Présentation des méthodes d’interférométrie d’ondes de coda employées

Le principe général des méthodes d’interférométrie, les hypothèses relatives à leur application et la typologie des champs d’ondes étudiés, ont été décrits dans les parties théoriques et méthodo-logiques de ce chapitre (section 2.1 et 2.2). L’étude décrite ici concerne le domaine de l’acoustique de laboratoire (voir Tab. 1.1) : nous rappelons que nous analysons un champ multi-diffusé par un ensemble discret d’hétérogénéités, réparties dans un milieu de propagation aux dimensions dé-cimétriques (échelle du cm). Le champ est produit par une source ponctuelle dont la fréquence centrale est de l’ordre de la centaine de kilohertz (f₀= 400 kHz).

Dans le paragraphe suivant, nous présentons les deux méthodes de CWI qui sont appliquées afin de mesurer les décalages temporels d t apparaissant entre les signaux. En complément, nous présenterons les méthodes développées afin d’évaluer l’incertitude et la qualité des estimations. Les deux techniques de CWI sont ensuite utilisées de manière concomitante afin d’étudier la va-riation des retards de temps de parcours relatifs (ou délais relatifs, d t/t) avec la déformation du milieu de propagation.

FIGURE2.16 – (a) Comparaison de trois formes d’ondes synthétiques enregistrées respectivement pour un déplacement imposé δ = 0 µm (noir), δ = 75 µm (bleu), et δ = 150 µm (rouge); (b) zoom dans une fenêtre de 6.5 µs au début de la coda où un décalage temporel négligeable est observé et (c) zoom à la fin de la forme d’onde où le décalage temporel est clairement sensible au déplacement imposé. (d) Les décalages temporels sont mesurés à l’aide d’une technique d’étirement (ligne continue), ou bien à partir d’une technique se basant sur la corrélation de fenêtre de discrétisation (cercles). Ces méthodes permettent de comparer les formes d’ondes synthétiques enregistrées pour un déplacement de 75 et 0 µm (bleu) et, dans un second temps, celles enregistrées pour un déplacement de 150 et 0 µm (rouge). Les régressions linéaires ajustées aux décalages temporels mesurés par la technique discrète (cercles de couleur) permettent de mesurer le décalage temporel relatif ǫ = d t/t.

Introduction aux méthodes d’interférométrie des ondes de coda

La figure 2.16 permet d’illustrer l’objectif des méthodes de CWI. Elle démontre également la sensibilité du champ diffus propagé vis-à-vis du chargement appliqué au système.

La forme d’onde synthétique de « référence » (δ = 0) et les formes d’ondes « perturbées » (δ > 0) que nous représentons dans la figure 2.16 (a) montrent que le champ d’ondes propagé dans l’échantillon numérique est fortement diffusé par le milieu. Nous remarquons en outre l’appa-rence bruitée de ces signaux : il n’est pas possible de distinguer des arrivées déterministes, cor-respondant par exemple à des phases directes ou réfléchies. Ces signaux témoignent donc du ré-gime de propagation établit dans le milieu fictif, grâce notamment aux interactions entre le champ d’ondes et les inclusions circulaires.

Si les signaux sont en apparence bruités, il délivrent néanmoins des informations détermi-nistes. Lorsqu’un zoom cible les premières arrivées (Fig. 2.16 (b)), les formes d’ondes représentées sont très similaires : cette partie du signal correspond à des phases faiblement diffuses du champ d’onde. Elle correspond à des trajets quasi directs ayant peu échantillonné le milieu. Focalisons ensuite l’étude sur une fenêtre ultérieure (sous-figure (c)). Le trajet des ondes est plus long, en raison des réflexions multiples qui se produisent aux bords du système et des inclusions circu-laires qui le compose. Cet échantillonnage répété implique une plus grande sensibilité vis-à-vis des changements qui surviennent dans le milieu.

