Déformations et contraintes généralisées

Connaissant le champ de déplacement, le tenseur des déformations se déduit sim-plement dans le cas des plaques. La loi de comportement permet ensuite d’en déduire les contraintes, puis les contraintes généralisées.

Déformations

Les déformations s’écrivent donc simplement, en petites déformations, comme la partie symétrique du gradient des déplacements. En petites déformations et dans notre cadre 2D , dans un repère cartésien le tenseur gradient des déplacements est :

∇(−→u) =

Compte-tenu de la forme de ce tenseur, on l’écrit généralement directement sous une forme 2D simplifiée. On peut, de plus, faire apparaître les tenseurs de déformations de membrane, notée(x_α), et decourbure, notéκ(x_α), mais en 2D :

ou encore sous forme indicielle, ces déformations s’écrivent :

Connaissant les déformations généralisées, il est très simple d’expliciter les contraintes via la loi de comportement du matériau constitutif, puis les contraintes généralisées. Ces contraintes généralisées résultent, par définition, de l’intégrale sur l’épaisseur de la plaque du torseur résultant du transport du vecteur contrainte (relativement à la normale courante) au centre de gravité du brin considéré. On définit, comme dans le cas des poutres 3D, les contraintes généralisées de membrane (Eq. 5.8a) et de courbure (Eq. 5.8b), qui ont respecti-vement la dimension de force par unité de longueur et de moment par unité de longueur :

Nαβ(x_α) =

On peut représenter ces contraintes généralisées sur une plaque, comme sur la Figure5.5 dans le cas d’une plaque rectangulaire, possédant donc deux normales −→x₁ et −→x₂. Les contraintes généralisées de membrane sont représentées aisément (Figure 5.5-a). Les moments de flexion M11 et M22 sont également représentés assez intuitivement, par contre le moment de torsion M12dû aux contraintes de cisaillements est plus délicat à représenter, il tend en fait à gauchir le plan de la plaque (Figure5.5-b).

Loi de comportement

Nous pouvons maintenant relier les contraintes aux déformations, puis les contraintes généralisées au torseur des déformations (Eq.5.7). Considérons pour cela un matériau consti-tutif isotrope élastique linéaire. La loi de comportement ’matériau’ s’écrit donc classiquement, en raideur ou en souplesse :



(a)

-(b)

Figure 5.5: Contraintes généralisées (a) de membrane et (b) de flexion sur une surface élé-mentaire de plaque.

On rappelle que les conditions de bords libres se traduisent parσi3 = 0 (Eq.5.2). Nous avons vérifié σα3 = 0 pour établir la cinématique des plaques minces. Par contre, il reste à vérifier σ₃₃ = 0. Cette condition conduit, via la loi de comportement écrite en souplesse, à une déformation normale transverse ε₃₃ non nulle, ce qui va à l’encontre de la cinématique établie qui donne une composante 33 nulle pour le tenseur de déformations (Eq. 5.6). En fait, cette déformation normale transverse à la plaque est induite par effet de Poisson, elle est donc proportionnelle aux déformations de membranes :ε₃₃(−→x) = −νε₂₂(−→x) =−νε₁₁(−→x). La déformation normale transverse est donc, pour les matériaux courants, de l’ordre de 30% des déformations dans le plan. Mais, compte-tenu de l’épaisseur de la plaque qui est au maximum

de ₁₀¹ de la taille caractéristique du plan, la variation de l’épaisseur de la plaque est donc très faible, en l’occurrence : ^{ν h}_R < ₁₀₀³ .

L’erreur commise en utilisant la cinématique négligeant cette déformation est donc très faible. On peut toutefois, sans problème, prendre en compte cette déformation. En se plaçant dans une hypothèse de contraintes planes valable pour des plaques fines, la condition de contrainte normale transverse nulle en surface de la plaque est vérifiée, et une relation entre la déformation normale transverse ε₃₃ et les déformations normales ε₁₁ et ε₂₂ dans le plan en découle :

σ₃₃ =λε₁₁+λε₂₂+ (λ+ 2µ)ε₃₃= 0 ⇒ε₃₃=− λ

λ+ 2µ(ε₁₁+ε₂₂) (5.9) La loi de comportement en contraintes planes s’exprime simplement :

