Propagation d’un champ diffus dans le modèle du réservoir

Un sous-modèle pour la diffusion des ondes

La figure 4.10 représente l’ensemble du milieu numérique, c’est-à-dire le sous-modèle avec le modèle du réservoir. Dans Code Aster, aucune déformation n’est introduite dans le sous-modèle. Les conditions de bord appliquées au système conduisent en effet à déformer uniquement le mo-dèle du réservoir (voir Fig. 4.9). Lorsque nous simulons la propagation des ondes, nous assurons la continuité de la grille de maillage entre les deux parties du modèle. Pour éviter toute réflexion pa-rasite à la limite entre le modèle de réservoir et le sous-modèle, ce dernier est constitué du même matériau que la couche inférieure du modèle du réservoir.

La figue 4.10 illustre également la manière dont nous avons adapté la géométrie du modèle numérique exploratoire décrit dans la section précédente (voir Fig. 4.2). Le sous-modèle com-prend en effet un ensemble de grandes inclusions circulaires fictives de 1.2 km de diamètre. Afin de produire un champ d’ondes diffus dans la gamme de fréquences considérée, nous définissons un fort contraste entre les coefficients élastiques des inclusions et ceux du milieu environnant. Puisqu’aucune déformation n’est introduite dans le sous-modèle, les effets acousto-élastiques ne sont pas modélisés dans ce domaine. Nous y fixons donc la valeur des TOECs à zéro.

FIGURE4.10 – Géométrie du modèle numérique : la partie supérieure du modèle numérique est consacrée à modéliser la section géologique présentée dans la figure 4.7 (a) et le sous-modèle est constitué d’inclusions circulaires permettant de diffuser le champ d’ondes propagé depuis la source ponctuelle située sur la face inférieure. La source émet une ondelette de Ricker, avec une fréquence centrale de 2 Hz. Les formes d’ondes sont enregistrées en deux stations séparées de 2.6 km, et sont ensuite corrélées entre elles. Lors de la simu-lation de la propagation de l’onde, la limite supérieure du modèle est libre alors que nous appliquons une condition d’absorption aux autres bords du milieu numérique.

Les stations (RITT) et (BETS) du réseau (RT) (voir Fig. 1.4) et la paire de stations du modèle (voir Fig. 4.10) partagent la même disposition. Lorsque nous simulons la propagation d’ondes, nous imposons des conditions d’absorption aux limites du milieu. La condition aux limites est dite de Stacey (Stacey, 1988). La face du dessus est en revanche une limite libre.

Les formes d’ondes enregistrées aux deux stations sont issues de la contribution de nom-breuses ondes réfléchies qui ont parcouru des trajets complexes en raison des multiples réflexions se produisant aux limites des inclusions circulaires. Deux formes d’ondes, ainsi que leur fonction de corrélation croisée, sont représentées dans la figure 4.10. Ces signaux suggèrent l’établissement d’un régime de forte diffusion.

Le champ d’ondes est propagé à partir de la source ponctuelle localisée en bas du sous-modèle. La fonction source appliquée est une ondelette de Ricker standard, définie dans l’équation 2.11. Nous utilisons une fréquence centrale f₀de 2 Hz. La fonction source est représentée en complé-ment de la figure 4.10.

Dans les paragraphes suivants, nous présentons un ensemble de tests ayant permis de vérifier que le sous-modèle conduit à propager un champ diffus dont les caractéristiques sont pertinentes compte tenu des objectifs de notre étude.

Évaluation du contenu spectral des fonctions de corrélation croisée

Nous vérifions d’abord la similitude des contenus spectraux des fonctions de corrélation croi-sée. Dans la figure 4.11, nous représentons les densités spectrales de puissance (PSD) calculées dans les deux cas : à partir des fonctions de corrélation croisée mesurées avec les enregistrements du réseau (RT) (courbe noire) ou bien à partir de celles calculées avec les signaux synthétiques (courbe rouge). Les deux spectres sont très similaires après que les enregistrements aient été fil-trés dans la gamme de fréquences [1-3] Hz. Nous mesurons un coefficient de corrélation normalisé d’une valeur de 0.95 entre les deux spectres affichés.