Ainsi, lorsqu’un zoom cible des arrivées plus tardives (Fig. 2.16 (c)), un décalage temporel est nettement observé entre les formes d’ondes. Celui-ci est d’ailleurs sensible au déplacement im-posé (voir Fig. 2.16 (c)). La compression du milieu de propagation implique donc une compres-sion de la forme d’onde, qui pourrait être interprétée comme une augmentation apparente de la vitesse des ondes (voir section 2.1.3). Pour estimer ces décalages temporels, nous appliquons donc les méthodes de CWI décrites dans le paragraphe suivant, consistant à comparer les signaux ac-quis au cours du chargement de manière directe (voir Fig. 2.7).

Nous utilisons deux méthodes distinctes et indépendantes :

— Une approche consistant à étirer le signal et qui est appliquée à partir des premières arrivées (Sens-Schönfelder and Wegler, 2006, 2011).

— Une méthode locale, impliquant la discrétisation préalable des signaux enregistrés. Celle-ci est basée sur la corrélation croisée des fenêtres de discrétisation. Nous évaluons ainsi les retards temporels à différents instants t dans le signal. La méthode a été introduite par Poupinet et al. (1984) et a été formalisée plus tard par Snieder et al. (2002).

Dans les deux cas, nous portons une attention particulière au contenu fréquentiel des signaux comparés.

Principe de la méthode d’étirement

En ce qui concerne la première technique mentionnée, Sens-Schönfelder and Wegler (2006, 2011) proposent d’estimer les retards de temps de parcours apparaissant entre les formes d’ondes comparées en supposant que ces délais évoluent linéairement avec le temps⁷. Imaginons vouloir comparer deux signaux, eΘ(t) et Θ(t), afin d’estimer la variation relative des délais observés entre ces deux traces, d t/t. Celle-ci est calculée en estimant le facteur par lequel l’axe des temps d’une des traces doit être étiré ou comprimé pour maximiser le coefficient de corrélation mesuré entre les deux signaux. On définit pour cela une version « étirée » du signal, a étant un coefficient d’éti-rement : Θ′(t ) = Θ((1 + a) · t).

Afin d’étirer la forme d’onde, nous interpolons le signal par spline dans le domaine temporel, de la même manière que Sens-Schönfelder and Wegler (2006, 2011) et Larose and Hall (2009) par exemple.

En utilisant différents coefficients d’étirement a, l’approche consiste typiquement à calculer plusieurs traces « étirées » et à les comparer par corrélation croisée avec le signal de référence. La qualité de l’ajustement est quantifiée par le coefficient de corrélation croisée normalisé (voir Eq. 2.1, où nous considérons ici un décalage temporel t_Snul). Le coefficient d’étirement a condui-sant à maximiser la qualité de l’ajustement permet d’estimer la variation relative de délais d t/t.

Principe de la méthode discrète basée sur la corrélation croisée de signaux fenêtrés

Ici, les deux signaux sont préalablement discrétisés en fenêtres d’une durée T_f (définie ulté-rieurement), chacune d’entre elles étant centrée autour d’un temps t distinct. Ces fenêtres peuvent être définies avec ou sans recouvrement. Les signaux fenêtrés sont ensuite comparés par corréla-tion croisée. Considérant deux fenêtres de discrétisacorréla-tion à comparer, le calcul de la fonccorréla-tion de corrélation croisée CC(t_S) (voir Eq. 2.1) permet de mesurer la similitude entre la première et des copies décalées de la seconde. Nous rappelons que la fonction caractérise la variation des facteurs de corrélation croisée CC, en fonction des décalages tS appliqués à l’une des traces. Le décalage conduisant à maximiser le coefficient CC permet de mesurer le délai d t observé entre les deux fenêtres.

