Calcul des efforts internes - Équations d’équilibre

Dans le cas général, la résolution du problème passe par la détermination des efforts internes. La méthode la plus rigoureuse pour déterminer ces efforts est similaire à la résolution d’un problème de MMC : intégration des équations d’équilibre en veillant à avoir autant de conditions aux limites que nécessaire. Pour des problèmes simples, tels que ceux introduits dans le chapitre suivant consacré à la théorie des poutres à plan moyen, ces équations peuvent se dériver de l’équilibre de tronçons de poutres de longueur élémentaire. Pour une approche générale, un des moyens les plus systématiques pour parvenir à exprimer ces équations d’équi-libre et les conditions aux limites correspondantes consiste à utiliser le Principe des puissances virtuelles ou PPV.

On rappelle que le PPV (Eq. 1.17) exprime l’équilibre, c’est à dire l’égalité entre la puissance virtuelle développée par les efforts intérieursP_int^∗ (−→

u^∗)et la puissance virtuelle déve-loppée par les efforts extérieurs P_ext^∗ (−→

u^∗) dans un champ de déplacement virtuel quelconque

−

→u^∗. Ainsi, il y équivalence entre le PPV et l’expression des équations d’équilibre et des condi-tions aux limites statiques associées. Les condicondi-tions aux limites cinématiques sont quant à elles incluses dans le PPV si le champs virtuel est CA. Dans notre cas, on définit un champ de déplacements virtuel −→u^∗_M, qui se traduit par un torseur de déplacement virtuel {U^∗(x1)}

d’éléments de réduction−→u^∗(x₁) un déplacement virtuel, et −→r^∗(x₁) une rotation virtuelle sur la fibre moyenneL. Ce déplacement virtuel produit un champ de déformations virtuel^∗

M dans chaque section S (Figure 1.11).

Figure 1.11:Segment d’une poutre où l’on applique le principe des travaux virtuels : passage du solide 3D à la description de type poutre.

On étudie ici les efforts internes à la poutre, c’est-à-dire les efforts de cohésion dans un tronçon de poutre libre de tout chargement extérieur. On verra plus tard, que chaque effort ou déplacement imposé nécessite de découper notre poutre en autant de tronçons libres de sollicitations extérieures. On note −→

t ^d_M le vecteur contrainte qui règne sur les sections termi-nales, et qui représente l’action des tronçons voisins sur le tronçon isolé. Toutefois, ce vecteur contrainte peut tout aussi bien être imposé par l’extérieur si l’une des surfaces extrémités S₁ et S₂ est une surface terminale de la poutre. Pour ce tronçon de poutre, comme seules ces surfaces extrémités S₁ et S₂ sont soumises à un chargement extérieur, l’intégration du travail virtuel des efforts extérieurs sur la frontière du volume V se traduit par une intégrale sur la surfaceS aux points extrémités du segment de Lconsidéré. On remarque que sur S₁ (Figure 1.11), la normale sortante à la section est forcément opposée au sens de parcours de la fibre moyenne (vecteur−−→x₁). Cela donne l’expression suivante du principe des travaux virtuels :

−

Contribution des efforts extérieurs Dans cette équation 1.17, −→

t ^d_M est le vecteur contrainte appliqué sur la section S considérée (avec une normale sortante). Les deux derniers termes de la puissance virtuelle des efforts extérieurs peuvent donc être calculés assez simplement en remplaçant le champ virtuel

−

→u^∗_M par la cinématique issue de l’hypothèse de Navier (torseur des déplacements virtuels {U^∗(x₁)}). On obtient pour une sectionS_tquelconque (soit S₁, soitS₂), au signe négatif prés

De même, l’intégrale sur V des forces de volume−→

f_v devient : linéiques, représentent respectivement :

— une force par unité de longueur répartie sur la fibre moyenne (pour−→p),

— un couple par unité de longueur réparti sur la fibre moyenne (pour −→c).

Remarque : En toute rigueur, des forces réparties peuvent s’appliquer sur les faces de la poutre (cf Figure 1.11). La contribution de ces efforts peut être calculée de la même façon

que pour les forces de volume ci-dessus :

Toutefois, la présence de ces efforts est extrêmement rare compte tenu des hypothèses qui conduisent à considérer une structure comme une poutre. Nous négligerons les contributions correspondantes dans la suite des calculs qui viendraient simplement s’ajouter aux efforts extérieurs répartis −→p et −→c définis ci-dessus.

Contribution des efforts intérieurs

En utilisant la même méthode que pour l’équation 1.12 (calcul de l’énergie de défor-mation), puis la définition du torseur des déplacements, puis enfin une intégration par parties, le premier terme de l’expression à annuler dans le principe des travaux virtuels s’écrit de la façon suivante :

↓Théorème de la divergence Z

On montre en effet que l’expression de la dérivée d’un torseur, et notamment du torseur des efforts internes, s’écrit au centre de gravité de la sectionG (Eq. 7.3 page 191) :

d

Équations d’équilibre d’un tronçon de poutre

En utilisant l’ensemble de ces résultats (Eq1.20= Eq1.18+Eq1.19+Eq??), le principe des travaux virtuels s’écrit simplement de la façon suivante (Eqs1.21) sur tout segment de la fibre moyenne ne contenant pas d’effort ponctuel :

∀(l1, l2)∈L, ∀(−→u^∗,−→r^∗)

ou en écriture torsorielle :