FIGURE4.11 – Densité spectrale de puissance (PSD) des fonctions de corrélation croisée mesurée avec les enregistrements des stations (RITT) et (BETS) (ligne noire), ou bien à partir des formes d’onde synthétiques (ligne rouge).

Convergence des fonctions de corrélation croisée vers la fonction de Green synthétique

Afin d’évaluer l’efficacité du sous-modèle, nous testons également la convergence du signal construit à partir de la corrélation croisée des enregistrements synthétiques, vers l’onde d’impul-sion se propageant d’une station à l’autre, c’est-à-dire la fonction de Green synthétique. Le modèle numérique proposé permet en effet de calculer une telle fonction en appliquant une impulsion de Dirac à une station, et en enregistrant la réponse à cette source ponctuelle au niveau de la seconde station de surface (voir Fig. 4.12 (a)).

La comparaison des deux formes d’ondes (voir Fig. 4.12 (b)) montre que le signal reconstruit par corrélation croisée⁵converge vers la fonction de Green synthétique. En effet, les enveloppes des deux formes d’onde sont très similaires après filtrage dans la bande de fréquences [1-3] Hz.

Nous analysons ensuite la composition de ces signaux. Dans chacun d’entre eux, il est possible d’identifier les arrivées de différentes phases, dont les temps d’arrivées sont comparables d’un signal à l’autre. Les arrivées prononcées peuvent être reliées à des trajets directs ou réfléchis en calculant les temps de parcours d’ondes balistiques. Ainsi, les arrivées identifiées peu avant 2 s correspondent à un trajet direct de la source virtuelle au récepteur, alors que celles autour de 6 s coïncident avec une réflexion ayant lieu à la base du modèle du réservoir.

Il existe cependant des différences entre les deux signaux. Ces dissemblances suggèrent une différence de sensibilité des deux signaux vis-à-vis de l’ensemble de diffuseurs constituants le sous-modèle. Ainsi, la fonction de corrélation croisée est construite à partir d’ondes diffuses, trans-mises à travers le sous-modèle. En revanche, la fonction empirique de Green est calculée à partir d’une source et d’un capteur qui sont localisés en surface. Ainsi, peu d’énergie explore le domaine diffusant du milieu de propagation.

Modélisation de la propagation d’un champ diffus

Nous vérifions ensuite que les propriétés du champ d’ondes produit par le sous-modèle sont bien celles d’un champ diffus, et que ses propriétés sont représentatives de celles tirées de l’étude des enregistrements des stations du réseau (RT). Nous appliquons pour cela les méthodes décrites dans la section 2.2.2.

Nous analysons d’une part, une fonction de corrélation croisée mesurée au moyen des enre-gistrements des stations (RITT) et (BETS), et d’autre part, celle calculée à partir des formes d’ondes synthétiques. La figure 4.13 montre l’évolution de la fonction lnU(t), c’est-à-dire la représentation logarithmique et normalisée de la fonction de densité d’énergie W (t). La figure conduit à obser-ver une stabilisation progressive du rapport d’énergie au cours des 30 s d’enregistrement. Cette évolution de l’énergie sismique est caractéristique d’un régime de diffusion.

En utilisant une régression des moindres carrés et le modèle de diffusion décrit par les équa-tions 2.13, nous calculons le meilleur ajustement aux mesures du modèle numérique (ligne rouge discontinue) et aux observations relatives au réseau sismique (RT) (ligne noire discontinue). En inversant le coefficient a₃, nous calculons le libre parcours moyen ℓ. Lorsque nous analysons les signaux synthétiques, nous calculons une valeur de 1.32 km. Le libre parcours moyen mesuré et les paramètres géométriques du modèle satisfont à l’inégalité permettant d’assurer l’établissement d’un régime de diffusion multiple. Le milieu numérique est donc propice à la propagation d’un champ d’ondes diffus, ce qui constitue une hypothèse nécessaire à l’application de méthode de CWI.