Dans la suite, nous comparons les signaux en définissant ces fenêtres après les premières ar-rivées. Dans la figure 2.16, nous utilisons des fenêtres non chevauchantes afin de calculer les dé-lais d t en différents instants du signal. En principe, une seule mesure de décalage d t (à un ins-tant t quelconque) est suffisante pour estimer le décalage relatif. Cependant, Clarke et al. (2011) montrent que l’incertitude sur le décalage temporel relatif varie avec le nombre de mesures indé-pendantes. Plus précisément, cette incertitude évolue avec l’inverse du nombre d’estimations au carré, autrement dit avec l’inverse du nombre de fenêtres de discrétisation au carré. Pour mini-miser l’incertitude, nous estimons le décalage temporel d t à différents instants du signal, comme le montre la figure 2.16 (d). Nous y représentons l’évolution temporelle des décalages mesurés,

d t(t), sous forme de cercles de couleurs. Nous considérons deux états de contrainte distincts : le

déplacements δ appliqué est de 75 µm ou bien de 150 µm. La variation relative de délais d t/t peut ensuite être déterminée en adaptant une régression linéaire à la fonction d t(t), et en déterminant la pente de la régression.

Paramétrisation de la méthode de corrélation croisée

Les paramètres tels que le nombre de points de discrétisation, la durée et le contenu fréquen-tiel des fenêtres de discrétisation, affectent considérablement notre capacité à évaluer les retards de temps de parcours apparaissant entre les signaux fenêtrés.

Influence de la stratégie de corrélation Afin d’améliorer la qualité et la fiabilité de la méthode

employée pour évaluer ces retards d t, nous choisissons d’appliquer une stratégie de corrélation en deux étapes. Considérons deux signaux Θ₁et Θ₂. Afin de quantifier le retard de temps de parcours observé entre les deux signaux, Θ1est d’abord corrélé au signal Θ2afin d’obtenir une fonction de corrélation, Φ₁. La fonction Φ₁est ensuite corrélée avec la fonction d’autocorrélation du signal Θ₂, c’est-à-dire la fonction obtenue en corrélant le signal avec lui-même. Nous notons la fonction d’autocorrélation Φ2.

L’utilisation de cette approche à double corrélation a plusieurs objectifs. Elle permet d’utili-ser des estimations a priori des décalages temporels pour ensuite corréler les fonctions Φ₁et Φ₂. Elle permet également d’améliorer le rapport signal/bruit. Finalement, la redondance des infor-mations permet d’estimer le décalage temporel d t observé entre Θ₁et Θ₂avec davantage de pré-cision.

Afin de démontrer les avantages de cette stratégie à double corrélation, des tests sont appli-qués à des signaux synthétiques sans qu’ils ne soient préalablement filtrés. Ici, le signal perturbé

est construit en appliquant un décalage homogène de 200 pas de temps T_s aux signaux enregis-trés par le réseau de capteurs faisant face à la source. La durée du décalage appliqué est choisie afin qu’il soit représentatif des décalages temporels usuellement observés dans les expériences proposées. Ce décalage est donc volontairement appliqué sur l’ensemble du signal de référence, de manière uniforme. Les signaux ainsi produits sont discrétisés en fenêtres successives non che-vauchantes. L’opération est réitérée pour chacun des 32 enregistrements synthétiques, afin d’aug-menter la taille de la population statistique étudiée.

Puisque le décalage est introduit uniformément dans le signal de « référence », l’objectif du test est concrètement de retrouver ce délai temporel d t tout du long de la trace analysée, lors de l’analyse de chaque fenêtre de discrétisation. Afin d’illustrer ce test, nous considérons que le pas de temps T_s est de 10−10 s, que la longueur des signaux est de 120 µs et que la durée T_f des fe-nêtres est de 6.5 µs. Cet ensemble de paramètres permet de définir 13 fefe-nêtres de discrétisation distinctes, et ce, pour chacun des 32 couples de formes d’ondes comparées. Nous étudions ainsi un ensemble de 13 · 32 = 416 mesures du décalage temporel dt.

