Méthode de Galerkin

Comme indiqué précédemment, la méthode de Galerkin telle qu’utilisée dans le second exercice sur les plaques (§5.2.6 page 130), est à l’origine de la méthode par éléments finis.

Formulons notre problème de barre conformément à la formulation Eqs.6.14 Voyons maintenant le choix qui peut être réalisé pour les espaces de dimension finie Uⁿ et Vⁿ.

Fonctions polynômiales

Le choix des bases de fonctions d’approximation, définissant les espacesUⁿet Vⁿ, est guidé par la contrainte de vérifier les conditions essentielles. Considérons, de façon générale, que ces fonctions C.A. forment une approximation du type :

v(x) =

n

X

i=1

β_i φⁱ (6.25)

où les β_i sont n paramètres scalaires. La quantité à annuler correspondant au système 6.24 sous forme discrète devient alors la somme de n quantités :

n

Ces n quantités devant s’annuler quelles que soient les fonctions tests, soit quels que soient les coefficients β_i, on abouti à n équations indépendantes en u(x) à résoudre. Choisissons maintenant l’espace Uⁿ des fonctions d’approximation de la solution construites à partir de la somme d’une solution particulière, vérifiant notamment les conditions aux limites cinéma-tiques, et de fonctions de l’espace des fonctions test Vⁿ, soit une approximation du type de celle proposée de façon générale en 6.13, où les paramètres scalaires α_i sont les inconnues à déterminer :

On notera que si le terme particulieru^?est une fonction dex, il dépend de données du problème telles que des déplacement imposés, et sera donc présent dans le problème à résoudre comme une partie du second membre. Ceci est illustré ci-dessous.

On aboutit finalement à un système linéaire carré symétrique de dimensionn×n avec les inconnuesα_j solution de :

n Illustrons maintenant une des difficultés de cette méthode : le choix de la base d’ap-proximation. Dans notre cas particulier, les conditions aux limites cinématiques sontu(0) = 0 et u(l) = u^d. On doit donc considérer l’espace Vⁿ engendré par les polynômes ayant pour racine x= 0 et x=l. Par exemple :

où lesβi sontn paramètres scalaires. Il en découle que l’approximation du champ réel s’écrit :

˜

car ce champ doit être C.A et vérifier, notamment, u(l) =u^d. Le système finalement obtenu s’écrit donc :

Afin de simplifier les calculs, considérons le cas de cette même barre, mais dont l’origine du repère est décalée de−l :0 −letl 0, et sur laquelle un effort R^dd’intensité ^{ρ g l}_2E +^u_l^d est appliqué enx=−l. La solution dans ce cas est solution du problème reformulé pour faire apparaître également le travail de l’effort terminal R^d affecté d’un signe − car la normale sortante est orientée vers les−→x négatifs :

u(x) = u^d

et la formulation intégrale faible devient :

On vérifie que cet effort R^d appliqué en x = −l correspond bien à la condition u(−l) = 0.

Finalement, ceci nous donne comme condition essentielle u(0) = u^d et comme condition naturelleN(−l) = R^d. La condition C.A.(0) pour les fonctions tests, soit u(0) = 0 ici, nous permet d’utiliser une approximation par des monômesxⁱ (i= 1, . . . , n) :

La quantité à annuler correspondant au système 6.33 sous forme discrète devient alors la somme den quantités :

n

L’espace Uⁿ est construit à partir de fonctions C.A. complétées par des fonctions issues de l’espace des fonctions testVⁿ, soit :

˜

où les paramètres scalairesαi sont les inconnues à déterminer. En introduisant cette approxi-mation dans l’expression (6.35) valable pour tout coefficient β_i, on aboutit finalement à un système linéaire carré symétrique de dimension n×n :

n ou encore, sous une forme proche de celle des approximations précédentes :

 avec les composantes des matrices du système discret :

K_ij =

La résolution de ce système conduit aux résultats présentés sur la Figure6.6ci-dessous.

Pour n = 1, soit une approximation linéaire, on ne vérifie que les conditions aux limites évidemment, et pourn = 2, on retrouve la solution exacte qui est parabolique (Eq.6.32).

−10 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

x (m)

Déplacement (m)

Solution analytique n=1

n=2

Figure 6.6:Solution analytique et par approximation polynômiale dans la méthode de Galerkin pour le cas d’une poutre droite correspondant à la Figure 6.2.

On voit que la convergence vers la solution exacte dépend de la dimensionndes espaces choisis. Les avantages de cette méthode sont nombreux. En premier lieu, elle permet de pro-poser une écriture assez systématique pour les grandeurs[K]et {F}. D’autre part le système obtenu est symétrique défini positif, ne posant donc pas de problème particulier pour être ré-solu par des solveurs directs standards. Par contre, pour des problèmes même simples, on peut arriver rapidement à des systèmes de taille conséquente. La prise en compte degradients, ou d’effets locaux, est notamment difficile avec ce type d’approches car l’interpolation doit être suffisamment riche, ce qui implique que la taille du système croît extrêmement rapidement.

D’autre part, dans le cas de problèmes bi ou tri-dimensionnels la recherche desolution appro-chée vérifiant les conditions aux limites essentielles s’avère souvent impossible. Pour pallier à ces inconvénients, l’utilisation de polynômes d’ordre élevé peut être remplacée par l’utilisation de plusieurs fonctions définies sur des sous-domaines. Ceci correspond notamment

à la méthode des éléments finis étudiée ci-dessous.

Méthode de Ritz

Pour être complet, il faut indiquer qu’une méthode aboutissant au même système (Eq.

6.38) est souvent rencontrée dans la littérature sous le nom de méthode de Ritz (W. Ritz, mathématicien suisse, 1878-1909). Cette méthode est utilisée sous le nom de Ritz-Galerkin en mécanique et dans une procédure itérative nommée Rayleigh-Ritz en dynamique/physique des ondes. Dans le cas qui nous intéresse, cette méthode variationnelle consiste à rechercher la solution réelle dans un espace de dimension finie Uⁿ en partant de l’énergie du système, soit l’énergie potentielle π(u) dans notre cas. L’approximation de la solution est introduite dans cette énergie, et la solution qui rend stationnaire cette énergie est celle qui annule sa première variation. On aboutit finalement à n équations à n inconnues, équivalent au même système que celui de l’Eq. 6.26, et finalement au même système carré défini positif que celui de la méthode de Galerkin (Eq. 6.37) :

π(u)'π(˜u) δπ(˜u) = ∂π(˜u)

⇔ (Eq. 6.37, Galerkin)

(6.40)