Typologie des modèles de connaissances des enseignants de mathématiques

Notre question se focalise sur l’activité de l'enseignant de mathématique, quelles connais-sances doit s’approprier un enseignant de mathématiques pour réussir dans la construction des connaissances de ses élèves pour un enseignement par les compétences ?, quand ces connais-sances deviennent-elles des savoirs ? Nous répondons à ces questions par une distinction entre «sa-voir» et «connaissance», et nous élargissons cette idée par un état de l’art sur la typologie des mo-dèles de connaissance, où nous portons notre regard sur le modèle de Shulman (1986), et sur sa ca-tégorisation des connaissances. Partant de ce modèle, nous relions le concept de schème et plus précisément le composant «invariant opératoire», (§ 3.3.3) à la catégorie de connaissance pédago-gique de la matière d’enseignement (PCK), pour analyser les connaissances de l’enseignant lors de la préparation de sa séance, en individuel ou en collectif, et durant l’action de mise en œuvre de sa res-source. Cette analyse s’effectue dans différents milieux, que nous présentons en se basant sur les travaux de Margolinas (2002).

L’approche par les compétences exige de l'enseignant de mathématiques à faire comprendre à ses élèves que son enseignement ne se limite pas à un corpus de connaissances mais bien évide-ment -par les situations problèmes- il place les mathématiques comme une science vivante qui nourrit et se nourrit des autres champs scientifiques (la physique, la géographie science de la vie etc..). Cet enseignement consiste donc à donner une intelligibilité des savoirs. Chaque professeur de mathéma-tiques est possesseur d’une certaine épistémologie du savoir qu’il doit enseigner et qui intervient dans la construction et la sélection de ces situations d’enseignement. Ces connaissances jugées utiles pour sa tâche didactique sont qualifiées pour l'enseignant comme savoir. Pour Brousseau (1998), une connaissance acquiert un statut de savoir, au cours du processus d’institutionnalisation. De ce point de vue, une connaissance est ce qui réalise l’équilibre entre le sujet et le milieu, ce que le sujet met en jeu quand il investit une situation. Ce que l'enseignant de mathématiques conçoit et présente comme connaissances dans des situations visant à acquérir une connaissance et des savoirs pour ses élèves. Ceci dépasse les connaissances institutionnalisées dans les curriculum, les manuels sco-laires, il s’agit d’un concept très large, il s’agit des connaissances dans l’action, des connaissances de l’interaction, des connaissances mémorisées, etc.

Quant au savoir, Douglas (2004) le classe comme construction sociale et culturelle, qui vit dans une institution. Si un savoir existe dans une institution, c’est qu’il a été rencontré comme une connais-sance en situation puis reconnu comme utile, formulé, formalisé, validé, mémorisé et qu’il a acquit un statut d’institutionnel : c’est le processus d’institutionnalisation, envisagé comme une transformation qui légitime tout savoir dans une institution.

Les recherches sur les connaissances de l'enseignant de mathématiques pour l'enseignement des mathématiques ont été initié par Shulman (1986). D’autres travaux de recherche issue de cette typologie, ont décrit d’autres modèles des connaissance de l'enseignant de mathématiques (Ball, Thames, & Phelps, 2008), (Tardif, & Lahaye, 1991) et (Cochran-Smith, & Lytle, 1999). La taxonomie de Shulman (1986) distingue sept types de savoirs en fonction de l’objet du savoir, la taxonomie de Tardif (1991) et ses collaborateurs, distingue quatre types de savoirs en fonction de l’objet du savoir et

des sources d’acquisitions, la taxonomie de Cochran-Smith & al., (1999), recense trois types de sa-voirs selon leur rapport à la pratique quant à la taxonomie de Ball & al., (2008), elle distingue six types de savoirs en fonction du sujet et du contenu. Nous nous limitons dans ce qui suit à l’analyse de la taxonomie de Ball, & al., (2008) et de Shulman (1986), (voir Tableau 2).

Le niveau de granularité des connaissance du modèle de Shulman (1986) analyse les connais-sances de l'enseignant plus explicitement en tenant compte de divers aspects institutionnels, culturels et sociaux. Son modèle classifie les connaissances en deux catégories (Becu-Robinault, 2007) : les connaissances en lien avec les contenus à enseigner, telle que les connaissances disciplinaires pour notre cas liées aux mathématiques, les connaissances pédagogiques liées au contenu disciplinaire pour l’enseignement ou l'apprentissage des mathématiques («Pedagogical Content Knowledge», notées PCK), enfin les connaissances sur les programmes ou les références institutionnelles. La deuxième catégorie des connaissances est indépendante des contenus disciplinaires, et spécifie, les connaissances pédagogiques générales, telle que la gestion de la classe, l’animation du groupe, les connaissances sur les élèves, les connaissances sur le contexte de l’établissement et de la classe et enfin les connaissance sur les buts et les valeurs de l’éducation (quels élèves formés en mathéma-tiques et pour quels (s) besoins de la société ?)

