Flexion déviée

La flexion déviée se produit lorsque les moments produits de la section ne sont pas nuls.

Ce peut être le cas par exemple lorsque les directions principales d’inertie de la section ne sont pas confondues avec les axes du repère de référence, ou bien pour les sections ne possédant pas de plans de symétrie. On retrouve alors le résultat énoncé précédemment (Eq. 1.15), où le moment fléchissant M_fz est dû pour une part à la flexion selon−→z, mais également à de la flexion selon −→y. Ce qui donne dans une théorie sans cisaillement :

M_fz(x) =EI_Gzv⁰⁰(x)−EI_Gyzw⁰⁰(x)

où I_Gy, I_Gz et I_Gyz sont respectivement le moment quadratique de la section par rapport à l’axe−→y, par rapport à l’axe−→z , et le moment produit.w⁰⁰ est la courbure due à la flèche selon

−

→z . Dans ce cas la contrainte normale se calcule en prenant en compte les grandeurs suivant les 2 axes concernés.

L’expression de la contrainte normale s’établit à partir des lois de comportement en flexion (M_fz =f(v⁰⁰, w⁰⁰)et M_fy =f(v⁰⁰, w⁰⁰)), en explicitant les courbures et en les introdui-sant dans l’expression de la contrainte normale, telle qu’exprimée par exemple dans l’équation 1.26 page 28. Au final, l’expression complète de la composante de flexion de la contrainte normale s’écrit :

σ_xx^f (x) =−M_fz(x)yI_Gy−zI_Gyz

I_GyI_Gz−I_Gyz² +M_fy(x)zI_Gz−yI_Gyz

I_GyI_Gz−I_Gyz² (2.6) Poutre à section quelconque

Considérons une section quelconque mais constituée d’un matériau homogène. On comprend bien que les directions principales dites d’inertie¹ de cette section ne seront pas

1. En fait ces propriété dites - abusivement - d’inertie ne sont pas liées directement au comportement dynamique, mais par extension représentent les propriétés géométriques et matériaux de la section qualifiant son comportement mécanique en termes de rigidité

directement confondues avec les axes du repère global (Figure 2.13-a). Pour le montrer plus rigoureusement, déterminons dans un premier temps les coordonnées du centre de gravité de cette section. Ensuite, les directions principales d’inertie seront déterminées en diagonalisant le tenseur d’inertie de cette section, dans le plan(G,−→y ,−→z).

Figure 2.13: Description géométrique de la section : (a) centre de gravité et directions princi-pales d’inertie pour une section quelconque, et (b) section en L.

Dans le plan (O,−→y ,−→z), les coordonnées du centre de gravité se calculent par la définition même de ce point particulier de la section, qui est tel que :

centre de gravité en 3D centre d’une section homogène en 2D

−→

Le terme au numérateur est appelé le moment statique de la section par rapport à l’origine du repère O, on le noteraJ_Oz et J_Oy ci-dessous. Ce moment est évidemment nul lorsqu’on le calcule par rapport au centre de gravitéG.

Remarque :Dans le cas de sections constituées de matériaux hétérogènes, les raison-nements présentés ici doivent inclure la répartition des propriétés ; notamment dans le calcul des intégrales ci-dessus pour définir un centre de section, et dans les intégrales définissant les rigidités. Comme cela a été illustré dans l’exercice de flexion avec section sandwich - Flexion 1 Poutre console, question 4 page41, où la rigidité de résultante inclut à la fois les propriétés géométriques et les propriétés mécaniques,i.e.I_Gz < EI_z >_sand/G=Rb/2

−b/2

Rh/2

−h/2E(y)y²ds.

Lorsque les coordonnées du point G sont déterminées, les moments quadratiques et produit peuvent être calculés par rapport à ce point, et relativement aux axes du repère global, dans le repère centré enGpar exemple (RG = (G,−→y ,−→z )). D’après les relations page 6 rappelées ci-dessous, on obtient le tenseur d’inertie de la section (en 2D) par rapport au

centre de gravité, appelé alors tenseur central d’inertie :

Ces moments peuvent également se calculer par rapport à un système d’axes orthogo-naux centré enG, formant un angleαpar rapport à l’axe−→z par exemple -α =−→\z G−→

z⁰ - tel que représenté sur la Figure2.13. En introduisant le changement de base (G,−→y , z) (G,−→

y⁰, z⁰) avec le tenseurP

(RG→R⁰_G) de changement de base (orthogonal si les bases sont orthonormées directes) tel que −→

et en notant que le tenseur d’inertie est d’ordre 2, ce changement de base s’écrit : I(G, S)

ce qui conduit finalement aux expressions des moments par rapport à ce nouveau système d’axe :

Remarque : Les moments produits sont stockés sous la forme −I_Gyz = −R R

S(x)yzds, il faut être très attentif au signe, selon qu’on écrit la forme tensorielle ou non. Ici on a exprimé le terme hors-diagonal de la forme tensorielle, soit−I_Gy⁰_z⁰ pour être cohérent.

On en déduit encore, que inversement, l’angle α entre le repère R_G et le repère prin-cipal d’inertie R⁰_G, tel que le moment produit est nul, s’exprime en fonction des moments caractéristiques de la section

tan 2α= 2I_Gyz I_Gy−I_Gz

Plus généralement, déterminer les axes principaux de la section, pour lesquels le moment pro-duit est nul, se fait par diagonalisation du tenseur d’inertie. Il s’agit de déterminer les vecteurs propres −→x_i associés aux valeurs propres I_i de ce tenseur. Ces valeurs propres représentent la projection du tenseur sur les directions propres associées, soit I(G, S)

(RG)· −→xi = Ii· −→xi. Ou encore, pour que la solution triviale ne soit pas solution :

det

d’où on déduit les valeurs prises par les moments d’inertie principaux, solution de l’équation du second degré enI

I_(max,min) = I_Gy+I_Gz

2 ±

s

I_Gz−I_Gy 2

2

+I_Gyz²

Sans entrer dans les détails, ces valeurs propres sont réelles et distinctes, et les vecteurs propres correspondants sont donnés par

−

→z₁⁰ = I_Gy−I_Gz−q

(I_Gy −I_Gz)²+ 4I_Gyz²

−2IGyz

!

