Flexion simple

Les équations d’équilibre ont été présentées ci-dessus, il reste à expliciter les contraintes engendrées par la flexion des poutres. En se rappelant que la cinématique s’exprime par rapport aux grandeurs mesurées au centre de la section, on en déduit que la répartition de la contrainte normale à travers l’épaisseur est linéaire.

Flexion 1 : Flexion simple d’une poutre console

Considérons la poutre représentée sur la Figure 2.6 sollicitée par une force ponctuelle (vecteur−→

F_y(l)) en son extrémité B (x=l). On notera E le module d’Young du matériau, G son module de cisaillement,S la section de la poutre etI son moment d’inertie par rapport à l’axe Oz.

Figure 2.6:Flexion simple d’une poutre à plan moyen

1. Résolution complète

— Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités ciné-matiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites).

— Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d’équilibre.

— Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants.

2. Résolution par transport des efforts extérieurs

— Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre.

— En déduire le torseur des déformations.

— Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x, en utilisant la méthode de la double intégration, et donner leur profil.

3. Influence du cisaillement

— Montrer que la contribution de l’effort tranchant peut être négligée dans les ex-pressions des déplacements obtenues ci-dessus (^v_v^{f lex}

cis ), dans le cas des matériaux isotropes. On notera r le degrés d’anisotropie (r= ^E_G).

— Évaluer la limite d’utilisation de la théorie de Timoshenko, pour ce problème.

On notera que le degrés d’anisotropie peut atteindre une valeur limite supé-rieure à 35 pour des matériaux composites isotropes transverses de type car-bone/époxyde.

4. Choix d’une section en fonction de sa rigidité de flexion

— Évaluer et comparer les moments quadratiques des sections (a) et (b) présentées sur la Figure 2.7.

— Comparer les moments quadratiques et les masses des sections en I et sandwich par rapport à la section pleine en fonction dek. On considérera de l’acier, et de la mousse PUR pour l’âme du sandwich, avec un rapport de rigidité ^E_E^a

p = 5·10⁻².

Figure 2.7:Profils de section considérés : (a) section rectangulaire pleine, (b) section en I, et (c) matériau sandwich.

Remarques sur la rigidité en flexion des sections de type profilé et sandwich On noteI_hom le moment d’inertie de la section homogène (Figure 2.7-a) :

I_hom/G = Pour la poutre en I (Figure2.7-b), le moment quadratique est calculé en 2 parties. Il faut tout d’abord évaluer la contribution de la partie centrale (l’âme dans les sandwichs), puis celle des deux peaux. Pour l’âme, le calcul est similaire à celui de la poutre homogène (Eq. 2.2), avec une largeurkb pour la section en I etb pour le sandwich. Pour les deux peaux (les voiles dans la section en I), on utilise soit une intégrale de bornes ayant pour origine le centre de section, soit le théorème d’Huyghens qui permet de rapporter le calcul du moment d’inertie par rapport à la ligne moyenne d’une peau à la ligne moyenne de la poutre sandwich (Eq. 2.3). Ainsi, un terme supplémentaire apparaît dans le calcul du moment d’inertie des peaux (des voiles). Il est constitué du produit de l’aire de la section transverse des peaux par le carré de la distance entre la ligne moyenne d’une peau et celle du sandwich. La rigidité équivalente de flexion de la poutre sandwich< EI >_sand est proche de celle de la section en I, calculée en deux parties, mais ici le matériaux constitutif n’est pas le même dans toute la section de la poutre (Eq.

2.4).

Les matériaux sandwich généralement rencontrés dans les applications industrielles possèdent les caractéristiques suivantes (Eq. 2.5) (h_p est l’épaisseur des peaux et h_a est l’épaisseur de l’âme).

Ainsi, en considérant ces ordres de grandeurs pour les rapports des épaisseurs et des modules, on montre que le troisième terme de la relation (2.4) est prépondérant devant les deux autres. En effet, si on note respectivement< EI >ⁱ_s(i= 1..3) les trois termes composant la rigidité équivalente de flexion de la poutre sandwich (Eq.2.4), les rapports suivants peuvent être établis :

< EI >¹_s

< EI >³_s ' E_ah_a 6E_ph_p < 1

6

< EI >²_s

< EI >³_s ' kh² 3h²_a < 1

300

La rigidité de flexion propre des peaux rapportée à la ligne moyenne du sandwich consti-tue donc le terme prépondérant de l’expression de la rigidité globale de flexion (< EI >_sand).