En appliquant la même méthode aux enregistrements du réseau (RT), nous estimons un libre parcours moyen ℓ de 1.24 km. La variation de 6% entre les deux mesures montre qu’elles sont concordantes. Ce résultat indique que les propriétés acoustiques du modèle numérique sont re-présentatives de celles déduites de l’analyse des enregistrements des stations (RITT) et (BETS). De plus, nous mesurons un coefficient de corrélation de 0.94 entre les fonctions temporelles repré-sentées dans la figure 4.13.

FIGURE4.12 – (a) Illustration du principe de l’analyse. Gauche : une impulsion de type Ricker (voir l’insert du bas) est appliquée en bas du sous-modèle. Les formes d’onde enregistrées en deux stations de surface sont corrélées entre elles. Droite : en utilisant la même disposition des récepteurs, une impulsion de Dirac (voir encart inférieur) est appliquée à l’emplacement d’une station et la fonction synthétique de Green est enregistrée à l’emplacement de la seconde station de la paire. (b) Nous comparons la fonction synthétique de Green à la forme d’onde reconstruite par corrélation croisée, après filtrage dans la bande de fréquences [1-3] Hz. Nous montrons de fortes similitudes entre les enveloppes des deux signaux. Nous identifions des amplitudes fortes avant 2 s et autour de 6 s. À partir de la distance entre les stations et des vitesses d’onde utilisées dans la simulation, nous calculons un temps d’arrivée de 1.2 s pour les ondes S directes, ce qui correspond aux premières arrivées identifiées dans les deux signaux. Nous attribuons les arrivées significa-tives autour de 6 s aux ondes réfléchies au fond du modèle du réservoir. Pour ces trajets balistiques, nous ne proposons toutefois pas de géométrie univoque, compte tenu de la complexité structurelle du milieu.

L’ensemble de ces résultats prouvent que le comportement acoustique du milieu fictif pro-posé est pertinent et représentatif du comportement d’une structure géologique réelle, que nous caractérisons au moyen des enregistrements du réseau (RT).

FIGURE4.13 – Les propriétés de diffusion sont caractérisées à partir de la mesure de la variation temporelle de l’expression logarithmique et normalisée, lnU(t), de la densité d’énergie W (t) (voir texte principal). Ces fonctions sont calculées en utilisant les corrélations croisées des formes d’ondes synthétiques (ligne rouge unie) ou bien celles calculées au moyen des enregistrements des stations du réseau (RT) (ligne noire unie). Les lignes pointillées représentent la meilleure adaptation, déterminée par une méthode des moindres car-rés, du modèle de diffusion décrit à partir des équations 2.13, aux variations temporelles observées.

Interférométrie des ondes de coda pendant le chargement du réservoir

De la même manière que dans la section précédente, nous comparons chronologiquement les formes d’onde reconstruites à partir de la corrélation croisée des enregistrements de deux sta-tions de surface. En effet, la comparaison par CWI des signaux produits en deux dates distinctes de l’évolution du système vise typiquement à quantifier un changement de cohérence ou un retard dans les temps de parcours des ondes. Cette étude chronologique permet d’inférer d’infimes chan-gements dans les propriétés du système. Le principe de cette approche est illustré dans la figure 4.4. Il y est comparé à celui d’une approche directe, conduisant à comparer les formes d’ondes enregistrées à différents instants de l’évolution du système et en une station unique.

Nous utilisons ici une technique d’étirement, que nous appliquons à l’ensemble des signaux synthétiques. Nous comparons à la fois les parties causales et les parties acausales des fonctions de corrélation croisée calculées en différentes dates de l’évolution du système.