La figure 2.17 montre les histogrammes mesurés dans les deux cas : les retards d t mesurés lorsque nous appliquons une stratégie de corrélation simple (partie du haut), ou bien lorsque nous utilisons la stratégie décrite précédemment (partie du bas). Les mesures démontrent que le retard de 200 pas de temps n’est pas mesuré de manière fiable à partir d’une méthode de corrélation simple. Les tests effectués démontrent également que l’information recherchée n’est pas contenue dans la phase de la première corrélation.

En revanche, la méthode à double corrélation permet d’obtenir des résultats plus conformes. Elle permet de mesurer une population de retards d t dont la distribution statistique, de forme quasi-gaussienne, est telle que la valeur moyenne est proche des 200 pas de temps escomptés.

FIGURE2.17 – Influence de la stratégie de corrélation en deux étapes sur la fiabilité de la méthode de CWI. Des fenêtrés isolées à différents temps t dans les signaux synthétiques acquis aux 32 récepteurs, sont com-parés par corrélation croisée afin de mesurer le décalage de 200 pas de temps intentionnellement appliqué au signal perturbé à différents instants t du signal. L’histogramme du haut présente les résultats d’une ap-proche utilisant une stratégie de corrélation simple et l’histogramme du bas présente les résultats relatifs à la démarche en deux étapes (voir texte). Les histogrammes sont adaptés par une fonction normale dont la moyenne et l’écart-type sont estimés.

Influence du contenu fréquentiel et du nombre de points de discrétisation des signaux Même

si la stratégie de corrélation en deux étapes aide à mesurer plus précisément les décalages tempo-rels, le pré-traitement (p. ex., le filtrage) des signaux comparés améliore également la fiabilité des mesures.

Nous testons ici l’influence de deux paramètres : le contenu fréquentiel des signaux et la durée des fenêtres de discrétisation. Nous appliquons à nouveau la méthode de CWI discrète aux paires de signaux décrits dans le paragraphe précédent (c.-à-d. aux couples « référence » / « perturbé » construits artificiellement, en appliquant un décalage homogène de 200 pas de temps). Avant de comparer les signaux fenêtrés, nous appliquons ici différentes stratégies de pré-traitement. Nous quantifions le nombre de décalages temporels dont la valeur est comprise entre 180 et 220 pas de temps. Compte tenu du décalage initialement imposé, nous considérons en effet une marge d’erreur de 10% sur les délais mesurés. Cette marge est choisie au regard des résultats de l’analyse décrite dans le paragraphe suivant, et qui conduit à caractériser l’incertitude sur les mesures de CWI.

En ordonnée des figures 2.18, nous indiquons à quel pourcentage les décalages temporels d t mesurés se trouvent dans la gamme de valeurs souhaitée. Nous testons d’abord l’influence de la bande de fréquences (Fig. 2.18 (a)) et nous testons ensuite l’influence du nombre de points de dis-crétisation (Fig. 2.18 (b)). Le test décrit par la figure 2.18 est bi-varié. Dans chacun de ces tests, un paramètre est donc fixé au préalable. Globalement, les figures montrent que le filtrage des signaux dans une bande de hautes fréquences, ainsi que l’augmentation du nombre de points de discré-tisation par fenêtre, permet d’améliorer la qualité de l’estimation. Dans les deux paragraphes sui-vants, nous décrivons ces tests de manière plus détaillée.

Influence du filtre passe-bande utilisé Pour tester l’influence de la bande de fréquences utilisée

dans le filtrage des signaux, nous fixons la durée des fenêtres à 6.5 µs si bien que chaque fenêtre contient 65 000 points de mesure. Le signal de « référence » est produit initialement avec un échan-tillonnage T_sde 10−10s. Celui-ci est enregistré aux 32 récepteurs du réseau, et sa durée est de 120 µs. Ce paramétrage permet de mesurer à nouveau 13 décalages temporels distincts pour chaque paire de formes d’onde comparées. Les pourcentages de la figure 2.18 (a) sont donc systématique-ment calculés en considérant un ensemble de 416 décalages temporels.