(G,−→y ,−→z)

−

→z₂⁰ = I_Gy−I_Gz+ q

(I_Gy−I_Gz)²+ 4I_Gyz²

−2I_Gyz

!

(G,−→y ,−→z)

Illustration sur la cas de la poutre console - TP

Pour illustrer ces calculs de propriétés géométriques de sections, et pour étudier la flexion déviée, considérons une section en L telle que présentée sur la Figure2.13, de hauteur h, de largeurb, et d’épaisseur de voile e, constituée d’un matériaux homogène de type PVC :

— Dimensions : e=3,5 mm, h=3 cm et b=2 cm; longueur `= 70 cm

— Propriétés mécaniques : module d’Young 0,35 GP a < E < 2,5GP a. Ici E = 1GP a

1. Pour ce cas de la cornière en L (Figure2.13), nous allons procéder comme indiqué ci-dessus dans le cas général. On pourra raisonner en termes de 3 surfaces composant cette cornière, telles que présentées sur la Figure 2.13 : 2 rectangles composant les ailes - (S₁)/(z, y)∈[0, h]×[0, e] et (S₂)/(z, y)∈[0, b]×[0, h]) - auxquels on retranchera le carré (S₃)/(z, y)∈[0, e]×[0, e]:

(a) Calculer la position du centre de gravité. Pour cela déterminer d’abord la surface S puis les moments statiques J_Oz et J_Oy de la section

Réponses

y_G= J_Oz^S1 +J_Oz^S2 −J_Oz^S3 S₁+S₂−S₃ =

e

2(h²+be−e²)

e(h+b−e) z_G =

e

2(he+b²−e²) e(h+b−e) A.N.

S = 162,75mm² y_G = 10,3mm z_G = 5,3mm (b) Déterminer les moments quadratiques par rapport à l’origine du repère I_Oz,

I_Oy, et I_Oyz puis par rapport au centre de gravité I_Gz, I_Gy et I_Gyz - utiliser le théorème de Huygens par exemple. On rappelle (Eq. 7.32), à toutes fins utiles, que ce théorème permet d’exprimer le tenseur d’inertie d’un solide par rapport

à n’importe quel axe en connaissant le tenseur d’inertie exprimé en son centre de gravité calculé par rapport à un axe colinéaire. Pour la section de poutre étudiée ici, la relation inverse donne donc :

I_G (c) Calculer les directions principales et valeurs des moments principaux pour

ex-primer le tenseur central d’inertie.

RéponsesA.N. On associe la plus petite valeur propreI_min au premier vecteur propre −→

z₁⁰ et la plus grande valeur propreI_max au second vecteur propre −→ z₂⁰ :

2. Afin de comparer ces prévisions avec le comportement réel de la poutre, réaliser les mesures suivantes avec le montage mis à disposition :

(a) Mesurer le déplacement l’extrémité de la poutre (déplacement latéral et/ou le déplacement le long de l’axe portant l’effort), en fonction de l’angle de la solli-citation par rapport à la poutre. En déduire les directions principales d’inertie.

(b) Comparer les grandeurs prévues par la théorie des poutres appliquée au cas de la poutre console prenant en compte la flexion déviée, aux valeurs relevées avec le TP de poutre console.

v(x) = F E

x³ 6 −lx²

2

I_Gy I_GyI_Gz−I_Gyz² w(x) = F

E x³

6 −lx² 2

I_Gyz I_GyI_Gz −I_Gyz²

Sur la Figure2.14 est représenté la norme du déplacement de l’extrémité de la poutre console en fonction de l’angle α =−→\

y⁰G−→y entre la direction de la sollicitation et la direction principale−→

y⁰ (voir Figure 2.13). On vérifie bien que le déplacement maximum correspond à la plus petite valeur propreImin associée à l’angle α=−66,7˚, et que le déplacement minimum correspond à la seconde valeur propre I_max associée à l’angle α = 23,3˚. On rappel que la rigidité en flexion d’une poutre s’exprime par rapport à l’axe perpendiculaire au plan contenant la déformée - M_fz =f(v⁰⁰, I_z).

angle entre la sollicitation et le repère principal dela section

Normedudéplacement de l'extrémité

-66,7°

23,3°

Figure 2.14: Déplacement de l’extrémité de la poutre console en fonction de l’angle α entre la sollicitation et la direction principale de la section en L de la Figure 2.13.

Les évolutions des déplacements correspondants au problème résolu sont également représentés sur la Figure2.15, en coordonnées polaires.

Pour information, les industriels fournissent des données géométriques pour les profils qu’ils commercialisent. La Figure 2.16 présente un exemple de données pour un profilé en L, fourni par exemple par Arcelor-Mittal.

x y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2

−1 0 1 2 3

x y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2

−1 0 1 2 3

(a) (b)

Figure 2.15: Représentation polaire des déplacements à l’extrémité de la poutre console à section en L - les échelles sont les mêmes : (a) déplacement selon l’axe d’application de l’effort, et (b) dans la direction perdendiculaire.

Figure 2.16:Données pour une poutre à section en L - source Arcelor-Mittal.

Dans le document Théorie des poutres (Page 62-69)