Estimation de l’incertitude sur les mesures de CWI

Dans le paragraphe précédent, nous avons proposé un ensemble de méthodes permettant de paramétriser la méthode de CWI discrète basée sur la corrélation croisée de signaux fenêtrés, et ainsi d’en améliorer la fiabilité. Ces tests reposent sur la définition d’une marge d’erreur de 10% sur les délais mesurés. Nous proposons ici un ensemble de méthodes permettant d’évaluer une in-certitude sur les mesures de CWI concédées par les deux méthodes précédemment décrites. Nous étudions pour cela les signaux enregistrés à charge variable par un récepteur donné du réseau.

Par ailleurs, nous caractérisons également la variabilité spatiale de la mesure de CWI. Nous analysons alors les mesures délivrées par l’ensemble des capteurs du réseau. Ces analyses permet-tront ensuite d’étudier si la variation de certains paramètres du modèle numérique a une réper-cussion statistiquement significative sur les mesures de CWI.

Incertitude sur le délai relatif d t/t mesuré en un capteur donné du réseau par la méthode dis-crète de CWI Intéressons nous d’abord à la méthode disdis-crète basée sur la corrélation croisée de

signaux fenêtrés. Le décalage temporel relatif d t/t est obtenu à partir de la pente de la régression linéaire adaptée aux décalages temporels d t(t). Le degré de certitude sur la pente est évalué en mesurant un intervalle de confiance avec un intervalle de satisfaction à 90 %.

L’adaptation d’un ensembles de n réalisations, notées y, par une régression linéaire, conduit à associer à ces observations autant d’estimations ey, calculées à partir du modèle choisi. MSE est l’erreur quadratique moyenne mesurée à partir des observations y et des estimations ey correspon-dantes. L’opérateur ¯x fait référence à la moyenne. En notant eβ l’estimateur du paramètre β (c.-à-d. la pente sur la régression linéaire) la variable aléatoire T_β, défini par l’équation 2.23, suit une loi de Student à (n-2) degrés de liberté. Si nous considérons un intervalle de confiance à 100·(1 - α) % ainsi qu’un nombre de réalisations n, la valeur de la réalisation t_α/2,n−2est approximée par les tables de Student. Tβ= eβ −β q _MSE Pn i =1(xi−x)² (2.23)

Ainsi, partant de la distribution de Student précédente, on montre que la définition d’un in-tervalle de confiance pour la pente β, revient à la manipulation du contenu d’une déclaration de probabilité (Eq. 2.24). P   −tα/2,n−2≤ eβ −β q _MSE Pn i =1(xi−x)² ≤ tα/2,n−2    = 1 − α ^(2.24)

Finalement, l’équation 2.25 décrit un intervalle de confiance portant sur la valeur estimée de la pente, soit eβ.

eβ ± tα/2,n−2 s

MSE P_n

i =1(xi− x)² (2.25) Compte tenu des paramètres choisis dans le paragraphe précédent (section 2.3.3), nous obte-nons 13 mesures de délai, d t(t), lorsque nous comparons la paire de formes d’onde enregistrées à un capteur donné du réseau. Nous appliquons une régression linéaire pour chacune des fonctions

d t(t) ainsi produite. L’écart de la pente de la régression linéaire (c.-à-d. notre estimation du

déca-lage temporel relatif d t/t), par rapport aux bords de l’intervalle de confidence défini au moyen de l’équation 2.25, permet de définir l’incertitude sur l’estimation. Cette incertitude est relative à l’enregistrement d’un capteur donné du réseau et à un état de chargement donné du système.

En considérant les enregistrements obtenus au capteur faisant face à la source et en analysant les mesures obtenues pour différents états de chargements (δ ∈ [0, 25, 50, 75, 100, 125, 125, 150] µm), l’incertitude est en moyenne de 0.4 · 10−5. Elle augmente avec le déplacement appliqué et re-présente ainsi de 10% à 15% du décalage temporel relatif mesuré. En anticipant la présentation de la figure 2.19, dans laquelle nous représentons la variation des délais relatifs d t/t mesurés au cap-teur faisant face à la source, notons que cet écart-type y est représenté par les barres d’incertitude de couleur rouge.

