Présentation des principes du modèle numérique analogique

Présentation de l’expérience

La figure 2.10 illustre le principe de l’expérience. Chaque étape de chargement correspond à la mise en œuvre d’une boucle comme celle illustrée dans la figure 2.6. Une charge mécanique est appliquée à l’échantillon fortement diffusif en imposant un déplacement rigide δ à sa face supérieure. Ce chargement est appliqué de manière itérative : le déplacement δ est augmenté par incréments successifs. La grille de maillage est donc déformée par le code de déformation Code Aster de manière répétée.

Une ondelette impulsive est ensuite envoyée à travers le milieu au moyen de Specfem2D. Le code de propagation d’ondes permet de considérer les polarisations SH et P-SV. Afin de considérer une polarisation unique, nous produisons les mesures de CWI en propageant une onde SH dans le plan formé par le maillage bi-dimensionnel. La source ponctuelle est une ondelette de Ricker usuelle, de fréquence dominante f₀= 400 kHz (voir Eq. 2.11).

La figure 2.10 présente une configuration dans laquelle nous utilisons un unique récepteur, fai-sant face à la source. Ce récepteur est centré sur le bord de l’échantillon numérique. Néanmoins, nous analyserons les signaux enregistrés par un ensemble de 32 capteurs répartis de manière équi-distante sur le bord de l’échantillon. Le choix du nombre de capteurs (soit 32) s’expliquera compte tenu des expériences de laboratoire qui sont décrites dans le chapitre 3. L’utilisation d’un tel ré-seau de capteurs permet d’évaluer la sensibilité de la mesure vis-à-vis de la position du récepteur

FIGURE2.10 – Principe de l’approche suivie : nous imposons une charge mécanique à un échantillon de roche en imposant un déplacement rigide δ à sa face supérieure. Cette perturbation est appliquée pas à pas, en augmentant par incrément le déplacement δ. Pendant le chargement, une ondelette de Ricker (voir encart de gauche) est envoyée dans le milieu depuis la source. Le récepteur est placé sur la face opposée à la source (voir encart de droite).

et donc d’analyser la variabilité spatiale de celle-ci.

Les enregistrements obtenus en chaque récepteur comprennent les arrivées directes, ainsi que les arrivées d’ondes réfléchies et d’ondes fortement diffusées par le milieu développé à cet effet. Les formes d’ondes enregistrées pour différents états de chargement (ci-après dénommées formes d’ondes « perturbées ») sont enfin comparées par CWI à celle dite de « référence » (relatives à l’échantillon non chargé).

Description des conditions aux limites

Nous détaillons les conditions de bords appliquées dans les deux codes de modélisation dis-crète. D’un point de vue acoustique (Specfem2D), nous appliquons des conditions de bords ab-sorbants aux limites de l’échantillon, de façon à simuler un volume de masse rocheuse au sein du réservoir. La condition aux limites est une condition dite de Stacey, définie par Stacey (1988).

D’un point de vue mécanique (Code Aster), nous appliquons un déplacement vertical δ le long de la face supérieure de l’échantillon. Un déplacement horizontal et vertical nul est appli-qué au bord inférieur du milieu. Les faces latérales de l’échantillon sont libres, c’est-à-dire que la contrainte normale est fixée à 0.

Dans Specfem2D tout comme dans Code Aster, nous employons une convention de déforma-tion plane.

Représentation numérique d’un échantillon de granite et application des critères permettant d’évaluer la conformité du modèle numérique

Nous proposons d’appliquer ce schéma de travail à un échantillon fictif décrivant le compor-tement mécanique et acoustique d’un échantillon de granite, comme celui photographié dans la partie (a) de la figure 2.11. L’échantillon de granite pris pour référence provient d’une carotte du réservoir géothermique profond de Soultz-Sous-Forêts. Cet échantillon de référence a pu notam-ment être analysé au laboratoire, afin d’en étudier ses propriétés de diffusion.

