4.3 Extension : réponse post-bifurquée d’une poutre
4.3.2 Poutre sur fondation élastique à deux paramètres
Le cas du flambage d’une poutre sur une fondation élastique est très répandu et lar-gement utilisé. En effet, ce cas générique permet de représenter de nombreux états limites de l’ingénierie, par exemple le comportement de couches minces sur des substrats, ... Dans ces modèles, contrairement au cas de la poutre homogène vu ci-dessus, la solution bifurquée résulte de l’équilibre entre la propension de la poutre à fléchir et la rigidité de la fondation qui s’oppose (ou accompagne) ce mouvement. On trouvera donc une solution du mode cri-tique (lors du passage du point de bifurcation) de forme harmonique, mais cette fois avec des
harmoniques de rangs plus grandes que 1.
Comme nous avons pu le voir, la réduction de Lyapounov et Schmidt a été élaborée dans un cadre très rigoureux et très formel. La difficulté principale réside dans la détermination de l’expression approchée de la partie orthogonale au mode (v). Pour le cas de la poutre sur fondation élastique, une autre méthode est présentée mais la "philosophie générale" reste sensiblement la même. Elle est appelée méthode régulière de perturbation et consiste à écrire le champ de déplacement et la charge appliquée sous forme de séries valides près du point de bifurcation (Eq.4.36) où w(x) représente le déplacement transverse de la poutre selon −→x3 conformément à la Figure 4.10, et a l’amplitude du premier mode de flambage.
w(x) =aw1(x) +a2w2(x) +a3w3(x) λ=λc+aλ1+a2λ2
(4.36)
1
e
3.e
2.e
3e
1Figure 4.10:Modèle de poutre sur fondation élastique, de rigidité normale k et de rigidité en cisaillement k1.
Contrairement à l’exemple précédent de la poutre homogène, nous allons travailler directement sur l’équation d’équilibre de la poutre sur fondation, celle-ci étant obtenue bien entendu par la stationnarité de l’énergie potentielle. L’équation non-linéaire (4.37) traduit l’équilibre de la poutre en grandes déformations ou k représente la rigidité transverse de la fondation et k1 la rigidité en cisaillement transverse (le ’ correspond à la dérivée par rapport à x). Cette équation a déjà été présentée par de nombreux auteurs ([Lee & Waas, 1996], [Wu
& Zhong, 1999]).
EI(w0000+ 4w000w00w0+w003) +λw00(1−w02)−12+kw(1−w02)−k1w00(1−w02)−12 = 0 (4.37) Résolution du problème linéarisé
La résolution du problème linéarisé va nous conduire à l’expression de la charge critique de la poutre sur fondation, il suffit pour cela de conserver les termes linéaires présents dans
(4.37). L’équation d’équilibre linéarisée est alors la suivante (Eq.4.38).
EIw0000+λw00+kw−k1w00 = 0 (4.38) Afin de résoudre cette équation différentielle du quatrième ordre, on pose les notations suivantes, α21 = (λ−k1)/EI et α2 =k/EI. La solution de l’équation (4.38) est donnée par conduit au système matriciel suivant :
matrice 4×4doit être nul, ce qui conduit à la condition (4.40).
sin(ω1L) = 0 ou sin(ω2L) = 0 (4.40) Ces deux conditions conduisent à la même relation (Eq. 4.41) avec n ∈N qui corres-pond en fait au nombre de demi-ondes le long de la poutre.
α21 =α2 L2
n2π2 + n2π2
L2 (4.41)
En remplaçantα21 et α2 par leur expression respective, la charge critique est écrite sous la forme (4.42) avec ω=nπ/L.
λc=EIω2+ k
ω2 +k1 (4.42)
Cette charge critique sera minimale pour nc > 1, la valeur de nc est obtenue par minimisation de (4.42) par rapport à n (Eq. 4.43).
nc= L π
4
r k
EI (4.43)
Comportement post-bifurqué
On adopte donc la décomposition en séries (Eqs. 4.36) du champ de déplacement transverse et de la charge appliquée, w(x) et λ sont alors remplacés par ces expressions dans la forme non-linéaire de l’énergie potentielle (Eq. 4.37). On rappelle que a est un petit paramètre qui matérialise l’amplitude du premier mode. Dans la forme approchée de l’équation d’équilibre ainsi obtenue, seuls les termes ena, a2 et a3 sont conservés et trois équations sont ainsi déduites en regroupant chacune des puissances dea (Eqs. 4.44).