Shulman (1986) considère que les PCK sont les piliers des sept connaissances de son modèle. Ces connaissances concernent à la fois les conceptions des enseignants sur le contenu disciplinaire à enseigner et la compréhension des difficultés spécifique des élèves (Becu-Robinault, 2007) Nous nous focalisons sur cette catégorie de connaissance, d’un côté, pour analyser les connaissances de l’enseignant lors de la préparation de sa séance, soit en individuel ou lors de ses interactions dans le collectif. Nous vous intéressons à l’analyse des connaissances, pour la sélection, l’adaptation et la traduction des ressources de Sésamath et que nous relions à son action par le concept de schème et plus spécifiquement aux invariants opératoires (§ 3.3.3), nous considérons que les connaissances sur l’enseignement par les compétences font partie des PCK de l’enseignant.

Ball, & al., (2008) proposent une taxonomie des différentes connaissances mathématiques pour l'enseignement (CME) selon le sujet et le contenu. Les connaissances du sujet, englobent les naissances mathématiques communes, les connaissances de l'horizon mathématiques et les con-naissances mathématiques spécifiques, quant aux concon-naissances pédagogiques du contenu, elles ciblent les connaissances sur la manière possible d’enseigner, les connaissances des réactions des élèves sur le sujet enseigné et les connaissances des programmes et des moyens d’enseignement.

Taxonomie de Ball& al.,

(2008) ^{Taxonomie de Shulman} (1986) ^{Taxonomie de Tardif &} al., (1991) ^{Taxonomie Cochran &} al., (1999) Connaissance

mathématiques communes ^{Connaissance relatifs au} contenu scolaire.(SMK) ^Connaissance disciplinaire ^{Connaissances pour la} pratique Connaissance de l’horizon

mathématiques.(CHM) ^{Connaissance relatifs au} curriculum ^{Connaissance curiculaire Connaissance incorporés} dans la pratique Connaissances mathématiques spécifiques à l’enseignement. (CMS) Connaissances pédagogiques générales. (PK) Connaissances de formations professionnelles Connaissance de la pratique Connaissance des mathématiques possibles d’enseigner le sujet. (CC) Connaissances pédagogiques de la matière d’enseignement. (PCK) Connaissances d’expérience Connaissances des réactions des élèves sur le sujet. (CE)

Connaissances relatives à la connaissance des élèves Connaissances des

programmes et des moyens d’enseignement. (CP) Connaissances relatives aux fondements de l’éducation Connaissances relatives aux contextes institutionnels et aux cultures de la communauté

Le fait de savoir effectuer correctement une multiplication est une connaissance mathématique com-mune. Le fait de connaître le programme, les moyens d'enseignement, les difficultés des élèves sont des connaissances de type « didactique des mathématiques ». Les CMS comme leurs noms l’in-diquent sont des connaissances mathématiques dont ne disposent pas d’autres professionnels util-isant les mathématiques et qui requièrent généralement une explication tels que : pourquoi la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas parmi les nombres réels, quand il s’agit d’analyser une dé-monstration géométrique originale d’un élève et de décider de son affirmation ou infirmation.

Les deux sous ensembles de connaissances sujet et contenu, ne peuvent être indépendants, si les connaissances de l’horizon mathématique ciblent les connaissances mathématiques d’une manière plus large, et si les connaissances communes ciblent la manière possible d’enseigner le su-jet, nous déduisons que les CMS peuvent être leurs sous ensembles communs.

Bloch (2009) décrit les effets des connaissances mathématiques de l'enseignant sous divers degrés de pertinence selon son intervention en classe. Ces effets ont une incidence sur sa capacité à interagir avec les élèves, à encourager leurs activités par des interventions et des retours sur leurs productions, exemple lors des activités mathématiques de groupes. Ces effets ont aussi une inci-dence sur l’aptitude de l'enseignant à conduire la situation à son terme à réussir la phase institution-nalisation des savoirs visés, en aucun cas il doit se substituer à un meilleur élève de sa classe, il doit gérer la chronologie du débat sans le tuer par l’énoncé immédiat de la solution au problème ou du savoir visé. Ces critères permettent ainsi d’évaluer la pertinence des connaissances de l’enseignant de mathématiques en fonction de la manière dont elles conduisent à mettre en place une organisation didactique. En ce sens préparer et réussir son cours avec un ou des objectifs est étroitement lié aux connaissances mathématiques de l'enseignant de mathématique, au rapport qu’il entretient avec le savoir -relation didactique et au rapport qu’il entretient avec les élèves relation pédagogique.

