionnel aux dimensions identiques, comportant un ensemble de 70 trous de rayon 3 mm permettant de diffuser le champ d’ondes propagé. Dans les deux codes de modélisation, nous ne modifions pas les paramètres décrivant les matériaux et la rhéologie des éléments du maillage.
Nous imposons en revanche le déplacement homogène de l’une des 70 hétérogénéités du maillage. Nous focalisons l’étude sur un unique état de déformation du système. Celui-ci est ob-tenu en déformant le maillage au moyen de Code Aster : la condition de chargement consiste à déplacer les nœuds définissant le bord d’une inclusion circulaire. Le déplacement de 75 µm est orienté dans la direction -Y (Fig. 2.23 (a)). En anticipant la discussion menée dans la section 3.3 du manuscrit, nous parlerons de perturbation « mécanique » du milieu de propagation, afin de souligner le fait que la perturbation est appliquée au moyen du code de déformation.
Cette procédure de chargement permet de générer un champ de déformation aux motifs diffé-rents de celui produit précédemment, lorsque nous appliquions un déplacement sur la face supé-rieure de l’échantillon. Dans un cas comme dans l’autre, les trous insérés dans le milieu de propa-gation engendrent des fluctuations dans la magnitude de la trace du tenseur de déformation (voir Fig. 2.23).
Le déplacement d’une des hétérogénéités du système (sous-figure (a)) conduit néanmoins à observer des fluctuations locales plus fortes. En effet, considérons à titre de comparaison la situa-tion où un déplacement de 80 µm est appliqué sur le haut du système (sous-figure (b)). Les magni-tudes calculées pour les deux types de perturbations considérées sont comparables. La confron-tation des cartes montre que la variabilité verticale de cette mesure de la déformation, c’est-à-dire dans la direction du réseau de capteurs, est plus homogène dans le cas illustré en (b) que dans le cas traité dans cette section du manuscrit. Dans le cas illustré en (a), une zone de déformation à proximité de l’inclusion déplacée forme un motif qui s’étend sur une hauteur d’environ 15 mm (c.-à-d. dans la direction Y ).
FIGURE2.23 – (a) Principe de l’expérience dans laquelle un déplacement de 75 µm est appliqué de manière uniforme aux nœuds définissant le bord de l’une des 70 inclusions circulaires du milieu de propagation. Nous comparons la carte de la trace du tenseur de déformation mesurée pour la perturbation décrite en (a) à celle calculée par Code_ Aster lorsque nous appliquons un déplacement de 80 µm sur le haut du système (b). L’ordre de grandeur ds déformations observées dans les deux situations est comparable.
Afin de potentiellement localiser ces différentes zones de déformation, nous utilisons ici un ensemble de 75 capteurs distribués sur la face de l’échantillon opposée à la source. Ce faisant, deux capteurs sont séparés d’environ 1.5 mm. Un réseau dense de capteurs permettra d’étudier plus précisément la variabilité spatiale des retards de temps de parcours mesurés par CWI, et la configuration choisie suppose que la déformation autour de l’hétérogénéité déplacée s’étende sur une hauteur d’environ 10 capteurs (Fig. 2.23 (a)). La durée des enregistrements est ici de 3 · 10−4s. L’impulsion appliquée à la source est identique à celle utilisée précédemment, à savoir un Ricker de fréquence centrale 400 kHz.
Le pré-traitement appliqué aux enregistrements reste identique à celui appliqué précédem-ment puisque les paramètres de la source et la fréquence d’échantillonnage des enregistreprécédem-ments ne sont pas modifiés par rapport au modèle numérique décrit dans la section 2.3. Nous évaluons les délais au moyen de la méthode discrète s’appuyant sur la corrélation croisée de signaux
fenê-trés. Les fenêtres sont d’une durée de 6.5 µs. Afin d’augmenter le nombre de mesures et de lisser la courbe représentant la variation temporelle des délais d t, nous employons des fenêtres chevau-chantes dont le recouvrement est de 80%.