EIw10000+λcw001 +kw1−k1w001 = 0 (4.44a) EIw20000+λcw002 +kw2−k1w002 = −P1w100 (4.44b) EIw30000+λcw003 +kw3−k1w003 = −EI(4w0001w001w10 +w0013)−λ1w200 (4.44c)
−λ2w100− λc
2w001w102+kw1w102+ k1 2w100w102
Il reste maintenant à résoudre chacune de ces trois équations afin de déterminer les différents termes de la série. Pour l’équation (4.44a), la résolution est simple car on retrouve l’équation d’équilibre linéarisée, la solution w1(x) associée est donc la suivante (Eq.4.45).
w1(x) = sin(ωx) (4.45)
Pour la deuxième équation (Eq. 4.44b), la solutionw1 déjà trouvée peut être reportée dans le second membre. La seule solution possible pour w2 est de poser w2(x) = bsin(ωx), ce qui conduit à la condition de nullité deλ1 et donc à la solution triviale w2(x) = 0 pourw2.
bEIω4−bλcω2+bk+bk1ω2 =λ1ω2
=⇒ b(EIω4−λcω2+k+k1ω2)
| {z }
=0
=λ1ω2
=⇒
( λ1 = 0 w2(x) = 0
La résolution de la troisième équation (Eq. 4.44c) passe tout d’abord par l’évaluation du second membre (Eq. 4.46) qui est maintenant possible grâce aux résolutions des deux premières équations.
−EI(4w1000w001w10 +w0013)−λ1w200−λ2w100− λc
2w001w012+kw1w102+k1 2w001w102
=
−EI
8 ω6+ 3
8kω2+λ2ω2
sin(ωx) + 3
8(kω2−3EIω6) sin(3ωx)
(4.46)
Comme pour la résolution de (4.44b), on retrouve la nullité du coefficient multiplicatif desin(ωx), ce qui permet de déterminer λ2 (Eq. 4.47).
λ2 = EI
8 ω4− 3
8k (4.47)
L’équation à résoudre (Eq.4.44c) peut donc être réécrite afin de déterminer le dernier terme du développement de w(x) (Eq. 4.48).
EIw30000+λcw003 +kw3−k1w003 = 3
8(kω2−3EIω6) sin(3ωx) (4.48) D’où l’expression de w3(x) obtenue facilement en posant w3(x) = csin(3ωx) et en identifiant la constante c(Eq. 4.49).
w3(x) = 3ω2 64
k−3EIω4 9EIω4−k
sin(3ωx) (4.49)
Ainsi, l’écriture complète du déplacement transverse et de la charge appliquée près du point de bifurcation est la suivante (Eq.4.50) :
w(x) = asin(ωx) +a33ω2 64
k−3EIω4 9EIω4−k
sin(3ωx) λ =λc+a2
EI
8 ω4− 3 8k
(4.50)
On retrouve ainsi l’équation de la branche bifurquée qui comme pour la poutre ho-mogène est symétrique, la stabilité de celle-ci sera fonction du signe de λ2. Pour déterminer le signe de λ2, il est nécessaire de trouver son expression lorsque λc est minimum et donc correspond à la charge critique de la poutre. La minimisation de λc par rapport à n, déjà établie pour déterminernc (4.43) conduit à la condition (4.51), ce qui permet de déterminer λ2 (Eq. 4.52).
ω4 = k
EI (4.51)
λ2 = k 8 − 3k
8 =−k
4 (4.52)
Ainsi, lorsque la charge critique est minimale, le comportement post-bifurqué est in-stable. Le second terme de λ2, lié à la rigidité de la fondation, est prépondérant devant le
terme de flexion de la poutre. Il est de plus intéressant de noter que ce terme de flexion cor-respond exactement au terme déjà trouvé dans le cadre de la poutre homogène avec n = 1.
Les deux méthodes conduisent donc aux deux mêmes résultats concernant la détermination du comportement post-flambage près du point de bifurcation.
Une autre remarque concerne le terme d’ordre 3 du champ de déplacement transverse qui est complètement négligeable devanta. En effet, des estimations numériques montrent que même pour une valeur deaassez importante devant la longueurLde la poutre (a/L= 0.04), l’amplitude de ce terme n’atteint pas1% de la valeur dea. De plus, on remarque que λ2 est indépendant dek1, ce qui montre que le cisaillement ne joue aucun rôle dans le comportement post-bifurqué de la poutre, cependant celui-ci joue un rôle relativement important pour la valeur de la charge critiqueλc.
Figure 4.11: Comportement post-bifurqué pour une poutre sur fondation à un paramètre : comparaison branche théorique et calculs E.F. non-linéaires (EI = 1.12 107 mm4, L = 400 mm, k= 100 N.mm−2).