Avant de comparer les signaux, nous leur appliquons un filtre passe bande de fréquence cen-trale variable et de largeur 100 kHz. La figure 2.18 (a) montre que l’augmentation de la fréquence centrale s’accompagne d’une nette amélioration des résultats. Par conséquent, nous appliquons un filtre passe bande dans une gamme de fréquences de [1000 - 1100] kHz. La mesure correspon-dante est illustrée dans la figure 2.18 (a) sous la forme d’un point rouge.

Influence de la discrétisation des signaux En utilisant les mêmes signaux originaux, nous

tes-tons l’influence de la durée des fenêtres de discrétisation. Nous faisons varier leur contenu de 20 000 à 100 000 points de mesure. Avant de comparer les signaux, nous appliquons le filtre passe-bande précédemment retenu. Les résultats représentés dans la figure 2.18 (b) montrent que le pourcentage de résultats valides augmente nettement avec la durée des fenêtres de discrétisation. Fixant au préalable le pas de temps T_s ainsi que la durée totale des enregistrements, une aug-mentation de la durée des fenêtres de discrétisation conduit nécessairement à diminuer le nombre de fenêtres distinctes. Ainsi, en passant de 65 000 à 100 000 points de mesure, nous diminuons for-tement le nombre d’estimations indépendantes du décalage temporel d t, puisque le nombre de fenêtres de discrétisation passe de 13 à 7. On rappelle que l’erreur sur le décalage temporel rela-tif évolue avec le carré inverse du nombre de ces estimations (Clarke et al., 2011). Ceci explique donc que nous choisissons d’utiliser des fenêtres de 65 000 points de mesure. La configuration retenue (point rouge Fig. 2.18 (b)) ne permet donc pas de maximiser le pourcentage de résultats caractérisés comme valides, mais elle conduit à un compromis satisfaisant entre la précision de la méthode, le nombre de délais distincts mesurés et les temps de calcul, qui sont fortement affectés par le pas de temps et par la longueur des signaux enregistrés par Specfem2D.

En conclusion, nous utilisons la méthode à double corrélation décrite ci-dessus, nous appli-quons aux enregistrements synthétiques un filtre passe-bande dans la gamme de fréquences [1000 - 1100] kHz et nous produisons des fenêtres de discrétisation non chevauchantes d’une durée T_f de 6.5 µs. Chacune de ces fenêtres est donc constituée d’un ensemble de 65 000 points de mesure.

Ce paramétrage définit un contenu fréquentiel minimal des fenêtres de discrétisation, en des-sous duquel la fiabilité des délais estimés n’est pas satisfaisante, considérant qu’une erreur de ± 10% sur la valeur du délai est acceptable. Ce contenu peut être exprimé en termes de nombre de longueurs d’onde par fenêtre. Considérant notre cas d’étude, et une source émettant un signal de fréquence centrale 400 kHz, nous estimons qu’une fenêtre de 6.5 µs contient environ 2.5 longueurs d’onde.

FIGURE2.18 – Influence du contenu fréquentiel des fenêtres (a) et influence du nombre de points de me-sure par fenêtres de discrétisation (b) sur la fiabilité des meme-sures délivrées par l’application de la méthode discrète de CWI. Les signaux sont pré-traités pour montrer l’influence des deux paramètres testés. Le pour-centage de résultats considérés comme valide compte tenu du critère développé (voir texte) évolue avec la fréquence centrale du filtre passe bande appliqué aux signaux (de largeur 100 kHz) et avec le nombre de points d’échantillonnage des fenêtres. Les résultats des tests utilisant les paramètres de pré-traitement qui seront retenus dans le demeurant de l’étude, sont affichés sous la forme d’un point rouge.