Une telle roche plutonique est typiquement composée d’une multitude de grains millimé-triques de feldspath, orthoclase, quartz, plagioclase, mica et d’amphibole. L’assemblage de mi-néraux du granite est responsable entre autres de la diffusion des ondes propagées dans le milieu. Nous avons choisi d’esquisser cet assemblage complexe de diffuseurs sous la forme d’un ensemble discret d’inclusions circulaires. Ces hétérogénéités sont intégrées dans un ensemble homogène de matière élastique reproduisant le comportement du granite, c’est-à-dire un bloc rectangulaire d’une hauteur de 112 mm et d’une largeur de 95 mm.

FIGURE2.11 – Modélisation de la diffusion des ondes dans un échantillon de granite. (a) Photographie d’un échantillon de granite prélevé dans une carotte du réservoir géothermique profond de Soultz-Sous-Forêts à une profondeur de 3 790 m. Le granite est une roche plutonique composée d’un assemblage complexe de grains cristallographiques. Ces grains agissent comme des diffuseurs lorsque la longueur d’onde est de l’ordre de la taille des inclusions minérales. (b) Nous modélisons la population de diffuseurs sous la forme d’un ensemble de trous circulaires (de rayon 3 mm) répartis aléatoirement dans l’échantillon (de dimension 112 mm x 95 mm).

La définition de la géométrie de cet échantillon fictif n’est pas triviale. Nous avons étudié au préalable le comportement acoustique et mécanique de milieux caractérisés par des typologies variables : en faisant varier le nombre et la taille des trous répartis dans le rectangle de dimensions 112 x 95 mm, nous modifions le comportement acoustique de ce milieu. Nous avons sélectionné un échantillon comprenant un ensemble de 70 inclusions circulaires de rayon 3 mm, réparties de manière aléatoire dans le bloc. Les détails de cette analyse sont décrits dans la section 2.3.2. Celle-ci se base sur la comparaison des caractéristiques acoustiques de l’échantillon de granite réel avec celles de milieux fictifs de typologie variable.

Nous nous focalisons ici sur la présentation des caractéristiques de ce milieu fictif. Le maillage considéré comprend 235 611 éléments dont la longueur caractéristique lc est de 0.5 mm.

Afin de vérifier l’adéquation du maillage, nous évaluons les critères mentionnés dans la partie méthodologique du chapitre (section 2.2.4). Nous évaluons l’asymétrie des éléments de la grille à chaque étape de la simulation. L’adéquation du maillage peut être jugée à partir de l’histogramme de ce paramètre : l’asymétrie des éléments du maillage doit demeurer inférieure à la valeur seuil de 0.75. Ce critère contraint notamment la longueur caractéristique des éléments, lc. Compte tenu de la disposition des inclusions circulaires au sein du maillage, la valeur de lc doit être suffisamment faible afin de ne pas déformer excessivement les éléments quadrangulaires insérés à proximité des bords circulaires. La valeur retenue (lc = 0.5 mm) s’est révélée satisfaisante, et permet de vérifier le critère, comme en atteste l’histogramme de la figure 2.12 (c).

Dans Specfem2D, les équations différentielles sont résolues au moyen d’une méthode de New-mark. Le seuil de stabilité ν_CFL,max retenu est donc de 0.5. Les signaux enregistrés aux capteurs