Incertitude sur le délai relatif d t/t mesuré en un capteur donné du réseau par la méthode d’éti-rement Nous cherchons à estimer ensuite l’incertitude sur les mesures délivrées par la méthode

d’étirement. Cette technique sera appliquée dans la section 2.3.5 sur toute la longueur des si-gnaux enregistrés. Dans le but de caractériser cette incertitude, nous produisons un ensemble de mesures de délais relatifs d t/t en appliquant la technique à des parties restreintes des signaux enregistrés en un capteur donné du réseau. En réduisant la longueur des signaux de différentes manières, nous construisons un ensemble de couples de formes d’onde à comparer. Nous rac-courcissons ainsi les signaux à partir de leur origine, à partir de leur fin ou bien nous restreignons

leur longueur à partir des deux extrémités. L’application de la technique d’étirement à l’ensemble des couples de signaux produits permet, pour un état de chargement donné du système, de créer une distribution gaussienne de mesures de d t/t. Nous calculons alors l’écart-type et la moyenne de cette population. L’incertitude sur la mesure du décalage temporel relatif est quantifiée grâce à l’écart-type observé.

Analysons à nouveau les enregistrements délivrés par le capteur faisant face à la source, pour différentes valeurs de déplacement (δ ∈ [0, 25, 50, 75, 100, 125, 125, 150] µm). L’écart-type mesuré augmente avec le déplacement δ appliqué. Notons qu’il vaut typiquement 0.33 · 10−5 lorsque le déplacement δ est d’une valeur de 75 µm, et que la valeur moyenne des écarts type mesurés est de 0.4 · 10−5. Toujours en anticipant la présentation de la figure 2.19, notons que cet écart-type y est représenté par les barres d’incertitude de couleur noire.

FIGURE 2.19 – Évolution, en fonction du chargement appliqué au système, du décalage temporel relatif (ǫ = dt/t) mesuré en utilisant soit la technique d’étirement (noir), soit la technique se basant sur la corréla-tion croisée des fenêtres de discrétisacorréla-tion (rouge). La mesure est représentée en fonccorréla-tion de la déformacorréla-tion volumétrique moyenne, dont la valeur absolue est représentée en pourcentage. Les décalages temporels relatifs sont mesurés à partir de signaux acquis au capteur faisant face à la source. Les barres représentent l’incertitude sur le décalage relatif d t/t, évaluées de manière distincte pour chacune des méthodes de CWI employées (voir texte). Considérant les mesures des deux méthodes de CWI, les observations sont bien adaptées par une relation de proportionnalité entre < dt/t > et evol, de coefficient 0.69.

Variabilités spatiales des mesures de CWI au sein du réseau de capteurs Enfin, nous

complé-tons l’analyse en nous intéressant à la variabilité spatiale des mesures de CWI. Nous analysons, dans la finalité de l’étude proposée, les enregistrements des 32 récepteurs du réseau. Pour chaque état de chargement du système, l’application des méthodes de CWI à l’ensemble des couples de formes d’onde produits permet d’obtenir 32 estimations distinctes du délais relatif d t/t. Le calcul de leur écart-type permet d’évaluer la variabilité spatiale de la mesure.

Notons que l’écart-type varie avec le déplacement imposé. Typiquement de 0.5 · 10−5lorsque le déplacement δ est d’une valeur de 75 µm, il représente ainsi 14% à 16% de la valeur moyenne des 32 estimations. L’amplitude de ces fluctuations démontre que l’échantillonnage ayant cours dans le milieu fortement diffusif conduit à homogénéiser la mesure.

En anticipant la présentation de la figure 2.20, à partir de laquelle nous étudions la relation entre les délais relatifs moyens et la magnitude de la déformation volumétrique, notons que nous y représentons l’écart type au moyen de barres d’incertitude de couleur. Chaque point de mesure représente quant-à lui la moyenne des retards relatifs d t/t mesurés à partir des enregistrements du réseau, soit <d t/t>.

FIGURE 2.20 – Évolution du décalage temporel relatif moyen < dt/t > mesuré en comparant les formes d’ondes à partir d’une technique d’étirement (noir), ou bien à l’aide d’une technique se basant sur la cor-rélation croisée des fenêtres de discrétisation (rouge). La mesure est représentée en fonction de la défor-mation volumétrique moyenne, dont la valeur absolue est représentée en pourcentage. Les décalages tem-porels relatifs représentés, < dt/t >, sont des moyennes des 32 estimations obtenues à partir des enregis-trements des 32 capteurs du réseau. Les barres représentent l’écart-type de cet ensemble d’estimations. Considérant les mesures des deux méthodes de CWI, les observations sont bien adaptées par une relation de proportionnalité entre < dt/t > et evol, de coefficient 0.71. La courbe continue noire représente elle les variations relatives de vitesse attendues compte tenu de la relation reliant la vitesse des ondes et la densité du matériau (voir Eq. 2.5 - modèle de contraction / dilatation temporelle).