La mise en œuvre des connaissances est aussi lié au milieu, c’est par cette mise à disposition de ces connaissances aux élèves que l'enseignant analyse leurs effets d’une part sur l’organisation didactique et d’autre part sur les interactions en classes (élèves-élèves ou élèves-enseignant). Mar-golinas (2002) a développé un modèle de structuration du milieu issu des travaux de Brousseau (1986) pour analyser les activités usuelles du professeur et leurs emboitements, nous présentons son modèle pour mettre en évidence les connaissances requises par l'enseignant de mathématiques face à chaque situation (voir Tableau 3).

Une lecture ascendante du tableau permet de mettre en relief la constitution des connaissances des élèves tandis que la lecture descendante privilégie le rôle de l'enseignant constructeur, projecteur et observateur. En situation, le professeur interagit avec un milieu et il apprend à partir de cette inter-action.

La situation S0 représente «la situation didactique» proprement dite, c’est le milieu d’apprentis-sage où l'enseignant est en interaction réelle avec les élèves.

P+3 (niveau noosphérien ou idéologique) : à ce niveau, l’activité du professeur porte sur sa ré-flexion de façon très générale à l'enseignement des mathématiques ;

M+3 : M- Construction P+3 : P-Noosphérien S+3 : Situation noosphérienne

M+2 : M-Projet P+2 : P-Constructeur S+2 : Situation de construction

M+1 : M-Didactique E+1 : E-Réflexif P+1 : P-Projecteur S+1 : Situation de projet M0 : M-Apprentissage E0 : Elève P0 : Professeur S0 : Situation didactique M-1 : M-Référence E-1 : E-Apprenant P-1 : P-Observateur S-1 : Situation d’apprentissage

M-2 : M-Objectif E-2 : E-Agissant S-2 : Situation de référence

M-3 : M-Matériel E-3 : E-Objectif S-3 : Situation objective

P+2 (niveau de construction) : à ce niveau l’activité du professeur est de concevoir les grandes lignes de l’enseignement de son thème. C’est la recherche de la situation fondamentale de son ensei-gnement;

P+1 (niveau de projet) : c’est le niveau clé dans le processus, l’activité de l'enseignant consiste à élaborer son plan de cours, ou le scénario de sa leçon.

P0 (niveau didactique) : c’est l’action du professeur en classe durant laquelle les élèves et le professeur interagissent ;

P-1 (niveau d’observation) : à ce niveau l’enseignant observe les activités des élèves.

Nous remarquons qu’à tous les niveaux le professeur est en activité et a une situation diffé-rente. Il apprend à partir de l’interaction «situation-milieu» qui est à la fois utilisatrice et contributrice de connaissances car il agit avec des connaissances qui sont renforcées ou modifiées par les infor-mations et rétroactions du milieu (Margolinas, 2002). Ce modèle, qui illustre l’activité du professeur, montre bien les connaissances requises par l'enseignant de mathématique, en fait les situations P+3, P+2 et P+1, ciblent bien des connaissances du contenu pédagogique pour leurs accomplissements, quant aux situations P0 et P-1, elles requirent de l'enseignant des connaissances du sujet.

Nous avons présenté deux modèles de structures de connaissances professionnelles relatives à l’enseignement des mathématiques, (Shulman, 1986) et (Ball, & al., 2008), nous optons pour le mo-dèle de Shulman (1986) pour analyser les connaissances professionnelles de l’enseignant de mathé-matiques où nous considérons le concept de PCK, comme outil clé pour comprendre leurs connais-sances. Nous nous référons au modèle de Margolinas (2002) pour analyser ces connaissances dans les différents milieux de l’enseignant, dans cette partie de connaissances professionnelles, nous pro-posons un autre type de connaissance relative à un enseignement par les compétences.

Le modèle de Shulman (1986) avec sa composante PCK, et le concept de schème de Ver-gnaud (1991) ainsi que le modèle de structuration du milieu de Margolinas (2002), sont des cadres théoriques sur lesquelles nous nous appuyons pour analyser l’activité de l’enseignant avec les res-sources, avant sa mise en œuvre et dans l’action, dans notre cas, développer le schème pour sélec-tionner, adapter, et traduire une ressource de Sésamath est ancré notamment sur ces observations. Nous présentons dans la section suivante, l’apport de ces connaissances sur le développement pro-fessionnel des enseignants en prenant comme modèle : le modèle de communauté de pratique.