2.4.3 Mise en évidence de la variabilité latérale des retards de temps de parcours
La figure 2.24 présente les délais mesurés dans les fenêtres de discrétisation successives, en comparant la forme d’onde de référence à la forme d’onde enregistrée après que le diffuseur circu-laire ait été déplacé. Dans la figure (a), nous représentons les mesures obtenues à l’aide du signal enregistré au capteur faisant face à la source. Dans la partie (b), nous représentons la moyenne spatiale calculée à partir des enregistrements des 75 capteurs : chaque point de mesure est obtenu en moyennant les délais dt mesurés à un instant t en chacun des capteurs du réseau. Dans la figure 2.24 (b), nous montrons que les délais moyens évoluent quasi-linéairement avec le temps dans le signal. L’adaptation d’une régression linéaire aux mesures de la figure (b) permettrait d’estimer la variation relative des délais à l’échelle des dimensions du milieu échantillonné par le champ d’ondes diffus : de la même manière que dans la figure 2.20, il s’agirait d’une mesure spatialisée du retard relatif d t/t.
En représentant cette même fonction du temps de manière plus locale (Fig. 2.24 (a)), nous ob-servons des fluctuations plus importantes dans les mesures. La comparaison entre les deux figures suggère que l’analyse locale des mesures de CWI est susceptible de délivrer des informations sur l’évolution du système qu’il ne serait pas possible d’inférer à partir d’une approche moyenne.
FIGURE2.24 – Les retards dans les temps de parcours d t sont mesurés en fonction du temps dans le si-gnal en comparant la forme d’onde de référence à celle enregistrée lorsqu’un déplacement de 75µm est appliqué à l’inclusion circulaire. (a) Les délais mesurés dans des fenêtres chevauchantes d’une durée de 6.5µs sont obtenus au capteur faisant face à la source. (b) Nous analysons une mesure spatialisée des délais en calculant pour chaque fenêtre de discrétisation, la moyenne des délais obtenus au temps t à l’aide des enregistrements des 75 capteurs du réseau.
Cette variabilité spatiale est clairement illustrée au moyen de la figure 2.25. Celle-ci cartogra-phie les retards de temps de parcours à la fois temporellement (en abscisse, le temps dans le signal) et spatialement (en ordonnée, la position le long du réseau de récepteurs). L’amplitude du signal est représentée en termes de nombre de pas de temps (Ts= 10−10) par la palette de couleurs.
La figure conduit à observer d’importantes fluctuations locales. Les variabilités mises en évi-dence suggèrent que l’analyse des différents comportements observés de capteur en capteur per-met de nous informer sur l’évolution du système sondé par le champ d’ondes diffus, à une échelle locale. Pour cela, il s’agit de relier les retards de temps de parcours mesurés à un capteur donné, à une mesure mécanique reflétant l’évolution du système à cette même échelle.
FIGURE2.25 – Carte des retards de temps de parcours d t, mesurés au moyen de la méthode basée sur la corrélation croisée de fenêtres de discrétisation, en comparant la forme d’onde de référence à celle enregis-trée lorsqu’un déplacement de 75µm est appliqué au bord de l’inclusion circulaire déplacée. L’amplitude des délais, en termes de nombre de pas de temps (Ts= 10−10), est cartographiée temporellement (le temps dans le signal est représenté en abscisse) et spatialement (la position le long du réseau de capteurs est re-présentée en ordonnée)
2.4.4 Analyse de la variabilité spatiale et sensibilité des retards de temps de parcours
dt vis-à-vis de la déformation locale du système
Quelles observables peut-on analyser afin de ne considérer qu’une seule mesure par capteur et afin d’étudier les variations spatiales le long du réseau?