∀(l₁, l₂)∈L, ∀ {U^∗},

Cette équation doit être vérifiée sur tout segment, et pour tout champ de déplacement virtuel, i.e. pour tout torseur {U^∗}. Sachant que l’intégrale ne peut être nulle que si la quantité intégrée est nulle si elle est continue (voir Annexes- Chapitre 7, §7.2.2 page 194), on choisit le champ virtuel nul au bord et non-nul à l’intérieur de la poutre. De l’équation (1.21a) on déduit les équations d’équilibre des milieux curvilignes (Eq. 4.14), à comparer à l’équilibre des milieux continus (−→

divσ(−→x) +−→

f (−→x) = −→

0). C’est à partir de ces équations que tout problème de poutre peut être résolu de manière rigoureuse :

Équations d’équilibre intérieur des poutres d

Les équations d’équilibre sont deux équations vectorielles. Elles conduisent à six équa-tions différentielles scalaires qui traduisent l’équilibre mécanique du milieu unidimensionnel.

Les forces volumiques sont représentées par les vecteurs −→p (forces réparties sur le segment) et−→c (couples répartis sur le segment). L’intégration de ces équations différentielles nécessite six conditions aux limites. Ces conditions sont obtenues aux points d’abscisse l₁ et l₂, extré-mités du segment considéré, à partir de l’expression des termes de bord du PPV (Eq. 1.21b) en choisissant un champ de déplacement virtuel nul à l’intérieur de la poutre et non-nul aux bords. Ces équations (Eq. 1.23) traduisent simplement le fait que les efforts internes doivent être égaux aux efforts imposés aux même endroits (σ(−x→_F)· −→n =−→

t ^d(−x→_F) en MMC) : {τ}_(l

i) = F^d _(l

i) (1.23)

En complément de ces conditions aux limites, si un torseur d’efforts {Fⁱ}_(G

i), d’éléments de réduction Rⁱ(G_i) et Mⁱ(G_i), est imposé sur la section S_i du tronçon considéré (Figure 1.12), une équation des discontinuités apparaît. Cette équation peut s’exprimer à l’aide du PPV, modifié par la contribution de ces efforts : [| {τ} |]_(x

i) le saut des efforts internes dans la puissance virtuelle des efforts internes, et {Fⁱ}_(x

i) dans la puissance virtuelle des efforts imposés. On n’a plus alors simplement égalité entre les efforts internes et les efforts imposés, mais ces efforts viennent se superposer aux efforts extérieurs. Cette superposition donne lieu à un saut des efforts intérieurs qui peut s’exprimer en considérant 2 sections infiniment proches.

Ce saut s’écrit, en prenant en compte le sens de parcours de la poutre :[| {τ} |]_(x

i)=

τ(x⁺_i ) − τ(x⁻_i ) . Finalement cette équation de discontinuité s’écrit :

[| {τ} |]_(x

i) =

τ(x⁺_i ) −

τ(x⁻_i ) =− Fⁱ

(xi) (1.24)

Figure 1.12:Torseur d’efforts extérieurs appliqué sur une section Si du tronçon étudié.

On notera que les équations d’équilibre au bord de la poutre (Eq. 1.23) se déduisent de cette condition (Eq. 1.24) en écrivant que

τ(l⁻₁) et

τ(l⁺₂) sont nuls, soit

τ(l⁺₁) =

− {F¹}_(x

1) et

τ(l₂⁻) ={F²}_(x

2).

Identification des efforts internes par transport des efforts extérieurs

Les efforts internes peuvent être identifiés rapidement, en recourant à l’équilibre ex-térieur de la poutre. En effet, chaque tronçon de la poutre isolé doit être en équilibre sous l’action, d’une part des efforts de cohésion, et d’autre part des efforts extérieurs imposés (Fi-gure4.21). Il suffit donc de procéder par la pensée à des coupes successives le long de l’abscisse curviligne, et de vérifier l’équilibre de ces tronçons pour identifier les efforts internes en tout point de l’abscisse.

Figure 1.13: Identification des efforts internes qui règnent dans une section située en A par transport des efforts extérieurs à cet abscisse.

Considérons un tronçon de poutre en équilibre sous l’action d’un torseur d’actions terminales en li dont les éléments de réduction sont définis en ce point :

F^d(li) _(l

i) (Figure 4.21). Effectuons une coupure imaginaire de ce tronçon en un pointA de l’abscisse curviligne.

La section située en A est donc en équilibre sous l’action d’une part des actions extérieures terminales s’exerçant enl_i, et d’autre part sous l’action des efforts de cohésion qui règnent en A({τ}_(A)) et qui représentent l’action de la section voisine située enx₁ =A⁻ (par définition des effort internes, efforts de la section de GAUCHE sur la section de DROITE). Rappelons que la normale sortante est dans ce cas −−→x₁. Finalement, l’équilibre s’écrit simplement, en prenant soin de transporter en A le torseur des actions extérieures :

− {τ}_(A)+

F^d _(A) = 0

⇒ {τ}_(A)=

F^d _(A)

(1.25)

Les efforts intérieurs sont rapidement identifiés par transport des efforts extérieurs s’exerçant sur le tronçon isolé. Cette identification permet de traiter rapidement les problèmes simples, mais rappelons que la vérification de l’équilibre extérieur est un préalable incontournable pour cette identification. Cet équilibre peut poser des problèmes, notamment dans le cas des pro-blèmes hyperstatiques pour lesquels une surabondance d’inconnues statiques ne peut être levée

sans recourir à des méthodes complémentaires telles que celles présentées dans le chapitre 3 de ce document.