C’est donc l’assemblage des deux constituants qui confère à l’ensemble une rigidité équivalente conséquente en flexion, c’est l’effet sandwich. Pour illustrer cet effet, on calcul la rigidité du sandwich formé par des peaux d’épaisseurh_p séparées par une âme d’une épaisseurh_a. On vé-rifie aisément que la rigidité du sandwich est beaucoup plus élevée que la rigidité de la section constituée des mêmes peaux seules, formant un matériau massif d’épaisseur2h_p (Figure 2.8), et ceci pour une masse sensiblement identique. La rigidité de membrane est, quant à elle, très peu modifiée. On voit ici tout l’intérêt de l’utilisation de ce type de section, notamment dans le secteur des transports où l’allégement est un souci constant.

Figure 2.8:Effet sandwich : rigidité et masse du sandwich d’épaisseur h_a+ 2h_p rapporté à la section d’épaisseur2h_p (E_peau = 10³E_ame et ρ_ame = 0,09ρ_peau).

Plus généralement, on peut "gagner de la matière" en utilisant ce type de section, ou de manière équivalente des profils creux, en utilisant les matériaux les plus rigides le plus

loin du centre de flexion de la section. L’intérêt de ces sections peut être mis en évidence en représentant la rigidité de flexion et la masse de la section en I (Figure 2.9-a) et de la section sandwich (Figure 2.9-b), rapportées à la rigidité de flexion et la masse de la section de même dimension mais homogène. Sur la Figure 2.9 (k est le rapport des épaisseurs de peaux par rapport à l’épaisseur totale dans les sections en I (Figure 2.7-b) et sandwich (Figure 2.7-c)) on peut voir que pour un gain de masse appréciable, on obtient des rigidités très proches de celles de la section homogène.

(a)

(b)

Figure 2.9:Rigidités et masse des sections (a) en I, et (b) matériau sandwich (E_peau = 10³E_ame et ρ_ame= 0,09ρ_peau) .

Flexion 2 : Flexion trois points

La Figure 2.10 représente une poutre à plan moyen sollicitée en flexion trois points dans son plan par une force −→

F_y. Par symétrie, nous allons utiliser le segment 0 ≤ x ≤ l/2 pour traiter le problème, en posant des conditions de symétrie en x = l/2. Du fait de cette symétrie, la sollicitation ponctuelle −→

F_y est diminuée de moitié. Une théorie avec cisaillement sera utilisée pour résoudre ce problème.

Figure 2.10:Flexion trois points d’une poutre à plan moyen.

1. Résolution complète

— Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités ciné-matiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites).

— Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d’équilibre. Don-ner la flèche et la rotation maximale ainsi que les abscisses de ces maxima.

— Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants.

2. Résolution par transport des efforts extérieurs

— Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre.

Attention aux réactions aux appuis ! ! !

— En déduire le torseur des déformations.

— Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout pointx, et tracer leur profil.

3. Influence du cisaillement

— Montrer que la contribution de l’effort tranchant peut être négligée dans les ex-pressions des déplacements obtenues ci-dessus (^v_v^{f lex}

cis ), dans le cas des matériaux isotropes. On notera r le degrés d’anisotropie (r= ^E_G).

— Évaluer la limite d’utilisation de la théorie de Timoshenko, pour ce problème.

On notera que le degrés d’anisotropie peut atteindre une valeur limite supé-rieure à 35 pour des matériaux composites isotropes transverses de type car-bone/époxyde.

On a vu que le cisaillement peut être négligé dans le cas des matériaux courants (r '2,6), mais doit être pris en compte dans le cas des matériaux dont le rapport d’orthotropie

est élevé. C’est le cas des matériaux composites par exemple, où le cisaillement n’est plus une fonction du module d’Young et du coefficient de Poisson, et pour lesquels le rapport peut atteindre des valeurs élevées, de l’ordre de35. Il faut également préciser que plus la poutre est élancée, plus le cisaillement est négligeable. On utilise d’ailleurs un essai dit Short Beam Shear Test pour déterminer la résistance en cisaillement interlaminaire dans les poutres composites.