ε₁₁ = 1

E (σ₁₁−νσ₂₂) ε₂₂ = 1

E (σ₂₂−νσ₁₁)

| {z }

↓

ε11+νε22 = 1−ν² E σ11

ε₂₂+νε₁₁ = 1−ν² E σ₂₂

(5.10)

ce qui se met classiquement sous la forme matricielle suivante : σ_αβ^2D = E

1−ν²

(1−ν)ε^2D_αβ +νε^2D_γγδαβ

(5.11)

La loi de comportement de la plaque s’exprime simplement, en introduisant la loi de comportement en contraintes planes (Eq.5.11) dans les expressions des contraintes générali-sées (Eqs.5.8a et 5.8b) :

N^αβ(x_α) = Z

x3

E 1−ν²

(1−ν)ε^2D_αβ +νε^2D_γγδ_αβ dx₃

Mαβ(x_α) = Z

x3

E x₃ 1−ν²

(1−ν)ε^2D_αβ +νε^2D_γγδ_αβ dx₃

Dans le cas le plus général, où le matériau constitutif peut varier à travers l’épaisseur de la plaque, comme dans le cas des matériaux composites stratifiés par exemple, on obtient comme dans le cas des poutres 3D (Eq. 1.16) une expression générale :

(

N^αβ(xα) M^αβ(x_α)

)

=

"

[A] [B] [B] [D]

#

·

( eαβ(xα) κ_αβ(x_α)

)

(5.13)

où les sous-matrices[A],[D]et[B]représentent respectivement les rigidités de membrane, de flexion, et le couplage entre les comportements de membrane et de flexion. Pour une plaque homogène possédant des propriétés mécaniques identiques dans toute son épaisseur, la sous-matrice [B] est nulle et les comportements de membrane et de courbure sont indépendants.

Les rigidités de membrane et flexion se réduisent à des scalaires : Nαβ(x_α) = E(xα)h

avecA(xα)la rigidité de membrane et D(xα)la rigidité de flexion qui peuvent le cas échéant dépendre de la position sur la plaque. Comme dans le cas des poutres, la rigidité de membrane dépend essentiellement de la surface latérale de la plaque, tandis que la rigidité de flexion dépend essentiellement de l’épaisseur de la plaque. On retrouve également des lois de com-portement de forme similaire à celles des poutres pour une section symétrique par exemple : N(x₁) = ESe₁(x₁) et M_{f α}(x₁) =EI_ακ_α (Eqs. 1.15).

Remarque : afin d’être consistant du point de vue de l’énergie issue des termes de cisaillement, il est nécessaire de préciser la mesure du cisaillement considérée ainsi que la façon d’exprimer la loi de comportement. Pour cela, comparons l’énergie de déformation en cisaillement caractérisant la plaque sous diverses formes. Partant de l’énergie de déformation en cisaillement

et par définition de l’énergie de déformation en cisaillement dans le cas des plaques : W_cis = 1 avec la loi de comportement en membrane de la plaque qui s’écrit, pour un matériau constitutif homogène isotrope élastique linéaire :

Nαβ(x_α) = E(x_α)h

1−ν²(xα)[(1−ν)e_αβ +ν e_γγδ_αβ] N12(x_α) = E h

1 +ν e₁₂(x_α) = 2G h e₁₂(x_α)

l’énergie de déformation en cisaillement s’écrit alors :

Par contre, le stockage sous la forme de Voigt (passage d’un tenseur d’ordre 2 symé-trique à un vecteur à 6 composantes) est tel que la contribution de l’effort de cisaillement apparaît une seule fois :



et dans ce cas la déformation considérée sera, en général, celle au sens de l’ingénieur e₁₂ = 2₁₂ (et la courbure double κ₁₂ 2κ₁₂) afin de ne pas modifier la structure de la loi de comportement ’matériau’, et obtenir une énergie de cisaillement cohérente avec l’expression (5.15) issue de l’expression générale :

W_cis= 1

Pour établir ces équations d’équilibre, nous allons recourir au PPV. Établissons tout d’abord la puissance virtuelle des efforts intérieurs (défini en 1.20 page 23) en choisissant un champ virtuel de la forme de la cinématique de Love-Kirchhoff :

P_int^∗ (−→ En introduisant les tenseurs des contraintes généralisées de membrane (N(x_α) défini dans l’Eq. 5.8a) et de flexion (ou moments fléchissants M(x_α) définis dans l’Eq. 5.8b) dans cette expression de la puissance virtuelle des efforts intérieurs, on aboutit à

P_int^∗ (−→