sont produits avec un échantillonnage T_s d’une valeur de 10−10s. Les 1 200 000 pas de temps sur lesquels les calculs sont exécutés nous conduisent à obtenir des enregistrements d’une durée de 0.12 ms. Compte tenu de ces paramètres, et en utilisant une longueur caractéristique lc de 0.5 mm, nous mesurons un coefficient de stabilité ν_CFLde 0.06, qui satisfait au critère ν_CFL< ν_CFL,max. Nous analysons enfin les histogrammes du nombre minimum de points de discrétisation par longueur d’onde. Nous produisons l’histogramme relatif à la zone élastique du maillage (Fig. 2.12 (b)), le critère faisant alors intervenir la longueur d’ondes S. Dans Specfem2D, nous modélisons aussi la propagation des ondes à travers les trous, en préservant la continuité du maillage. De fait, nous calculons également l’histogramme relatif à la zone acoustique (c.-à-d. l’entité physique caractérisant les inclusions circulaires, remplie d’air - voir Fig. 2.12 (a)). Le critère fait intervenir dans ce cas la longueur d’ondes P. Nous rappelons que des valeurs seuils sont préconisées dans Specfem2D (voir section 2.2.4). Les histogrammes doivent au minimum être centrés autour de 4.5 points par longueur d’onde lorsque l’analyse porte sur les éléments définissant une région élas-tique, et autour de 5.5 points lorsqu’il s’agit d’une zone acoustique (Komatitsch and Vilotte, 1998). Il s’agit de minimiser le nombre d’éléments pour lesquels le rapport se situe loin de ces valeurs seuils. Les histogrammes présentés dans les figures 2.12 (a) et 2.12 (b) montrent l’adéquation de la grille de maillage choisie, compte tenu de ce critère.

Compte tenu de la valeur du coefficient νCFLmesuré, la paramétrisation proposée peut sem-bler non-appropriée. Nous choisissons néanmoins cet ensemble de paramètres, plutôt conserva-teurs, afin d’assurer une discrétisation suffisante de l’interface entre les hétérogénéités et le milieu environnant (choix de lc) et afin d’obtenir un échantillonnage des formes d’ondes en adéquation avec les exigences de la méthode discrète de CWI employée par la suite. L’ajustement de ces diffé-rents paramètres (c.-à-d. T_s, lc et durée totale des signaux) n’est donc pas trivial : il provient d’un compromis satisfaisant entre les résultats des critères décrits dans cette section, les conclusions de tests portant sur la qualité des mesures de CWI (exposés dans la section 2.3.3) et bien entendu des temps de calcul induits par ces choix.

FIGURE2.12 – Caractérisation de l’adéquation de la grille de maillage. Histogrammes du nombre minimum de points par longueur d’onde, calculés pour les éléments composant le groupe de mailles définissant les inclusions circulaires (a) et pour les éléments composants la matrice élastique (b), avec des seuils représen-tés en rouge, définis en suivant Komatitsch and Vilotte (1998). (c) Histogramme de l’asymétrie des éléments du maillage.

Description des paramètres élastiques des matériaux du milieu fictif

Les paramètres élastiques du matériau environnant les inclusions circulaires sont issus d’es-sais tri-axiaux effectués sur des échantillons de granite non altérés du puits GPK-1 de Soultz-Sous-Forêts (Rummel, 1991). Les valeurs choisies pour le module d’Young et pour le module de Poisson sont respectivement E = 54 GPa et ν = 0.26. La valeur de la densité ρ est de 2 570 kg.m−3. La li-mite élastique en compression R_e est d’environ 150 MPa : ce paramètre intervient dans le critère d’élasticité défini précédemment dans la section 2.2.3.

En employant les équations 2.20 et 2.21, ainsi que les paramètres élastiques choisis, nous cal-culons une vitesse de V_P= 5070 m.s−1 pour les ondes P et une vitesse de V_S= 2888 m.s−1 pour les ondes S. Afin de garantir la continuité du maillage, les trous sont également déformés pen-dant le chargement, tout en étant remplis d’air. Afin d’affecter des propriétés élastiques à l’entité physique définissant les inclusions circulaires, nous choisissons d’appliquer aux paramètres (E, ν) des valeurs qui demeurent négligeables devant celles utilisées pour caractériser les éléments composant le milieu élastique environnant.

V_P= s ν E + E(1 − 2ν) ρ (1 + ν)(1 − 2ν) ^(2.20) V_S= s E 2ρ(1 + ν) ^(2.21)

2.3.2 Sélection du milieu numérique et vérification des hypothèses relatives au cadre