Pour un capteur donné du réseau, nous calculons la moyenne temporelle de l’ensemble des retards de temps de parcours mesurés le long du signal : nous moyennons les mesures relatives à chaque fenêtre de discrétisation. Il est ainsi possible d’analyser la variation spatiale d’une mesure propre à un capteur donné du réseau. En particulier, nous choisissons d’analyser la moyenne des délais et non pas la pente de la régression linéaire adaptée aux mesures d t(t), afin que les résultats soient représentatifs de la tendance à un capteur donné du réseau et de manière à ce que les me-sures ne dépendent pas de la qualité de l’adaptation de la régression linéaire. Il s’agit notamment d’être prudent à propos de la qualité variable de cette adaptation, compte tenu des fluctuations observées dans les figures 2.24 (a) et 2.25. Cette mesure localisée des retards de temps de parcours est représentée en noir dans la figure 2.26, en fonction de la position du capteur.
Afin de tester, à l’échelle étudiée, la sensibilité des retards de temps de parcours vis-à-vis de la déformation du système, nous souhaitons évaluer cette grandeur mécanique, caractéristique de l’évolution du système, à une échelle comparable. Code Aster permet de mesurer la déforma-tion volumétrique en chaque nœud du maillage. À partir de cette mesure, nous moyennons les valeurs extraites dans une bande horizontale dont l’épaisseur est égale au double de la longueur caractéristique des éléments du maillage, soit 2 · lc.
La moyenne est représentée en rouge dans la figure 2.26, en fonction de la position de la ligne horizontale choisie pour la moyenne. La méthode employée pour évaluer localement la défor-mation volumétrique conduit à obtenir une fonction continue de la position. Nous observons de
fortes fluctuations corrélée à la localisation des inclusions circulaires.
Pour faciliter la comparaison entre la variation des deux fonctions de la position, nous ne te-nons pas compte des magnitudes et normalisons les amplitudes de manière à ce que le maximum soit unitaire et de façon à ce que le minimum soit nul.
Les courbes calculées au moyen de Code Aster (en rouge) ou grâce à la méthode de CWI (en noir) sont très similaires et partagent des structures comparables. De la même manière que dans la section 2.3 du chapitre, la vitesse des ondes élastiques ne dépend pas de la déformation du sys-tème. Les variabilités spatiales observée dans la figure 2.26 attestent de la sensibilité des retards de temps de parcours vis-à-vis de la déformation volumétrique du système, à une échelle plus locale que celle analysée au travers des figures 2.19 et 2.20.
FIGURE2.26 – Variation en fonction de la position du capteur au sein du réseau, de la moyenne temporelle des délais mesurés le long du signal (en noir). La mesure est comparée à la déformation volumétrique de l’échantillon, moyennée sur des bandes horizontales dont l’épaisseur est égale au double de la longueur caractéristique des éléments du maillage (en rouge).
En analysant ici un cas dans lequel nous induisons une variabilité latérale plus forte dans les grandeurs physiques étudiées, cette étude étaye la proposition émise dans la section 2.3 à propos du lien entre la déformation subie par le milieu de propagation et les mesures de CWI, en l’absence de variations intrinsèques de la vitesse des ondes propagées.
Ensuite, nous remarquons que les mesures présentées dans la figure 2.26 sont fortement in-fluencées par la distribution de trous. En utilisant un réseau dense de capteurs, l’analyse de la variabilité latérale des mesures de CWI montre la sensibilité des délais observés vis-à-vis de la déformation concentrée autour des inclusions circulaires.
Enfin, cette variabilité latérale est clairement affectée, sur une largeur d’environ 12 capteurs, par le motif de déformation localisé autour de l’hétérogénéité déplacée. L’analyse conduite à l’aide de la figure 2.26 permet de nous renseigner sur l’origine de la perturbation et sur la réponse méca-nique du milieu. Cette étude spatiale des mesures de CWI nous renseigne en effet sur la structure uni-dimensionnelle du champ de déformation.