Il s’agit d’un essai de flexion 3 points, tel que celui présenté ci-dessus sur la Figure (2.10), mais dont les appuis sont si rapprochés (l= 5h) que le cisaillement contrôle en grande partie la réponse de la poutre.Dans la suite des applications, le cisaillement sera négligé afin d’alléger les développements analytiques.

La flexion 3 points est un essai couramment utilisé dans l’industrie pour caractériser les matériaux. Pourtant, cet essai, s’il a l’avantage d’être simple à mettre en œuvre, pose de nombreux problèmes pour des mesures de résistance. En effet, le profil des efforts tranchants et des moments fléchissants montre clairement que ces 2 grandeurs sont maximales au centre de la poutre. De plus, sous l’appui central, la poutre subit un écrasement transverse (_yy). La concomitance de ces valeurs extrêmes au centre de la poutre conduit systématiquement à une rupture sous l’appui central, rendant difficile l’identification du mode de rupture et l’état de contraintes à l’intérieur de la poutre au moment de la rupture. Un moyen simple de pallier à cette rupture ’incontrôlée’ est de mettre en œuvre un essai de flexion 4 points (Figure 2.11), traité ci-dessous.

Flexion 3 : Flexion quatre points

Nous allons étudier la flexion quatre points d’une poutre à plan moyen. Les caractéris-tiques mécaniques et géométriques de la poutre étudiée sont idencaractéris-tiques à celles utilisées dans les exemples précédents (voir Figure 2.11). Dans ce problème, une théorie sans cisaillement sera considérée. Il faut noter qu’il est possible d’étudier avec cette théorie l’évolution de la contrainte de cisaillement le long de la poutre. En effet, l’effort tranchant existe, et il va en-gendrer des contraintes de cisaillement, mais qui ici ne vont pas influer sur la rotation des sections et donc la flèche. Simplement, aucune loi de comportement ne permet de dériver la déformation de cisaillement à partir de l’effort tranchant.

1. Résolution complète

— Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités ciné-matiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites).

— Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d’équilibre.

— Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants.

— Tracer la déformée.

— Comparer ces répartitions avec celles de l’essai de flexion 3 points.

2. Résolution par transport des efforts extérieurs

— Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre.

— En déduire le torseur des déformations.

Figure 2.11: Flexion 4 points d’une poutre à plan moyen.

— Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x.

La flèche solution de ce problème s’écrit :

0< x≤a a < x≤ ₂^l v₁(x) = F_y x

2EI x²

3 −a(l−a)

v₂(x) = F_y a 2EI

x²−lx+ a² 3

Flexion 4 : Poutre d’égale résistance Les poutres en flexion sont très répandues dans les applications technologiques courantes. On peut souhaiter avoir des poutres dites d’égale résistance, c’est-à-dire que l’état de contrainte soit le même partout dans la poutre. Ceci assure une homogénéité dans toute la poutre, et donne l’assurance qu’en tout point de la poutre la résistance du matériau constitutif ne sera pas dépassée si le dimensionnement est effectué correctement.

Nous allons appliquer ce principe à la poutre console vue précédemment (Figure 2.6) qui est chargée dans un premier temps par un effort ponctuel terminal comme dans l’exercice Flexion 1 , puis dans une autre configuration avec cette fois-ci un effort réparti vertical d’in-tensité p_y constante (Figure 2.12). La section de cette poutre est rectangulaire, de largeur b et de hauteur h.

1. Résolution du problème posé sur la Figure 2.12

— Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités ciné-matiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites).

— Exprimer les déplacements en tout point x.

— Tracer le diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants.

2. Expliciter, pour les 2 cas de chargements, la contrainte normale maximale, en fonc-tion du moment de flexion maximum et des dimensions de la secfonc-tion qui peuvent dépendre de x.

3. Donner le profil de la poutre si la largeurb est fixe (variation de la hauteurh(x)).

4. Donner le profil de la poutre si la hauteurh est fixe (variation de la largeur b(x)).

Figure 2.12: Poutre console soumise à une charge répartie p_y constante.