Théorème de Ménabréa

Un des inconvénients majeurs de cette technique de superposition est la connaissance des problèmes isostatiques simples. Il existe, avec les théorème énergétiques, un moyen plus

Figure 3.4:Décomposition de l’exemple 1 en problèmes isostatiques de solution connue.

Figure 3.5:Décomposition de l’exemple 2 en problèmes isostatiques de solution connue.

rapide de déterminer une de ces informations sans connaître la solution des problèmes fictifs introduits. Dans le cas des appuis par exemple, le théorème de Ménabréa est commode à utiliser. Il s’agit simplement d’un cas particulier du théorème de Castigliano où le déplacement déduit de la minimisation de l’énergie déformation est nul car cette minimisation a lieu par rapport à des efforts de réaction dont le travail est nul dans le déplacement réel cinématique-ment admissible. Ces efforts de réaction étant considérés comme un chargecinématique-ment extérieur à

part entière.

L’énoncé du théorème de Ménabréa est le suivant : soit un système hyperstatique(S) et un système isostatique associé (S₀). Considérons le système isostatique (S₀) soumis aux charges données F_i et aux réactions hyperstatiques R_j. L’état d’équilibre des deux systèmes étant identique :

W(S) = W(S₀) = f(F_i, R_j) Aux points d’appui on a donc, d’après Castigliano :

∂W_S0(F_i, R_j))

∂R_j = 0

Ce qui nous fournit autant d’équations supplémentaires que d’inconnues hyperstatiques. Dans le cas de l’exemple 2 représenté sur la Figure3.3-(b), le système isostatique associé est obtenu en remplaçant l’appui terminal par un effort de réaction R_B pris positif, de façon similaire au principe de superposition schématisé sur la Figure 3.5. Mais ici les deux efforts F et R_B sont appliqués dans le même temps. L’énergie de déformation se calcule alors à partir des moments de flexion exprimés dans les deux zones de la poutre à partir de ces deux efforts :

— zone 1 : ₂^l < x≤l {τext→1}_(M)=

L’énergie de déformation peut être calculée, et la minimisation de cette énergie par rapport à l’effort de réaction nous fournit l’expression de cette réaction :

W_S0(F, R_B) = 1

ce qui, fort heureusement, correspond bien au résultat obtenu par le principe de superposition (Eq. 3.7).

Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques

Sommaire

4.1 Flambage des poutres droites . . . 79 4.1.1 Équations non-linéaires de la statique des poutres droites . . . 80 4.1.2 Application à une poutre droite . . . 85 4.1.3 Extension aux calculs numériques . . . 88 4.2 Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les

poutres droites . . . 89 4.2.1 Introduction. . . 89 4.2.2 Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen . 90 4.2.3 Vibrations libres - application à la flexion simple . . . 91 4.2.4 Vibrations libres - calculs numériques . . . 94 4.3 Extension : réponse post-bifurquée d’une poutre. . . 95 4.3.1 Poutre homogène . . . 96 4.3.2 Poutre sur fondation élastique à deux paramètres . . . 101

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4.1 Flambage des poutres droites

Introduction générale

En Résistance des Matériaux "classique", il n’existe pas de couplage entre les comporte-ments en tension, flexion ou encore torsion. Cette hypothèse, qui peut sembler très restrictive, permet de résoudre un très grand nombre de cas concrets de structures génériques supportant des charges de fonctionnement courantes. On peut, pourtant, dans certains cas vouloir dimen-sionner des structures contre des comportementsnon-linéaires d’une point de vuegéométrique.

Par exemple, une surcharge rencontrée ponctuellement (séisme, accident, ..) ne devra pas gé-nérer des distorsions géométriques susceptibles d’altérer la géométrie et donc les propriétés de la structure, de telle sorte que le fonctionnement normal sera assuré pour la durée de vie prévue. Ces distorsions peuvent par exemple être générées, pour des poutres, par une flèche trop importante qui engendrerait de la torsion appeléedéversement.

Pour illustrer ces phénomènes, nous nous concentrerons sur un type de non-linéarité géométrique, le flambage qui apparaît sous un chargement de compression axiale pour une poutre ou dans le plan pour une plaque. Lorsque ce chargement déstabilisant augmente et atteint une valeur dite critique, le comportement va alors devenir instable. Le phénomène de flambage va apparaître, caractérisé par le passage d’un état où règne principalement de la compression (terme de membrane), à une configuration où la flexion est prépondérante (courbure).

Il existe de nombreux exemples de comportements de type flambage, et l’étude de ces phénomènes instables donne lieu à de nombreuses études tant analytiques que numériques ou expérimentales. On peut noter que les études analytiques s’appuient sur des outils mathéma-tiques trés pointus qui permettent par exemple de prévoir le comportement post-bifurqué des structures simples, c’est-à-dire la (non)stabilité qui caractérise le comportement après l’appari-tion du flambage. À titre d’illustral’appari-tion, on peut voir sur la Figure4.1le mode (la déformée) de flambage d’origine thermique d’un rail soumis à un gradient de température élevé (-40^◦;40^◦C dans les pays nordiques) et le mode de flambage d’un cylindre en compression axiale. Ces 2 structures représentent 2 grands types de comportement qui sont respectivementsur-critiques, où la structure est encore susceptible de supporter le chargement imposé, et sous-critique où la ruine de la structure survient dès que l’instabilité se produit.

Le phénomène de flambage

Le cas typique de la règle que l’on comprime illustre parfaitement le phénomène de flambage (voir Figure 4.2 page 81 et Figure 4.3 page 83). Pour appréhender ce comporte-ment, traçons l’évolution de la flèche au centre de cette poutre en fonction du chargement (Figure 4.2). On constate que dans la première partie du chargement, en l’absence de défaut géométrique, avant le point de bifurcation le chargement augmente sans donner lieu à de la

(a) (b)

Figure 4.1:(a) Flambage d’origine thermique d’un rail,(b) flambage en compression axiale d’un cylindre isotrope

flexion. La poutre est en compression et subit un raccourcissement proportionnel au charge-ment (^∆l_l = ^−F_ES). Lorsque la charge imposée atteint la charge critique F_c, la flexion apparaît et la flèche tend vers l’infini sans accroissement de l’effort. En réalité, cette flèche est limitée car la réponse complète charge-déplacement est de type parabolique (Figure 4.2).

D’un point de vue pratique, la rupture de la poutre intervient lorsque la limite à rupture du matériau est dépassée. C’est donc la caractérisation de cet effort critique qui est primordiale, car l’apparition de l’instabilité est généralement associée à un état instable. Ceci est d’autant plus vrai dans les cas d’instabilités sous-critiques rencontrés dans les problèmes detype coque, où le point de bifurcation correspond à l’effondrement de la structure (cf boîte métallique de boisson, ou Figure 4.1-b). De plus on voit qu’en présence de défauts (Figure 4.2), la charge à laquelle apparaît l’instabilité diminue. Donc la réponse de la structure réelle sera majorée par cette force critiques. L’influence des défauts peut engendrer des baisses trés importantes, jusqu’à 70 - 80 % de la charge critique. Le dimensionnement des structures vis-à-vis du flambage est une problème extrêmement délicat, du fait de la nature instable de ce phénomène, ce qui en fait un des principaux facteurs de dimensionnement.