Comme pour la poutre homogène, un très bon accord avec un calcul non-linéaire E.F. est mis en évidence (Fig. 4.11). Pour ce calcul, la fondation a été modélisée grâce à l’option ∗F OU N DAT ION qui permet d’appliquer des charges linéiques proportionnelles à une constante le long d’une poutre. Cette constante est directement associée au paramètrek déjà introduit. Les calculs présentés dans la figure (4.11) sont ceux d’une poutre sur fondation à un paramètre mais nous avons vu que le terme de cisaillement n’intervenait pas dans le comportement post-bifurqué. Outre la courbe théorique, les autres courbes proviennent de calculs effectués à partir d’un défaut initial sur le mode pour trois valeurs différentes (a0 = 0.001mm; 0.005mm; 0.01mm).
Références bibliographique
Lee & Waas, 1996 Lee, S. and Waas, A. (1996). Initial post-buckling behavior of a finite beam on an elastic foundation. Int. J. Non-Linear Mechanics, 31(3) :313–
328.
Léger et al., 1998 Léger, A., Combescure, A., and Potier-Ferry, M. (1998). Bifurcation, flambage, stabilité en mécanique des structures. Technical report, IPSI.
Wu & Zhong, 1999 Wu, B. and Zhong, H. (1999). Postbuckling and imperfection sen-sitivity of fixed-end and free-end struts on elastic foundation. Archive of Applied Mechanics, 69 :491–498.
Plaques
Sommaire
5.1 Plaques et coques - généralités . . . 109 5.1.1 Définition d’une plaque . . . 110 5.1.2 Cas des coques . . . 110 5.2 Plaques planes de Love-Kirchhoff . . . 111 5.2.1 Cinématique en flexion . . . 112 5.2.2 Champ de déplacement complet . . . 114 5.2.3 Déformations et contraintes généralisées . . . 115 5.2.4 Équations d’équilibre . . . 120 5.2.5 Introduction des efforts tranchants . . . 123 5.2.6 Exemples de plaque de Love-Kirchhoff en flexion . . . 129 5.3 Plaques de Hencky-Mindlin . . . 132 5.3.1 Cinématique et déformations . . . 133 5.3.2 Équations d’équilibre . . . 134 5.3.3 Lois de comportement . . . 136
108
Nous avons vu que les poutres, solides monodimensionnels, dérivaient de simplifications géométrique et cinématique d’un milieu 3D. Le principe de base est que, compte-tenu des faibles dimensions des sections par rapport à la dimension principale de la ligne moyenne, le déplacement de tout point de la poutre peut être exprimé simplement en fonction des déplacements et rotations des sections mesurés en leur centre de gravité. Dans le cas des plaques et coques, cette fois seule une des dimensions est faible devant les autres. L’idée reste la même que dans les poutres, à savoir que le déplacement, dans l’espace, de tout point de la plaque peut s’exprimer en fonction des déplacements et rotations des sections (brins) qui se comportent comme des solides (barres) indéformables. Mais cette fois, les sections (voisines) sont reliées entre elles par un feuillet moyen (Figure 5.1), donc dans le plan, et non plus le long d’une ligne moyenne.
La différence entre plaque et coque peut être comparée à la distinction qui est faite entre poutres droites et poutres courbes. Si bien que les problèmes de coques deviennent assez vite complexes à traiter du fait de l’expression des grandeurs physiques, et donc des équilibres statiques, par rapport à la courbure locale. Les modèles de plaque et de coques font encore actuellement l’objet de nombreux développements scientifiques, essentiellement pour représenter le plus finement possible les effets ’3D’ avec le moins d’efforts de calculs. Dans notre cas, les théories ’classiques’ sont développées et assimilées dans le cas des plaques.
À travers ce chapitre, on recourra systématiquement au Principe des Puissances Vir-tuelles pour établir les équations d’équilibre intérieur et aux bords. Pour cela, on partira de la cinématique posée qui nous permettra d’exprimer les déformations par dérivation. Ensuite, les contraintes seront déduites,viala loi de comportement qui prendra une forme particulière.
Finalement, le PPV pourra être explicité complètement, et le choix particulier du champ de déplacement virtuel conduira aux équations d’équilibres. L’intérêt de l’utilisation du PPV dans le cas des plaques et coques devient vite évident compte-tenu de la complexité des équilibres, notamment sur les bords qui peuvent être aussi bien rectilignes que courbes. Dans ce dernier cas, l’intuition seule du mécanicien peut être rapidement mise en défaut.